HCF & LCM Math Solutions for Bank Jobs: Part 4 (Q76-100)

২. গ.সা.গু. সবসময় ল.সা.গু.-এর উৎপাদক: তাই কোনো সংখ্যা গ.সা.গু. হতে পারে কি না জানতে দেখুন সেটি ল.সা.গু. দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় কি না।

৩. অনুপাত থাকলে: সংখ্যা দুটিকে $ax$ ও $bx$ ধরুন। তখন গ.সা.গু. $= x$ (যদি $a, b$ সহমৌলিক হয়) এবং ল.সা.গু. $= abx$।

৪. সুপার শর্টকাট: সহমৌলিক অনুপাতের ক্ষেত্রে ল.সা.গু. $=$ অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু.।

প্রশ্ন ও সমাধান

76. দুটি সংখ্যার গুণফল $1320$ এবং তাদের গ.সা.গু. $6$। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত? [The product of two numbers is 1320 and their H.C.F. is 6. The L.C.M. of the numbers is]

ক) 220     খ) 1314     গ) 1326     ঘ) 7920

সমাধান:

গুণফল $=$ গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু., তাই ল.সা.গু. $= \dfrac{1320}{6} = 220$।

ব্যাখ্যা: অপশন (ঘ) $7920 = 1320 \times 6$ হলো ভুল গুণ; ভাগ করতে হবে।

উত্তর: ক) $220$

77. দুটি সংখ্যার গুণফল $324$ এবং তাদের গ.সা.গু. $3$ হলে ল.সা.গু. কত হবে? [If the product of two numbers is 324 and their H.C.F. is 3, then their L.C.M. will be]

ক) 972     খ) 327     গ) 321     ঘ) 108

সমাধান:

ল.সা.গু. $= \dfrac{324}{3} = 108$।

ব্যাখ্যা: অপশন (ক) $972 = 324 \times 3$ ভুল; গুণ নয়, ভাগ।

উত্তর: ঘ) $108$

78. দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল $1500$ এবং তাদের গ.সা.গু. $10$। ল.সা.গু. নির্ণয় কর। [The product of two whole numbers is 1500 and their H.C.F is 10. Find the L.C.M.]

ক) 15000     খ) 150     গ) 105     ঘ) 15

সমাধান:

ল.সা.গু. $= \dfrac{1500}{10} = 150$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $10 \times 150 = 1500$ ✓।

উত্তর: খ) $150$

79. $p$ ও $q$ এর গ.সা.গু. $x$ এবং $q = xy$ হলে $p$ ও $q$ এর ল.সা.গু. কত? [If H.C.F. of p and q is x and q = xy, then the L.C.M. of p and q is]

ক) $pq$     খ) $qy$     গ) $xy$     ঘ) $py$

সমাধান:

গুণফল $=$ গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.: $pq = x \times$ ল.সা.গু.।

ল.সা.গু. $= \dfrac{pq}{x} = \dfrac{p(xy)}{x} = py$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: $p = 4$, $q = 6$ হলে $x = 2$, $y = 3$ এবং ল.সা.গু. $= 12 = py$ ✓।

উত্তর: ঘ) $py$

80. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. $11$ এবং ল.সা.গু. $693$। একটি সংখ্যা $77$ হলে অপর সংখ্যাটি কত? [The H.C.F. of two numbers is 11 and their L.C.M. is 693. If one of the numbers is 77, find the other.]

সমাধান:

অপর সংখ্যা $= \dfrac{\text{গ.সা.গু.} \times \text{ল.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \dfrac{11 \times 693}{77}$।

$693 \div 77 = 9$, তাই অপর সংখ্যা $= 11 \times 9 = 99$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $77 \times 99 = 7623 = 11 \times 693$ ✓।

উত্তর: $99$

81. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে $12$ ও $336$। একটি সংখ্যা $84$ হলে অপরটি কত? [The H.C.F. and L.C.M. of two numbers are 12 and 336 respectively. If one of the numbers is 84, the other is]

ক) 36     খ) 48     গ) 72     ঘ) 96

সমাধান:

অপর সংখ্যা $= \dfrac{12 \times 336}{84}$।

$336 \div 84 = 4$, তাই অপর সংখ্যা $= 12 \times 4 = 48$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $84 \times 48 = 4032 = 12 \times 336$ ✓।

উত্তর: খ) $48$

82. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে $50$ ও $250$। প্রথম সংখ্যাকে $2$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল $50$ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত? [The H.C.F. and L.C.M. of two numbers are 50 and 250 respectively. If the first number is divided by 2, the quotient is 50. The second number is]

ক) 50     খ) 100     গ) 125     ঘ) 250

সমাধান:

প্রথম সংখ্যা $= 50 \times 2 = 100$।

দ্বিতীয় সংখ্যা $= \dfrac{50 \times 250}{100} = 125$।

ব্যাখ্যা: গুণফল মিলে যায়: $100 \times 125 = 12500 = 50 \times 250$ ✓।

উত্তর: গ) $125$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের তথ্য আসলে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়: $100$ ও $125$ এর গ.সা.গু. $25$, $50$ নয়। তাই প্রশ্নটি পরীক্ষার মূল প্রশ্নে যেভাবে আছে সেভাবে শুধু গুণফলের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়; উত্তর $125$।

83. তিনটি ভিন্ন সংখ্যার ল.সা.গু. $120$। নিচের কোনটি তাদের গ.সা.গু. হতে পারে না? [The L.C.M. of three different numbers is 120. Which of the following cannot be their H.C.F.?]

ক) 8     খ) 12     গ) 24     ঘ) 35

সমাধান:

গ.সা.গু. সবসময় ল.সা.গু.-এর উৎপাদক হয়, অর্থাৎ ল.সা.গু. কে গ.সা.গু. দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

$120 \div 8 = 15$ ✓; $120 \div 12 = 10$ ✓; $120 \div 24 = 5$ ✓; কিন্তু $120 \div 35$ নিঃশেষে হয় না।

ব্যাখ্যা: $35 = 5 \times 7$ কিন্তু $120$ এর উৎপাদকে $7$ নেই।

উত্তর: ঘ) $35$

84. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. $8$। নিচের কোনটি তাদের ল.সা.গু. কখনোই হতে পারে না? [The H.C.F. of two numbers is 8. Which one of the following can never be their L.C.M.?]

ক) 24     খ) 48     গ) 56     ঘ) 60

সমাধান:

গ.সা.গু. ল.সা.গু.-কে নিঃশেষে ভাগ করে, তাই ল.সা.গু. হবে $8$ এর গুণিতক।

$24 = 8 \times 3$, $48 = 8 \times 6$, $56 = 8 \times 7$; কিন্তু $60 \div 8$ নিঃশেষে হয় না।

ব্যাখ্যা: $60$ কে $8$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $4$।

উত্তর: ঘ) $60$

85. দুটি সংখ্যার যোগফল $36$ এবং তাদের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে $3$ ও $105$। সংখ্যা দুটির অন্যোন্যকের যোগফল কত? [If the sum of two numbers is 36 and their H.C.F. and L.C.M. are 3 and 105 respectively, the sum of the reciprocals of the two numbers is]

ক) $\dfrac{2}{35}$     খ) $\dfrac{3}{35}$     গ) $\dfrac{4}{35}$     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $a$ ও $b$। $a + b = 36$ এবং $ab = 3 \times 105 = 315$।

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab} = \dfrac{36}{315} = \dfrac{4}{35}$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা দুটি আসলে $15$ ও $21$ ($15 + 21 = 36$, $15 \times 21 = 315$); যাচাই: $\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{21} = \dfrac{7 + 5}{105} = \dfrac{12}{105} = \dfrac{4}{35}$ ✓।

উত্তর: গ) $\dfrac{4}{35}$

86. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর গুণফল $24$। সংখ্যা দুটির পার্থক্য $2$ হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [The product of the L.C.M. and H.C.F. of two numbers is 24. The difference of two numbers is 2. Find the numbers.]

ক) $2$ ও $4$     খ) $6$ ও $4$     গ) $8$ ও $6$     ঘ) $8$ ও $10$

সমাধান:

ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু. $=$ সংখ্যা দুটির গুণফল $= 24$।

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(x - 2)$ ধরলে $x(x - 2) = 24$, অর্থাৎ $x^2 - 2x - 24 = 0$।

$(x - 6)(x + 4) = 0$, তাই $x = 6$ (ধনাত্মক)। সংখ্যা দুটি $6$ ও $4$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: যে জোড়ার গুণফল $24$ এবং পার্থক্য $2$, সেটি $6, 4$।

উত্তর: খ) $6$ ও $4$

87. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. $12$ এবং তাদের পার্থক্য $12$। সংখ্যা দুটি কত? [The H.C.F. of two numbers is 12 and their difference is 12. The numbers are]

ক) $66, 78$     খ) $70, 82$     গ) $94, 106$     ঘ) $84, 96$

সমাধান:

সব অপশনেই পার্থক্য $12$। এখন কোনটির গ.সা.গু. $12$ তা দেখি।

$66, 78$: গ.সা.গু. $6$; $70, 82$: গ.সা.গু. $2$; $94, 106$: গ.সা.গু. $2$।

$84 = 12 \times 7$ ও $96 = 12 \times 8$; ($7, 8$ সহমৌলিক) তাই গ.সা.গু. $12$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: গ.সা.গু. $=$ পার্থক্য হলে সংখ্যা দুটি পরপর দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণিতক ($12 \times 7$ ও $12 \times 8$)।

উত্তর: ঘ) $84, 96$

88. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর $12$ গুণ। গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর যোগফল $403$। একটি সংখ্যা $93$ হলে অপরটি কত? [The L.C.M. of two numbers is 12 times their H.C.F. The sum of H.C.F. and L.C.M. is 403. If one number is 93, find the other.]

ক) 124     খ) 128     গ) 134     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

গ.সা.গু. $= x$ ও ল.সা.গু. $= 12x$ ধরি। $x + 12x = 403$, তাই $13x = 403$ এবং $x = 31$।

গ.সা.গু. $= 31$ ও ল.সা.গু. $= 12 \times 31 = 372$।

অপর সংখ্যা $= \dfrac{31 \times 372}{93} = 31 \times 4 = 124$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $93 \times 124 = 11532 = 31 \times 372$ ✓।

উত্তর: ক) $124$

89. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. $495$ এবং গ.সা.গু. $5$। সংখ্যা দুটির যোগফল $100$ হলে তাদের পার্থক্য কত? [The L.C.M. of two numbers is 495 and their H.C.F. is 5. If the sum of the numbers is 100, then their difference is]

ক) 10     খ) 46     গ) 70     ঘ) 90

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(100 - x)$। গুণফল $= 5 \times 495 = 2475$।

$x(100 - x) = 2475$, অর্থাৎ $x^2 - 100x + 2475 = 0$। উৎপাদকে ভেঙে $(x - 55)(x - 45) = 0$।

সংখ্যা দুটি $45$ ও $55$। পার্থক্য $= 55 - 45 = 10$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $H(45, 55) = 5$ ✓ এবং ল.সা.গু. $= \dfrac{45 \times 55}{5} = 495$ ✓।

উত্তর: ক) $10$

90. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর যোগফল $592$ এবং বিয়োগফল $518$। সংখ্যা দুটির যোগফল $296$ হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [The sum and difference of the L.C.M and H.C.F. of two numbers are 592 and 518 respectively. If the sum of the numbers be 296, find the numbers.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= L$, গ.সা.গু. $= H$ ধরি। $L + H = 592$ ... (i) এবং $L - H = 518$ ... (ii)।

(i) ও (ii) যোগ করে $2L = 1110$, তাই $L = 555$ এবং $H = 592 - 555 = 37$।

সংখ্যা দুটি $x$ ও $(296 - x)$। গুণফল $= 555 \times 37 = 20535$।

$x(296 - x) = 20535$, অর্থাৎ $x^2 - 296x + 20535 = 0$। $-185 - 111 = -296$ এবং $185 \times 111 = 20535$, তাই $(x - 185)(x - 111) = 0$।

সংখ্যা দুটি $111$ ও $185$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $111 + 185 = 296$ ✓; $111 = 3 \times 37$, $185 = 5 \times 37$ ⇒ গ.সা.গু. $37$ ও ল.সা.গু. $= 3 \times 5 \times 37 = 555$ ✓।

উত্তর: $111$ ও $185$

91. দুটি সংখ্যার অনুপাত $15 : 11$। তাদের গ.সা.গু. $13$ হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [Two numbers are in the ratio of 15 : 11. If their H.C.F. is 13, find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $15x$ ও $11x$ ধরি। ($15, 11$ সহমৌলিক) তাই গ.সা.গু. $= x = 13$।

সংখ্যা দুটি $15 \times 13 = 195$ ও $11 \times 13 = 143$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $195 \div 143$ এর অনুপাত $= 15 : 11$ ✓।

উত্তর: $195$ ও $143$

92. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $1 : 2 : 3$ এবং তাদের গ.সা.গু. $12$। সংখ্যাগুলো কত? [Three numbers are in the ratio 1 : 2 : 3 and their H.C.F. is 12. The numbers are]

ক) $4, 8, 12$     খ) $5, 10, 15$     গ) $10, 20, 30$     ঘ) $12, 24, 36$

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, 2x, 3x$ ধরলে গ.সা.গু. $= x = 12$।

সংখ্যাগুলো $12, 24, 36$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: যে অপশনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিই গ.সা.গু. ($12$) এবং অনুপাত $1:2:3$, সেটিই সঠিক।

উত্তর: ঘ) $12, 24, 36$

93. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে $84$ ও $21$। সংখ্যা দুটির অনুপাত $1 : 4$ হলে বড় সংখ্যাটি কত? [The H.C.F. and L.C.M. of two numbers are 84 and 21 respectively. If the ratio of the two numbers is 1 : 4, then the larger of the two numbers is]

ক) 12     খ) 48     গ) 84     ঘ) 108

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x$ ও $4x$ ধরি। গুণফল $= x \times 4x = 4x^2$।

গুণফল $=$ গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু. $= 84 \times 21$। তাই $4x^2 = 84 \times 21$, অর্থাৎ $x^2 = 21 \times 21$ এবং $x = 21$।

বড় সংখ্যা $= 4x = 4 \times 21 = 84$।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা দুটি $21$ ও $84$; ক্ষুদ্র সংখ্যাটিই গ.সা.গু. ($21$) এবং বড়টি ল.সা.গু. ($84$)।

উত্তর: গ) $84$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে "গ.সা.গু. $84$ ও ল.সা.গু. $21$" লেখা আছে, কিন্তু গ.সা.গু. কখনো ল.সা.গু.-এর চেয়ে বড় হতে পারে না। এটি মূল প্রশ্নের লেখার ভুল; গ.সা.গু. $21$ ও ল.সা.গু. $84$ ধরলেই সংখ্যা দুটি $21$ ও $84$ মেলে। উত্তর $84$ ঠিকই আছে।

94. দুটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ এবং তাদের ল.সা.গু. $84$। সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর। [Two numbers are in the ratio of 3 : 4. Their L.C.M. is 84. Find the numbers.]

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$ ধরি। ($3, 4$ সহমৌলিক) তাই ল.সা.গু. $= 12x$।

$12x = 84$, তাই $x = 7$। সংখ্যা দুটি $3 \times 7 = 21$ ও $4 \times 7 = 28$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $L(21, 28) = 84$ ✓।

উত্তর: $21$ ও $28$

95. দুটি সংখ্যার অনুপাত $13 : 15$ এবং তাদের ল.সা.গু. $39780$। সংখ্যা দুটি কত? [The ratio of two numbers is 13 : 15 and their L.C.M. is 39780. The numbers are]

ক) $884, 1020$     খ) $884, 1040$     গ) $670, 1340$     ঘ) $2652, 3060$

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $13x$ ও $15x$। ল.সা.গু. $= 13 \times 15 \times x = 195x$।

$195x = 39780$, তাই $x = 204$।

সংখ্যা দুটি $13 \times 204 = 2652$ ও $15 \times 204 = 3060$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $195 \times 204 = 39780$ ✓।

উত্তর: ঘ) $2652, 3060$

96. দুটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ এবং তাদের গ.সা.গু. $4$। তাদের ল.সা.গু. কত? [The ratio of two numbers is 3 : 4 and their H.C.F. is 4. Their L.C.M. is]

ক) 12     খ) 16     গ) 24     ঘ) 48

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$ ধরলে গ.সা.গু. $= x = 4$। সংখ্যা দুটি $12$ ও $16$।

$12$ ও $16$ এর ল.সা.গু. $= 48$।

ব্যাখ্যা: সুপার শর্টকাট: ল.সা.গু. $= 3 \times 4 \times 4 = 48$ (অনুপাতের গুণফল $\times$ গ.সা.গু.)।

উত্তর: ঘ) $48$

97. দুটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ এবং তাদের ল.সা.গু. $120$। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? [The ratio of two numbers is 3 : 4 and their LCM is 120. The sum of numbers is]

ক) 70     খ) 140     গ) 35     ঘ) 105

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$। ল.সা.গু. $= 12x = 120$, তাই $x = 10$।

যোগফল $= 3x + 4x = 7x = 70$।

ব্যাখ্যা: আলাদা করে সংখ্যা বের না করে সরাসরি $7x$ নিলে সময় বাঁচে।

উত্তর: ক) $70$

98. তিনটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4 : 5$ এবং তাদের ল.সা.গু. $2400$। তাদের গ.সা.গু. কত? [Three numbers are in the ratio of 3 : 4 : 5 and their L.C.M. is 2400. Their H.C.F. is]

ক) 40     খ) 80     গ) 120     ঘ) 200

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $3x, 4x, 5x$; ল.সা.গু. $= 3 \times 4 \times 5 \times x = 60x$ (সহমৌলিক)।

$60x = 2400$, তাই $x = 40$। সংখ্যাগুলো $120, 160, 200$ এবং গ.সা.গু. $= x = 40$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $120 = 40 \times 3$, $160 = 40 \times 4$, $200 = 40 \times 5$ এবং ল.সা.গু. $= 40 \times 60 = 2400$ ✓।

উত্তর: ক) $40$

99. চারটি সংখ্যার ল.সা.গু. $630$ এবং অনুপাত $2 : 3 : 5 : 7$। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? [The L.C.M. and ratio of four numbers are 630 and 2 : 3 : 5 : 7 respectively. The difference between the greatest and least numbers is]

ক) 6     খ) 14     গ) 15     ঘ) 21

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $2x, 3x, 5x, 7x$। অনুপাতের সংখ্যাগুলো সহমৌলিক, তাই ল.সা.গু. $= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times x = 210x$।

$210x = 630$, তাই $x = 3$।

পার্থক্য $= 7x - 2x = 5x = 5 \times 3 = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যাগুলো $6, 9, 15, 21$ এবং এদের ল.সা.গু. $= 630$ ✓।

উত্তর: গ) $15$

100. নিচের কোন জোড়া সহমৌলিক? [Which of the following is a pair of co-primes?]

ক) $(16, 62)$     খ) $(18, 25)$     গ) $(21, 35)$     ঘ) $(23, 92)$

সমাধান:

সহমৌলিক জোড়ার গ.সা.গু. $1$।

$(16, 62)$: গ.সা.গু. $2$; $(21, 35)$: গ.সা.গু. $7$; $(23, 92)$: $92 = 23 \times 4$, গ.সা.গু. $23$।

$18 = 2 \times 3^2$ ও $25 = 5^2$ এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু. $1$।

ব্যাখ্যা: সহমৌলিক হওয়া মানে দুটি সংখ্যা মৌলিক হওয়া জরুরি নয়; $18$ বা $25$ কোনোটিই মৌলিক নয়।

উত্তর: খ) $(18, 25)$