HCF & LCM Math Solutions for Bank Jobs: Part 3 (Q51-75)

২. কতবার একসাথে: মোট সময় $\div$ ল.সা.গু. $+ 1$ (শুরুর বারটি ধরে)।

৩. $n$ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা: বৃহত্তম $n$ অঙ্কের সংখ্যাকে ল.সা.গু. দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ বিয়োগ করুন। ক্ষুদ্রতম: ক্ষুদ্রতম $n$ অঙ্কের সংখ্যার সাথে (ল.সা.গু. $-$ ভাগশেষ) যোগ করুন।

৪. ভগ্নাংশের ল.সা.গু.: $\dfrac{L_1}{H_1}$।

এখানে $L_1$ = লবগুলোর ল.সা.গু. এবং $H_1$ = হরগুলোর গ.সা.গু.।

প্রশ্ন ও সমাধান

51. $23$ এর ক্ষুদ্রতম কোন গুণিতককে $18, 21$ ও $24$ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে $7, 10$ ও $13$ ভাগশেষ থাকে? [Find the least multiple of 23, which when divided by 18, 21 and 24 leaves remainders 7, 10 and 13 respectively.]

ক) 3002     খ) 3013     গ) 3024     ঘ) 3036

সমাধান:

পার্থক্য: $18 - 7 = 11$; $21 - 10 = 11$; $24 - 13 = 11$। সবক্ষেত্রে সমান।

$18, 21, 24$ এর ল.সা.গু. $= 504$। সংখ্যাটি $504x - 11$ আকারের।

$504 = 23 \times 21 + 21$, অর্থাৎ $504 \equiv -2 \pmod{23}$; তাই $504x - 11$ কে $23$ দিয়ে ভাগ করা যাবে যদি $-2x - 11$ কে $23$ দিয়ে ভাগ করা যায়, অর্থাৎ $2x + 11 = 23k$। $x = 6$ হলে $2x + 11 = 23$ ✓।

সংখ্যা $= 504 \times 6 - 11 = 3024 - 11 = 3013$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3013 = 23 \times 131$ ✓; $3013 = 18 \times 167 + 7$ ✓।

উত্তর: খ) $3013$

52. একটি ধারার তৃতীয় পদ কত, যে ধারার সংখ্যাগুলোকে $2, 3$ ও $4$ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে $1, 2$ ও $3$ ভাগশেষ থাকে? [What is the third term in a sequence of numbers that leave remainders of 1, 2 and 3 when divided by 2, 3 and 4 respectively?]

ক) 11     খ) 17     গ) 19     ঘ) 35

সমাধান:

পার্থক্য: $2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = 1$। ল.সা.গু. $= 12$।

ধারার পদগুলো $12k - 1$ আকারের: $11, 23, 35, \ldots$

তৃতীয় পদ $= 12 \times 3 - 1 = 35$।

ব্যাখ্যা: শর্তে কোনো অতিরিক্ত সংখ্যা না থাকায় প্রথম পদ $11$ থেকেই ধারা শুরু।

উত্তর: ঘ) $35$

53. একজন মালী সমান সংখ্যক গাছ দিয়ে সারি করে গাছ লাগাবেন। প্রতি সারিতে $6, 8, 10$ বা $12$ টি করে লাগালে $5$ টি গাছ বাকি থাকে, কিন্তু প্রতি সারিতে $13$ টি করে লাগালে কোনো গাছ বাকি থাকে না। মোট কতটি গাছ ছিল? [A gardener has to plant trees in rows containing equal number of trees. If he plants in rows of 6, 8, 10 or 12, then five trees are left unplanted. But if he plants in rows of 13 trees each, then no tree is left. What is the number of trees that the gardener plants?]

ক) 485     খ) 725     গ) 845     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

$6, 8, 10, 12$ এর ল.সা.গু. $= 120$। গাছের সংখ্যা $120k + 5$ আকারের।

$120 = 13 \times 9 + 3$, তাই $120k + 5$ কে $13$ দিয়ে ভাগ করা যাবে যদি $3k + 5$ কে $13$ দিয়ে ভাগ করা যায়। $k = 7$ এ $3 \times 7 + 5 = 26 = 13 \times 2$ ✓।

গাছের সংখ্যা $= 120 \times 7 + 5 = 845$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $845 = 13 \times 65$ ✓ এবং $845 - 5 = 840 = 120 \times 7$ ✓।

উত্তর: গ) $845$

54. সীতা $16$, $20$ অথবা $36$ টি পুঁতি দিয়ে একটি মালা তৈরি করতে গেলে কোনো পুঁতি অবশিষ্ট থাকে না। সীতার সর্বনিম্ন কতটি পুঁতি ছিল? [When Seeta made necklaces of either 16 beads, 20 beads or 36 beads, not a single bead was left over. What could be the least number of beads Seeta had?]

ক) 700     খ) 720     গ) 750     ঘ) 780

সমাধান:

সর্বনিম্ন পুঁতির সংখ্যা $= 16, 20, 36$ এর ল.সা.গু.।

$16 = 2^4$; $20 = 2^2 \times 5$; $36 = 2^2 \times 3^2$। ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 \times 5 = 720$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $720 \div 16 = 45$, $\div 20 = 36$, $\div 36 = 20$ ✓।

উত্তর: খ) $720$

55. একটি ইলেকট্রনিক যন্ত্র $60$ সেকেন্ড পরপর এবং অন্য একটি যন্ত্র $62$ সেকেন্ড পরপর বিপ শব্দ করে। তারা সকাল $10$ টায় একসাথে বিপ করল। আবার কখন তারা প্রথম একসাথে বিপ করবে? [An electronic device makes a beep after every 60 sec. Another device makes a beep after every 62 sec. They beeped together at 10 a.m. The next time, when they would beep together at the earliest is?]

ক) 10.30 a.m.     খ) 10.31 a.m.     গ) 10.59 a.m.     ঘ) 11 a.m.

সমাধান:

$60$ ও $62$ এর ল.সা.গু. $= 2 \times 30 \times 31 = 1860$ সেকেন্ড।

$1860 \div 60 = 31$ মিনিট।

তাই পরের বার একসাথে হবে সকাল $10$ টার $31$ মিনিট পর, অর্থাৎ $10.31$ a.m.।

ব্যাখ্যা: সেকেন্ডের ল.সা.গু. মিনিটে রূপান্তর করে শুরুর সময়ের সাথে যোগ করুন।

উত্তর: খ) $10.31$ a.m.

56. চারটি ভিন্ন ইলেকট্রনিক যন্ত্র যথাক্রমে $30$ মিনিট, $1$ ঘণ্টা, $1\dfrac{1}{2}$ ঘণ্টা এবং $1$ ঘণ্টা $45$ মিনিট পরপর বিপ করে। দুপুর $12$ টায় সবগুলো একসাথে বিপ করল। তারা আবার একসাথে কখন বিপ করবে? [Four different electronic devices make a beep after every 30 minutes, 1 hour, 1 1/2 hour and 1 hour 45 minutes respectively. All the devices beeped together at 12 noon. They will again beep together at]

ক) 12 midnight     খ) 3 a.m.     গ) 6 a.m.     ঘ) 9 a.m.

সমাধান:

সবকিছু মিনিটে: $30, 60, 90, 105$।

$30 = 2 \times 3 \times 5$; $60 = 2^2 \times 3 \times 5$; $90 = 2 \times 3^2 \times 5$; $105 = 3 \times 5 \times 7$। ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$ মিনিট।

$1260 \div 60 = 21$ ঘণ্টা। দুপুর $12$ টার $21$ ঘণ্টা পর $=$ পরদিন সকাল $9$ টা।

ব্যাখ্যা: দুপুর $12$ টা $+ 12$ ঘণ্টা $=$ মধ্যরাত; আরও $9$ ঘণ্টা যোগ করে সকাল $9$ টা।

উত্তর: ঘ) $9$ a.m.

57. তিনটি ভিন্ন রাস্তার মোড়ের ট্রাফিক লাইট যথাক্রমে $48$, $72$ ও $108$ সেকেন্ড পরপর বদলায়। সবগুলো যদি $8:20:00$ ঘণ্টায় একসাথে বদলায়, তবে আবার কখন একসাথে বদলাবে? [The traffic lights at three different road crossings change after every 48 sec, 72 sec. and 108 sec. respectively. If they all change simultaneously at 8:20:00 hours, then at what time will they again change simultaneously?]

সমাধান:

$48 = 2^4 \times 3$; $72 = 2^3 \times 3^2$; $108 = 2^2 \times 3^3$। ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^3 = 432$ সেকেন্ড।

$432$ সেকেন্ড $= 7$ মিনিট $12$ সেকেন্ড ($7 \times 60 = 420$, বাকি $12$)।

পরের একসাথে বদল: $8:20:00 + 7$ মিনিট $12$ সেকেন্ড $= 8:27:12$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $432 \div 48 = 9$, $\div 72 = 6$, $\div 108 = 4$ ✓।

উত্তর: $8:27:12$ ঘণ্টা

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের সমাধানে $432$ সেকেন্ডকে "$7$ মিনিট $18$ সেকেন্ড" লেখা হয়েছে, যা ভুল; সঠিক হলো $7$ মিনিট $12$ সেকেন্ড। তবে শেষ উত্তর $8:27:12$ সঠিক।

58. তিনটি ভিন্ন সিগন্যাল পয়েন্টের লাইট যথাক্রমে $45$, $75$ ও $90$ সেকেন্ড পরপর বদলায়। সবগুলো $7:20:15$ ঘণ্টায় একসাথে বদলালে আবার কখন একসাথে বদলাবে? [The traffic lights at three different signal points change after every 45 seconds, 75 seconds and 90 seconds respectively. If all change simultaneously at 7:20:15 hours, then they will change again simultaneously at?]

ক) $7:28:00$ ঘণ্টা     খ) $7:27:45$ ঘণ্টা     গ) $7:27:30$ ঘণ্টা     ঘ) $7:27:50$ ঘণ্টা

সমাধান:

$45 = 3^2 \times 5$; $75 = 3 \times 5^2$; $90 = 2 \times 3^2 \times 5$। ল.সা.গু. $= 2 \times 3^2 \times 5^2 = 450$ সেকেন্ড $= 7$ মিনিট $30$ সেকেন্ড।

$7:20:15 + 0:07:30 = 7:27:45$।

ব্যাখ্যা: সেকেন্ড অংশ আগে যোগ করুন: $15 + 30 = 45$; মিনিট $20 + 7 = 27$।

উত্তর: খ) $7:27:45$ ঘণ্টা

59. ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে যথাক্রমে $2, 4, 6, 8, 10$ ও $12$ সেকেন্ড পরপর বাজে। $30$ মিনিটে তারা কতবার একসাথে বাজবে? [Six bells commence tolling together and toll at intervals of 2, 4, 6, 8, 10 and 12 seconds respectively. In 30 minutes, how many times do they toll together?]

ক) 4     খ) 10     গ) 15     ঘ) 16

সমাধান:

$2, 4, 6, 8, 10, 12$ এর ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5 = 120$ সেকেন্ড $= 2$ মিনিট।

$30$ মিনিটে $\dfrac{30}{2} = 15$ বার (শুরুর পর)।

শুরুতে একবার একসাথে বেজেছে, তাই মোট $15 + 1 = 16$ বার।

ব্যাখ্যা: "একসাথে বাজা শুরু" বলায় শুরুর বারটি গুনতে হয়।

উত্তর: ঘ) $16$

60. চারটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে যথাক্রমে $6, 7, 8$ ও $9$ সেকেন্ড পরপর বাজে। $1.54$ ঘণ্টায় তারা কতবার একসাথে বাজবে এবং কত সেকেন্ড পরপর? [Four bells begin to toll together and toll respectively at intervals of 6, 7, 8 and 9 seconds. In 1.54 hours, how many times do they toll together and in what interval (seconds)?]

ক) $14, 504$     খ) $14, 480$     গ) $12, 504$     ঘ) $16, 580$

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3^2 \times 7 = 504$ সেকেন্ড (বিরতি)।

$1.54$ ঘণ্টা $= 1.54 \times 3600 = 5544$ সেকেন্ড।

$\dfrac{5544}{504} = 11$ বার, এর সাথে শুরুর বার যোগ: $11 + 1 = 12$ বার।

ব্যাখ্যা: বিরতি $504$ সেকেন্ড এবং সংখ্যা $12$; তাই (গ) $12, 504$।

উত্তর: গ) $12$ বার, $504$ সেকেন্ড পরপর

61. একটি পেন্ডুলাম $3$ সেকেন্ডে $5$ বার এবং আরেকটি পেন্ডুলাম $4$ সেকেন্ডে $7$ বার বাজে। দুটি যদি একসাথে বাজা শুরু করে, তবে $1$ মিনিটে কতগুলো আলাদা শব্দ শোনা যাবে? [A pendulum strikes 5 times in 3 seconds and another pendulum strikes 7 times in 4 seconds. If both pendulums start striking at the same time, how many clear strikes can be listened in 1 minute?]

ক) 195     খ) 199     গ) 200     ঘ) 205

সমাধান:

প্রথম পেন্ডুলাম একবার বাজে $\dfrac{3}{5}$ সেকেন্ডে, দ্বিতীয়টি $\dfrac{4}{7}$ সেকেন্ডে।

$60$ সেকেন্ডে প্রথমটি বাজে $60 \times \dfrac{5}{3} = 100$ বার এবং দ্বিতীয়টি $60 \times \dfrac{7}{4} = 105$ বার। মোট $205$ বার।

একসাথে বাজলে দুটি শব্দ মিলে একটি শোনা যায়, তাই এই সময়গুলো একবার করে বাদ দিতে হবে। ভগ্নাংশের ল.সা.গু. $= \dfrac{L(3, 4)}{H(5, 7)} = \dfrac{12}{1} = 12$ সেকেন্ড।

$60$ সেকেন্ডে একসাথে বাজে $\dfrac{60}{12} + 1 = 6$ বার (শুরুর সময়সহ)।

তাই আলাদা শব্দ $= 205 - 6 = 199$।

ব্যাখ্যা: এখানে $L(3,4)$ ও $H(5,7)$ যথাক্রমে ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.।

উত্তর: খ) $199$

62. তিনজন মেয়ে একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে বৃত্তাকার পথে দৌড় শুরু করল। তারা যথাক্রমে $24$, $36$ ও $48$ সেকেন্ডে একবার ঘুরে আসে। কতক্ষণ পর তারা আবার একই স্থানে মিলিত হবে? [Three girls start jogging from the same point around a circular track and each one completes one round in 24 seconds, 36 seconds and 48 seconds respectively. After how much time will they meet at one point?]

ক) $2$ মিনিট $20$ সেকেন্ড     খ) $2$ মিনিট $24$ সেকেন্ড     গ) $3$ মিনিট $36$ সেকেন্ড     ঘ) $4$ মিনিট $12$ সেকেন্ড

সমাধান:

$24 = 2^3 \times 3$; $36 = 2^2 \times 3^2$; $48 = 2^4 \times 3$। ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 = 144$ সেকেন্ড।

$144$ সেকেন্ড $= 2$ মিনিট $24$ সেকেন্ড। ততক্ষণে তারা যথাক্রমে $6, 4$ ও $3$ বার ঘুরে আসে।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $144 \div 24 = 6$, $\div 36 = 4$, $\div 48 = 3$ পূর্ণসংখ্যা ✓।

উত্তর: খ) $2$ মিনিট $24$ সেকেন্ড

63. সীমা, মীনা ও রীমা একটি বৃত্তাকার স্টেডিয়ামের পাশ দিয়ে দৌড় শুরু করল। তারা যথাক্রমে $54$, $42$ ও $63$ সেকেন্ডে পুরো স্টেডিয়াম একবার ঘুরে আসতে পারে। কতক্ষণ পর তারা একসাথে শুরুর স্থানে একত্রিত হবে? [Seema, Meena and Reema begin to jog around a circular stadium and they complete their revolutions in 54 seconds, 42 seconds and 63 seconds respectively. After how much time will they come together at the starting point?]

সমাধান:

$54 = 2 \times 3^3$; $42 = 2 \times 3 \times 7$; $63 = 3^2 \times 7$। ল.সা.গু. $= 2 \times 3^3 \times 7 = 378$ সেকেন্ড।

$378$ সেকেন্ড $= 6$ মিনিট $18$ সেকেন্ড ($6 \times 60 = 360$)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $378 \div 54 = 7$, $\div 42 = 9$, $\div 63 = 6$ ✓।

উত্তর: $6$ মিনিট $18$ সেকেন্ড

64. তিনজন ব্যক্তি একটি বৃত্তাকার পথ যথাক্রমে $15\dfrac{1}{6}$, $16\dfrac{1}{4}$ ও $18\dfrac{2}{3}$ সেকেন্ডে একবার ঘুরে আসে। তারা শুরুর স্থানে আবার একসাথে ফিরে আসবে $1$ ঘণ্টা এবং কত পরে? [Three persons walking around a circular track complete their respective single revolutions in 15 1/6 seconds, 16 1/4 seconds and 18 2/3 seconds respectively. They will be again together at the common starting point after an hour and?]

ক) $10$ সেকেন্ড     খ) $20$ সেকেন্ড     গ) $30$ সেকেন্ড     ঘ) $40$ সেকেন্ড

সমাধান:

মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে অশুদ্ধ ভগ্নাংশে: $\dfrac{91}{6}$, $\dfrac{65}{4}$, $\dfrac{56}{3}$।

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. $= \dfrac{L(91, 65, 56)}{H(6, 4, 3)}$। $91 = 7 \times 13$; $65 = 5 \times 13$; $56 = 2^3 \times 7$; ল.সা.গু. $= 2^3 \times 5 \times 7 \times 13 = 3640$। $H(6, 4, 3) = 1$।

সময় $= 3640$ সেকেন্ড $= 3600 + 40$, অর্থাৎ $1$ ঘণ্টা $40$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: এখানে $L$ ও $H$ যথাক্রমে ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.।

উত্তর: ঘ) $40$ সেকেন্ড

65. $A, B$ ও $C$ একই সময়ে একই দিকে একটি বৃত্তাকার স্টেডিয়ামে দৌড় শুরু করে। $A$ একবার ঘোরে $252$ সেকেন্ডে, $B$ $308$ সেকেন্ডে এবং $C$ $198$ সেকেন্ডে, সবাই একই স্থান থেকে শুরু করে। কতক্ষণ পর তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবে? [A, B and C start at the same time in the same direction to run around a circular stadium. A completes a round in 252 seconds, B in 308 seconds and C in 198 seconds, all starting at the same point. After what time will they meet again at the starting point?]

ক) $26$ মিনিট $18$ সেকেন্ড     খ) $42$ মিনিট $36$ সেকেন্ড     গ) $45$ মিনিট     ঘ) $46$ মিনিট $12$ সেকেন্ড

সমাধান:

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$; $308 = 2^2 \times 7 \times 11$; $198 = 2 \times 3^2 \times 11$।

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 11 = 2772$ সেকেন্ড।

$2772 \div 60 = 46$ মিনিট ও $12$ সেকেন্ড বাকি ($46 \times 60 = 2760$)।

ব্যাখ্যা: অপশন (ঘ) এর সাথে মিলিয়ে নিন: $46 \times 60 + 12 = 2772$ ✓।

উত্তর: ঘ) $46$ মিনিট $12$ সেকেন্ড

66. তিনটি চাকা প্রতি মিনিটে যথাক্রমে $40$, $24$ ও $16$ বার ঘোরে। প্রতিটি চাকায় একটি লাল দাগ আছে যা শুরুর সময় (শূন্য সময়ে) মাটি স্পর্শ করছিল। কতক্ষণ পর সবগুলো দাগ আবার একসাথে মাটি স্পর্শ করবে? [Three wheels can complete 40, 24 and 16 revolutions per minute respectively. There is a red spot on each wheel that touches the ground at time zero. After how much time, all these spots will simultaneously touch the ground again?]

ক) $7\dfrac{1}{2}$ সেকেন্ড     খ) $18$ সেকেন্ড     গ) $7\dfrac{1}{2}$ মিনিট     ঘ) $18\dfrac{1}{2}$ মিনিট

সমাধান:

একবার ঘুরতে সময় লাগে: $\dfrac{60}{40} = \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{60}{24} = \dfrac{5}{2}$, $\dfrac{60}{16} = \dfrac{15}{4}$ সেকেন্ড।

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. $= \dfrac{L(3, 5, 15)}{H(2, 2, 4)} = \dfrac{15}{2}$ সেকেন্ড।

অর্থাৎ $7\dfrac{1}{2}$ সেকেন্ড পর সবগুলো দাগ একসাথে মাটি ছোঁবে।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{15}{2} \div \dfrac{3}{2} = 5$, $\div \dfrac{5}{2} = 3$, $\div \dfrac{15}{4} = 2$ পূর্ণসংখ্যা ✓।

উত্তর: ক) $7\dfrac{1}{2}$ সেকেন্ড

67. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যা $15, 25, 40$ ও $75$ দ্বারা বিভাজ্য? [The greatest number of four digits which is divisible by 15, 25, 40 and 75 is]

ক) 9000     খ) 9400     গ) 9600     ঘ) 9800

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5^2 = 600$।

চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা $9999$। $9999 \div 600$ এ ভাগফল $16$, ভাগশেষ $399$।

$9999 - 399 = 9600$ ($= 600 \times 16$)।

ব্যাখ্যা: অপশন (ঘ) $9800$ কে $600$ দিয়ে ভাগ করা যায় না ($9800 = 600 \times 16 + 200$), তাই বাদ।

উত্তর: গ) $9600$

68. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যা $12, 18, 21$ ও $28$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য? [The greatest four digit number which is exactly divisible by each one of the numbers 12, 18, 21 and 28?]

ক) 9288     খ) 9882     গ) 9828     ঘ) 9928

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 7 = 252$।

$9999 \div 252$ এ ভাগফল $39$, ভাগশেষ $171$ ($252 \times 39 = 9828$)।

$9999 - 171 = 9828$।

ব্যাখ্যা: শুধু "বিভাজ্য" বললে ভাগশেষ বিয়োগ করুন; ভাগশেষ থাকার শর্ত থাকলে পরে তা যোগ করুন।

উত্তর: গ) $9828$

69. পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যা $15, 21$ ও $36$ দ্বারা বিভাজ্য? [Find the greatest number of five digits which is divisible by 15, 21 and 36.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$।

পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা $99999$। $99999 \div 1260$ এ ভাগফল $79$, ভাগশেষ $459$।

$99999 - 459 = 99540$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1260 \times 79 = 99540$ ✓।

উত্তর: $99540$

70. তিন অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে $6, 9$ ও $12$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $3$ ভাগশেষ থাকে? [What is the greatest number of 3 digits which when divided by 6, 9 and 12 leaves a remainder of 3 in each case?]

ক) 903     খ) 939     গ) 975     ঘ) 996

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 36$। তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা $999$।

$999 \div 36$ এ ভাগফল $27$, ভাগশেষ $27$। অতএব $999 - 27 = 972$ হলো $36$ এর বৃহত্তম গুণিতক।

ভাগশেষ $3$ চাই, তাই $972 + 3 = 975$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $975 = 36 \times 27 + 3$ এবং $975 < 999$ ✓।

উত্তর: গ) $975$

71. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে $4, 5, 6, 7$ ও $8$ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে $1, 2, 3, 4$ ও $5$ ভাগশেষ থাকে? [Find the greatest number of 4 digits which when divided by 4, 5, 6, 7 and 8 leaves 1, 2, 3, 4 and 5 as remainders.]

ক) 9237     খ) 9240     গ) 9840     ঘ) 9999

সমাধান:

পার্থক্য: $4 - 1 = 5 - 2 = 6 - 3 = 7 - 4 = 8 - 5 = 3$। ল.সা.গু. $= 840$।

সংখ্যা $= 840k - 3$। $9999 \div 840$ এ ভাগশেষ $759$, তাই $840$ এর বৃহত্তম গুণিতক $9999 - 759 = 9240$।

$9240 - 3 = 9237$।

ব্যাখ্যা: আগে গুণিতক বের করে তারপর $3$ বিয়োগ করুন। শুরুতে $9999$ থেকেই $3$ বিয়োগ করলে ভুল হতে পারে।

উত্তর: ক) $9237$

72. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে $4, 7$ ও $13$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $3$ ভাগশেষ থাকে? [The largest four-digit number which when divided by 4, 7 or 13 leaves a remainder of 3 in each case, is]

ক) 8739     খ) 9831     গ) 9834     ঘ) 9893

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 4 \times 7 \times 13 = 364$ (সহমৌলিক)।

$9999 \div 364$ এ ভাগফল $27$, ভাগশেষ $171$। $9999 - 171 = 9828$।

ভাগশেষ $3$ চাই: $9828 + 3 = 9831$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9831 < 9999$ এবং $9831 = 364 \times 27 + 3$ ✓। পরের সংখ্যা $9828 + 364 + 3 = 10195$ চার অঙ্কের বেশি।

উত্তর: খ) $9831$

73. পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে $16, 24, 30$ অথবা $36$ দ্বারা ভাগ করলে সবক্ষেত্রে $10$ ভাগশেষ থাকে? [Find the largest number of five digits which, when divided by 16, 24, 30 or 36, leaves the same remainder 10 in each case.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 \times 5 = 720$।

$99999 \div 720$ এ ভাগফল $138$, ভাগশেষ $639$। $99999 - 639 = 99360$।

ভাগশেষ $10$ চাই: $99360 + 10 = 99370$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $99370 < 99999$ এবং $99370 - 10 = 720 \times 138$ ✓।

উত্তর: $99370$

74. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $12, 15$ ও $18$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য? [The least number of five digits which is exactly divisible by 12, 15 and 18 is]

ক) 10010     খ) 10015     গ) 10020     ঘ) 10080

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$।

পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $10000$। $10000 \div 180$ এ ভাগশেষ $100$।

$10000$ এর সাথে $180 - 100 = 80$ যোগ করলে পরের গুণিতক পাওয়া যায়: $10000 + 80 = 10080$।

ব্যাখ্যা: ক্ষুদ্রতম বের করতে ভাগশেষ বিয়োগ নয়; (ল.সা.গু. $-$ ভাগশেষ) যোগ করতে হয়, নইলে সংখ্যাটি চার অঙ্কে নেমে যায়।

উত্তর: ঘ) $10080$

75. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $16, 24, 36$ ও $54$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য? [Find the smallest number of five digits exactly divisible by 16, 24, 36 and 54.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^3 = 432$।

$10000 \div 432$ এ ভাগফল $23$, ভাগশেষ $64$ ($432 \times 23 = 9936$)।

যোগ করতে হবে $432 - 64 = 368$। সংখ্যা $= 10000 + 368 = 10368$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $10368 = 432 \times 24$ ✓।

উত্তর: $10368$