HCF & LCM Math Solutions for Bank Jobs: Part 2 (Q26-50)

২. সংখ্যার সাথে কিছু যোগ বা বিয়োগ করলে বিভাজ্য: উত্তর $=$ ল.সা.গু. $\mp$ ঐ সংখ্যা।

৩. একই ভাগশেষ থাকলে: উত্তর $=$ ল.সা.গু. $+$ ভাগশেষ। ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য সমান হলে: উত্তর $=$ ল.সা.গু. $-$ ঐ পার্থক্য।

৪. আরেকটি শর্তে বিভাজ্য হলে: সংখ্যাটি $(L) \cdot k + r$ আকারের ধরে $k = 1, 2, 3, \ldots$ বসিয়ে মিলিয়ে নিন।

প্রশ্ন ও সমাধান

26. $22, 54, 108, 135$ ও $198$ এর ল.সা.গু. কত? [The L.C.M. of 22, 54, 108, 135 and 198 is]

ক) 330     খ) 1980     গ) 5940     ঘ) 11880

সমাধান:

$22 = 2 \times 11$; $54 = 2 \times 3^3$; $108 = 2^2 \times 3^3$; $135 = 3^3 \times 5$; $198 = 2 \times 3^2 \times 11$।

সব মৌলিক উৎপাদকের বড় ঘাত: $2^2, 3^3, 5, 11$। ল.সা.গু. $= 4 \times 27 \times 5 \times 11 = 5940$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: অপশনের মধ্যে সবচেয়ে ছোট যে সংখ্যাটি সবগুলো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য, সেটিই ল.সা.গু.।

উত্তর: গ) $5940$

27. $32, 36, 45, 60$ ও $80$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কত? [Find the least number which is exactly divisible by 32, 36, 45, 60 and 80.]

সমাধান:

$32 = 2^5$; $36 = 2^2 \times 3^2$; $45 = 3^2 \times 5$; $60 = 2^2 \times 3 \times 5$; $80 = 2^4 \times 5$।

ল.সা.গু. $= 2^5 \times 3^2 \times 5 = 32 \times 9 \times 5 = 1440$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1440 \div 32 = 45$, $\div 36 = 40$, $\div 45 = 32$, $\div 60 = 24$, $\div 80 = 18$ ✓।

উত্তর: $1440$

28. তিনটি সংখ্যা $2a$, $5a$ ও $7a$ হলে এদের ল.সা.গু. কত? [If three numbers are 2a, 5a and 7a, what will be their L.C.M?]

ক) $70a$     খ) $65a$     গ) $75a$     ঘ) $70a^3$

সমাধান:

$2, 5, 7$ পরস্পর সহমৌলিক, তাই এদের ল.সা.গু. $= 2 \times 5 \times 7 = 70$।

সাধারণ উৎপাদক $a$ একবারই ধরা হয়। অতএব ল.সা.গু. $= 70a$।

ব্যাখ্যা: সাধারণ বর্ণরাশি ল.সা.গু.-তে একবারই আসে, তিনবার নয়; তাই $70a^3$ ভুল।

উত্তর: ক) $70a$

29. $1$ থেকে $9$ পর্যন্ত সব অঙ্ক দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে না এমন ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা কত? [What is the least natural number which leaves no remainder when divided by all the digits from 1 to 9?]

ক) 1800     খ) 1920     গ) 2520     ঘ) 5040

সমাধান:

$1, 2, 3, 4$ সংখ্যাগুলো $6, 8, 9$ এর মধ্যেই লুকিয়ে আছে ($4$ এবং $2$, $8$ এর উৎপাদক; $3$, $6$ ও $9$ এর উৎপাদক)।

তাই শুধু $5, 6, 7, 8, 9$ এর ল.সা.গু. নিলেই হয়: $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2520 \div 7 = 360$, $\div 8 = 315$, $\div 9 = 280$ ✓। (অপশন $5040$ ও কাজ করে, কিন্তু ক্ষুদ্রতম নয়।)

উত্তর: গ) $2520$

30. যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে দ্বিগুণ করলে তা $12, 18, 21$ ও $30$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, সেটি কোনটি? [What will be the least number which when doubled will be exactly divisible by 12, 18, 21 and 30?] (Exim Bank Off 2013)

ক) 196     খ) 630     গ) 1260     ঘ) 2520

সমাধান:

$12 = 2^2 \times 3$; $18 = 2 \times 3^2$; $21 = 3 \times 7$; $30 = 2 \times 3 \times 5$। ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$।

সংখ্যাটির দ্বিগুণ $= 1260$, অতএব সংখ্যাটি $= \dfrac{1260}{2} = 630$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $630 \times 2 = 1260$ এবং $1260$ সবগুলোর গুণিতক ✓।

উত্তর: খ) $630$

31. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যার সাথে $10$ যোগ করলে যোগফল $12, 15, 18, 20$ ও $24$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়? [Find the smallest number which when increased by 10 is completely divisible by 12, 15, 18, 20 and 24.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$ ($12, 15, 18, 20, 24$ এর)।

সংখ্যা $+ 10 = 360$ হলে সংখ্যা $= 360 - 10 = 350$।

ব্যাখ্যা: যোগ করে বিভাজ্য হলে ল.সা.গু. থেকে ঐ সংখ্যা বিয়োগ করতে হয়।

উত্তর: $350$

32. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যার সাথে $5$ যোগ করলে যোগফল $24, 32, 36$ ও $54$ প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য হয়? [The least number which when increased by 5 is divisible by each one of 24, 32, 36 and 54 is]

ক) 427     খ) 859     গ) 869     ঘ) 4320

সমাধান:

$24 = 2^3 \times 3$; $32 = 2^5$; $36 = 2^2 \times 3^2$; $54 = 2 \times 3^3$। ল.সা.গু. $= 2^5 \times 3^3 = 864$।

সংখ্যা $= 864 - 5 = 859$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $859 + 5 = 864 = 24 \times 36$ ✓।

উত্তর: খ) $859$

33. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা থেকে $7$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল $12, 16, 18, 21$ ও $28$ দ্বারা বিভাজ্য হয়? [The smallest number which when diminished by 7, is divisible by 12, 16, 18, 21 and 28 is]

ক) 1008     খ) 1015     গ) 1022     ঘ) 1032

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 \times 7 = 1008$।

সংখ্যা $- 7 = 1008$ হলে সংখ্যা $= 1008 + 7 = 1015$।

ব্যাখ্যা: বিয়োগ করে বিভাজ্য হলে ল.সা.গু. এর সাথে ঐ সংখ্যা যোগ করতে হয়।

উত্তর: খ) $1015$

34. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $6, 7, 8, 9$ ও $12$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $1$ থাকে? [Find the least number which when divided by 6, 7, 8, 9 and 12 leaves the same remainder 1 in each case.]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3^2 \times 7 = 504$।

সংখ্যা $= 504 + 1 = 505$ (ভাগশেষ সবক্ষেত্রে $1$)।

ব্যাখ্যা: একই ভাগশেষ থাকলে ল.সা.গু. এর সাথে ভাগশেষ যোগ করুন।

উত্তর: $505$

35. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $12, 15, 20$ ও $54$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $8$ থাকে? [The least number, which when divided by 12, 15, 20 and 54 leaves in each case a remainder of 8 is]

ক) 504     খ) 536     গ) 544     ঘ) 548

সমাধান:

$12 = 2^2 \times 3$; $15 = 3 \times 5$; $20 = 2^2 \times 5$; $54 = 2 \times 3^3$। ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^3 \times 5 = 540$।

সংখ্যা $= 540 + 8 = 548$।

ব্যাখ্যা: $8$ সবগুলো ভাজকের চেয়ে ছোট ($12$ সবচেয়ে ছোট ভাজক), তাই ভাগশেষ $8$ সম্ভব ✓।

উত্তর: ঘ) $548$

36. $500$ এর চেয়ে ছোট একটি সংখ্যাকে $4, 5, 6, 7$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $1$ থাকে। সংখ্যাটি কত? [A number less than 500, when divided by 4, 5, 6, 7 leaves remainder 1 in each case. The number is?]

ক) 211     খ) 420     গ) 421     ঘ) 441

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।

সংখ্যা $= 420k + 1$। $k = 1$ হলে $421$, যা $500$ এর চেয়ে ছোট। $k = 2$ হলে $841 > 500$।

ব্যাখ্যা: অপশন (ক) $211$ এ $4$ দিয়ে ভাগে ভাগশেষ $3$; তাই বাদ।

উত্তর: গ) $421$

37. $43582$ এর নিকটতম কোন সংখ্যা $25, 50$ ও $75$ প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য? [The number nearest to 43582 divisible by each of 25, 50 and 75 is]

ক) 43500     খ) 43550     গ) 43600     ঘ) 43650

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2 \times 3 \times 5^2 = 150$।

$43582 \div 150$ করলে ভাগফল $290$ এবং ভাগশেষ $82$। অর্থাৎ $150 \times 290 = 43500$ এবং পরের গুণিতক $150 \times 291 = 43650$।

$43582 - 43500 = 82$ এবং $43650 - 43582 = 68$; $68 < 82$, তাই নিকটতম $43650$।

ব্যাখ্যা: ভাগশেষ ল.সা.গু. এর অর্ধেকের ($75$) চেয়ে বেশি হলে পরের গুণিতক এবং কম হলে আগের গুণিতক নিকটতম হয়; এখানে $82 > 75$।

উত্তর: ঘ) $43650$

38. $4000$ থেকে $5000$ এর মধ্যে কোন সংখ্যা $12, 18, 21$ ও $32$ দ্বারা বিভাজ্য? [The number between 4000 and 5000 which is divisible by 12, 18, 21 and 32 is]

ক) 4023     খ) 4032     গ) 4203     ঘ) 4302

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^5 \times 3^2 \times 7 = 2016$।

সংখ্যাটি $2016$ এর গুণিতক: $2016 \times 1 = 2016$, $2016 \times 2 = 4032$, $2016 \times 3 = 6048$। শুধু $4032$ ই $4000$ ও $5000$ এর মধ্যে আছে।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $4000 \div 2016 \approx 1.98$, তাই পরের পূর্ণসংখ্যা $2$ নিয়ে $2016 \times 2 = 4032$।

উত্তর: খ) $4032$

39. $5834$ থেকে সর্বোচ্চ কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল $20, 28, 32$ ও $35$ প্রত্যেকটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? [The greatest number which when subtracted from 5834, gives a number exactly divisible by each of 20, 28, 32 and 35 is?]

ক) 1120     খ) 4714     গ) 5200     ঘ) 5600

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^5 \times 5 \times 7 = 1120$।

সর্বোচ্চ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক গুণিতক, অর্থাৎ $1120$ হবে।

বিয়োগ করা সংখ্যা $= 5834 - 1120 = 4714$।

ব্যাখ্যা: এখানে "সর্বোচ্চ বিয়োগ" মানে বিয়োগফল ল.সা.গু. পর্যন্ত নামিয়ে আনা (শূন্যকে ধরা হচ্ছে না); এটি বইয়ের ধরন।

উত্তর: খ) $4714$

40. $10000$ থেকে সর্বোচ্চ কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল $32, 36, 48$ ও $50$ দ্বারা বিভাজ্য হবে? [Find the largest number which when subtracted from 10000, the remainder is divisible by 32, 36, 48 and 50.]

সমাধান:

$32 = 2^5$; $36 = 2^2 \times 3^2$; $48 = 2^4 \times 3$; $50 = 2 \times 5^2$। ল.সা.গু. $= 2^5 \times 3^2 \times 5^2 = 7200$।

আগের প্রশ্নের মতো বিয়োগফল ল.সা.গু. হলে বিয়োগ করা সংখ্যা সর্বোচ্চ: $10000 - 7200 = 2800$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $10000 - 2800 = 7200$ এবং $7200 \div 32 = 225$, $\div 36 = 200$, $\div 48 = 150$, $\div 50 = 144$ ✓।

উত্তর: $2800$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে এই প্রশ্নে ল.সা.গু. $864$ ধরে $10000 - 864 = 9136$ লেখা হয়েছে। কিন্তু $32, 36, 48, 50$ এর ল.সা.গু. $864$ নয়, $7200$ ($50$ এর উৎপাদক $5^2$ বাদ পড়েছে)। তাই আমাদের হিসাবে উত্তর $2800$।

41. $2497$ এর সাথে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফল $5, 6, 4$ ও $3$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? [The least number which should be added to 2497 so that the sum is exactly divisible by 5, 6, 4 and 3 is]

ক) 3     খ) 13     গ) 23     ঘ) 33

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$।

$2497 \div 60$ করলে ভাগশেষ $37$ ($60 \times 41 = 2460$)।

যোগ করতে হবে $60 - 37 = 23$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2497 + 23 = 2520 = 60 \times 42$ ✓।

উত্তর: গ) $23$

42. দুটি সংখ্যার যোগফল $45$। তাদের বিয়োগফল যোগফলের $\dfrac{1}{9}$ অংশ। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত? [The sum of two numbers is 45. Their difference is 1/9 of their sum. Their L.C.M. is]

ক) 100     খ) 150     গ) 200     ঘ) 250

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $a$ ও $b$ ধরি। $a + b = 45$ ... (i)

$a - b = \dfrac{1}{9} \times 45 = 5$ ... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে $2a = 50$, তাই $a = 25$ এবং $b = 20$।

$25 = 5^2$ ও $20 = 2^2 \times 5$; ল.সা.গু. $= 2^2 \times 5^2 = 100$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $25 + 20 = 45$ এবং $25 - 20 = 5 = \dfrac{45}{9}$ ✓।

উত্তর: ক) $100$

43. নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ এবং $16, 20$ ও $24$ প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য? [The least number which is a perfect square and is divisible by each of the numbers 16, 20 and 24, is]

ক) 1600     খ) 3600     গ) 6400     ঘ) 14400

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3 \times 5 = 240$।

পূর্ণবর্গ হতে হলে প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হয়। $2^4$ ঠিক আছে, কিন্তু $3$ ও $5$ এর ঘাত বিজোড় ($1$)।

তাই $240$ কে $3 \times 5 = 15$ দিয়ে গুণ করতে হবে: $240 \times 15 = 3600 = 60^2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3600 \div 16 = 225$, $\div 20 = 180$, $\div 24 = 150$ ✓ এবং $60^2 = 3600$ ✓।

উত্তর: খ) $3600$

44. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $12$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $7$, $15$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $10$ এবং $16$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $11$ থাকে? [Find the least number which when divided by 12, leaves a remainder of 7; when divided by 15, leaves a remainder of 10 and when divided by 16, leaves a remainder of 11.]

ক) 115     খ) 235     গ) 247     ঘ) 475

সমাধান:

ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য: $12 - 7 = 5$; $15 - 10 = 5$; $16 - 11 = 5$। সবক্ষেত্রে সমান।

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3 \times 5 = 240$।

সংখ্যা $= 240 - 5 = 235$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $235 = 12 \times 19 + 7$ ✓; $235 = 15 \times 15 + 10$ ✓; $235 = 16 \times 14 + 11$ ✓।

উত্তর: খ) $235$

45. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $20, 25, 35$ ও $40$ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে $14, 19, 29$ ও $34$ ভাগশেষ থাকে? [Find the least number which when divided by 20, 25, 35 and 40 leaves remainders 14, 19, 29 and 34 respectively.]

সমাধান:

পার্থক্য: $20 - 14 = 6$; $25 - 19 = 6$; $35 - 29 = 6$; $40 - 34 = 6$। সবক্ষেত্রে সমান।

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 5^2 \times 7 = 1400$।

সংখ্যা $= 1400 - 6 = 1394$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1394 = 20 \times 69 + 14$ ✓; $1394 = 25 \times 55 + 19$ ✓; $1394 = 35 \times 39 + 29$ ✓; $1394 = 40 \times 34 + 34$ ✓।

উত্তর: $1394$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে ল.সা.গু. $1940$ ধরে উত্তর $1934$ লেখা হয়েছে, কিন্তু $20, 25, 35, 40$ এর ল.সা.গু. $1400$। তাই সঠিক উত্তর $1400 - 6 = 1394$।

46. $13$ এর ক্ষুদ্রতম কোন গুণিতককে $4, 5, 6, 7$ ও $8$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $2$ থাকে? [The least multiple of 13, which on dividing by 4, 5, 6, 7 and 8 leaves remainder 2 in each case is?]

ক) 840     খ) 842     গ) 2520     ঘ) 2522

সমাধান:

$4, 5, 6, 7, 8$ এর ল.সা.গু. $= 840$। সংখ্যাটি $840x + 2$ আকারের।

সংখ্যাটি $13$ এর গুণিতক হতে হবে, তাই $x = 1, 2, 3, \ldots$ বসিয়ে মেলাই।

$x = 1$: $842 \div 13$ নিঃশেষে হয় না; $x = 2$: $1682 \div 13$ হয় না; $x = 3$: $2522 = 13 \times 194$ ✓।

ব্যাখ্যা: আগে অপশন (ঘ) $2522$ টেস্ট করলেও চলে: $2522 \div 13 = 194$ এবং $2520$ সবগুলোর গুণিতক ✓।

উত্তর: ঘ) $2522$

47. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $3, 5, 6, 8, 10$ ও $12$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $2$ থাকে, কিন্তু $13$ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না? [What is the least number which when divided by the numbers 3, 5, 6, 8, 10 and 12 leaves in each case a remainder 2 but when divided by 13 leaves no remainder?]

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5 = 120$। সংখ্যাটি $120k + 2$ আকারের।

$k$ এর ক্ষুদ্রতম মান বের করতে হবে যাতে $120k + 2$ কে $13$ দিয়ে ভাগ করা যায়। $120 = 13 \times 9 + 3$, তাই শর্ত: $3k + 2$ কে $13$ দিয়ে ভাগ করা যেতে হবে।

$k = 8$ হলে $3 \times 8 + 2 = 26 = 13 \times 2$ ✓। (এর ছোট মানে হয় না।)

সংখ্যা $= 120 \times 8 + 2 = 962$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $962 = 13 \times 74$ ✓ এবং $962 - 2 = 960 = 120 \times 8$ ✓।

উত্তর: $962$

48. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $5, 6, 7$ ও $8$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবার ভাগশেষ $3$ থাকে, কিন্তু $9$ দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না? [The least number which when divided by 5, 6, 7 and 8 leaves a remainder 3, but when divided by 9 leaves no remainder, is?]

ক) 1677     খ) 1683     গ) 2523     ঘ) 3363

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 840$। সংখ্যা $840k + 3$ আকারের।

$840 = 9 \times 93 + 3$, তাই $840k + 3$ কে $9$ দিয়ে ভাগ করা যাবে যদি $3k + 3$ কে $9$ দিয়ে ভাগ করা যায়।

$k = 1$: $6$ (হয় না); $k = 2$: $9$ ✓। সংখ্যা $= 840 \times 2 + 3 = 1683$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1683 = 9 \times 187$ ✓।

উত্তর: খ) $1683$

49. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে $16, 18, 20$ ও $25$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $4$ থাকে, কিন্তু $7$ দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না? [Find the least number which when divided by 16, 18, 20 and 25 leaves 4 as remainder in each case, but when divided by 7 leaves no remainder.]

ক) 17004     খ) 18000     গ) 18002     ঘ) 18004

সমাধান:

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 3600$। সংখ্যা $3600k + 4$ আকারের।

$3600 = 7 \times 514 + 2$, তাই $3600k + 4$ কে $7$ দিয়ে ভাগ করা যাবে যদি $2k + 4$ কে $7$ দিয়ে ভাগ করা যায়।

$k = 1, 2, 3, 4$ এ $2k + 4 = 6, 8, 10, 12$ (কোনোটি $7$ এর গুণিতক নয়); $k = 5$ এ $14$ ✓।

সংখ্যা $= 3600 \times 5 + 4 = 18004$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $18004 = 7 \times 2572$ ✓।

উত্তর: ঘ) $18004$

50. একটি সংখ্যা $x$ কে $7$ দ্বারা ভাগ করলে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, কিন্তু সংখ্যাটিকে $8, 12$ ও $16$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ $3$ থাকে। $x$ এর ক্ষুদ্রতম মান কত? [A number x is divided by 7. When this number is divided by 8, 12 and 16, it leaves a remainder 3 in each case. The least value of x is?]

ক) 148     খ) 149     গ) 150     ঘ) 147

সমাধান:

$8, 12, 16$ এর ল.সা.গু. $= 48$। সংখ্যা $48a + 3$ আকারের এবং এটি $7$ এর গুণিতক হতে হবে।

$48 = 7 \times 6 + 6$, তাই $48a + 3$ কে $7$ দিয়ে ভাগ করা যাবে যদি $6a + 3$ কে $7$ দিয়ে ভাগ করা যায়।

$a = 1$: $9$; $a = 2$: $15$; $a = 3$: $21 = 7 \times 3$ ✓। সংখ্যা $= 48 \times 3 + 3 = 147$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $147 = 7 \times 21$; $147 = 8 \times 18 + 3$ ✓; $147 = 12 \times 12 + 3$ ✓; $147 = 16 \times 9 + 3$ ✓।

উত্তর: ঘ) $147$