HCF & LCM Math Solutions for Bank Jobs: Part 1 (Q1-25)

ল.সা.গু. (L.C.M): একাধিক সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য এমন সবচেয়ে ছোট সংখ্যা। সব মৌলিক উৎপাদক নিন এবং প্রতিটির বড় ঘাত ধরে গুণ করুন।

কোন প্রশ্নে কোনটি? "সবচেয়ে বড় মাপ, সবচেয়ে বড় টাইল, সমান ভাগে ভাগ" এ ধরনের শব্দ থাকলে ম.সা.গু.; আর "সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যা সবগুলো দিয়ে বিভাজ্য" থাকলে ল.সা.গু.।

অবশিষ্ট একই থাকলে: সংখ্যাগুলোর মধ্যকার ব্যবধানগুলোর ম.সা.গু. বের করুন। ভিন্ন ভিন্ন অবশিষ্ট থাকলে: প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার অবশিষ্ট বিয়োগ করে নতুন সংখ্যাগুলোর ম.সা.গু. বের করুন।

প্রশ্ন ও সমাধান

1. 330 এর উৎপাদকগুলো নির্ণয় করুন (Find the factors of 330). [Find the factors of 330.]

ক) $2 \times 4 \times 5 \times 11$     খ) $2 \times 3 \times 7 \times 13$     গ) $2 \times 3 \times 5 \times 13$     ঘ) $2 \times 3 \times 5 \times 11$

সমাধান:

$330 \div 2 = 165$; $165 \div 3 = 55$; $55 \div 5 = 11$ এবং $11$ মৌলিক।

অতএব $330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$।

ব্যাখ্যা: অপশন (ক) তে $4$ মৌলিক নয় এবং (খ), (গ) তে $13$ আছে যা $330$ কে ভাগ করে না; তাই এগুলো বাদ।

উত্তর: ঘ) $2 \times 3 \times 5 \times 11$

2. ম.সা.গু. নির্ণয় করুন: (ক) $42, 63$ ও $140$ (খ) $108, 288$ ও $360$। [Find the H.C.F of: (a) 42, 63 and 140 (b) 108, 288 and 360]

সমাধান:

(ক) $42 = 2 \times 3 \times 7$; $63 = 3^2 \times 7$; $140 = 2^2 \times 5 \times 7$। তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক শুধু $7$; তাই ম.সা.গু. $= 7$।

(খ) $108 = 2^2 \times 3^3$; $288 = 2^5 \times 3^2$; $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$। সাধারণ উৎপাদক $2$ ও $3$; ছোট ঘাত নিয়ে ম.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 = 36$।

ব্যাখ্যা: সাধারণ মৌলিক উৎপাদক যত বার সব সংখ্যায় আছে, তার সবচেয়ে কম ঘাতটিই নিতে হয়।

উত্তর: (ক) $7$; (খ) $36$

3. $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7^4$, $2^2 \times 3^5 \times 5^2 \times 7^3$ এবং $2^3 \times 5^3 \times 7^2$ এর ম.সা.গু. কত? [Find the H.C.F of 2^3 × 3^2 × 5 × 7^4, 2^2 × 3^5 × 5^2 × 7^3, 2^3 × 5^3 × 7^2]

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি ইতিমধ্যে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙা। তিনটিতেই আছে $2, 5, 7$ ($3$ তৃতীয় সংখ্যায় নেই)।

$2$ এর ঘাত $3, 2, 3$, ছোট $= 2$; $5$ এর ঘাত $1, 2, 3$, ছোট $= 1$; $7$ এর ঘাত $4, 3, 2$, ছোট $= 2$।

ম.সা.গু. $= 2^2 \times 5 \times 7^2 = 4 \times 5 \times 49 = 980$।

ব্যাখ্যা: যে মৌলিক উৎপাদক কোনো একটি সংখ্যায় নেই (এখানে $3$), তা ম.সা.গু.-তে আসে না।

উত্তর: $980$

4. $0$ এবং $6$ এর ম.সা.গু. কত? [The highest common factor of 0 and 6 is]

ক) 0     খ) 3     গ) 6     ঘ) অসংজ্ঞায়িত (Undefined)

সমাধান:

প্রচলিত বইয়ের ও পরীক্ষার যুক্তি: $0$ কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার উৎপাদক হতে পারে না, কারণ $0$ দিয়ে ভাগ অসংজ্ঞায়িত।

তাই $0$ ও $6$ এর ম.সা.গু. অসংজ্ঞায়িত বলে ধরা হয়।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নটি তাত্ত্বিক; পরীক্ষায় "অসংজ্ঞায়িত" অপশন থাকলে সেটিই বইয়ের উত্তর।

উত্তর: ঘ) অসংজ্ঞায়িত

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: উচ্চতর সংখ্যাতত্ত্বে অনেক সময় $\gcd(0, 6) = 6$ ধরা হয়। কিন্তু এই প্রশ্নের অপশনে "অসংজ্ঞায়িত" আছে এবং বইয়ের উত্তরমালাও সেটিই ধরেছে; তাই পরীক্ষার জন্য (ঘ) মনে রাখুন।

5. $36$ এবং $84$ এর ম.সা.গু. নির্ণয় করুন। [Find the highest common factor of 36 and 84.]

ক) 4     খ) 6     গ) 12     ঘ) 18

সমাধান:

$36 = 2^2 \times 3^2$ এবং $84 = 2^2 \times 3 \times 7$।

সাধারণ অংশ: $2^2 \times 3 = 12$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $36 \div 12 = 3$ এবং $84 \div 12 = 7$; $3$ ও $7$ এর আর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই ✓।

উত্তর: গ) $12$

6. $132, 204$ এবং $228$ এর ম.সা.গু. কত? [Find the HCF of 132, 204 and 228.]

ক) 12     খ) 18     গ) 6     ঘ) 21

সমাধান:

$132 = 2^2 \times 3 \times 11$; $204 = 2^2 \times 3 \times 17$; $228 = 2^2 \times 3 \times 19$।

সাধারণ উৎপাদক $2^2 \times 3 = 12$।

ব্যাখ্যা: $11, 17, 19$ আলাদা মৌলিক সংখ্যা, তাই এরা ম.সা.গু.-তে আসে না।

উত্তর: ক) $12$

7. $204, 1190$ এবং $1445$ এর ম.সা.গু. কত? [The H.C.F. of 204, 1190 and 1445 is...]

ক) 17     খ) 18     গ) 19     ঘ) 21

সমাধান:

$204 = 2^2 \times 3 \times 17$; $1190 = 2 \times 5 \times 7 \times 17$; $1445 = 5 \times 17^2$।

তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক শুধু $17$ (ছোট ঘাত $17^1$)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $204 = 17 \times 12$, $1190 = 17 \times 70$, $1445 = 17 \times 85$ এবং $12, 70, 85$ এর আর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই ✓।

উত্তর: ক) $17$

8. নিচের কোন সংখ্যাটির উৎপাদক (ভাজক) সংখ্যা সবচেয়ে বেশি? [Which of the following has most number of divisors?]

ক) 99     খ) 101     গ) 176     ঘ) 182

সমাধান:

সূত্র: $n = p^a \times q^b \times \cdots$ হলে উৎপাদক সংখ্যা $= (a + 1)(b + 1) \cdots$।

$99 = 3^2 \times 11$, উৎপাদক $= 3 \times 2 = 6$।

$101$ মৌলিক, উৎপাদক $= 2$।

$176 = 2^4 \times 11$, উৎপাদক $= 5 \times 2 = 10$।

$182 = 2 \times 7 \times 13$, উৎপাদক $= 2 \times 2 \times 2 = 8$।

ব্যাখ্যা: বড় সংখ্যা মানেই বেশি উৎপাদক নয়; ঘাতের সূত্র দিয়ে গুনে দেখতে হয়।

উত্তর: গ) $176$ (১০টি উৎপাদক)

9. $105, 1001$ এবং $2436$ কে নিঃশেষে ভাগ করে এমন বৃহত্তম সংখ্যা কোনটি? [The greatest number that exactly divides 105, 1001 and 2436 is]

ক) 3     খ) 7     গ) 11     ঘ) 21

সমাধান:

ধাপে ধাপে ম.সা.গু.: $105$ ও $1001$ এর ম.সা.গু. $= 7$ ($105 = 3 \times 5 \times 7$, $1001 = 7 \times 11 \times 13$)।

এখন $7$ ও $2436$: $2436 \div 7 = 348$, নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই তিনটির ম.সা.গু. $= 7$।

ব্যাখ্যা: ছোট সংখ্যা দিয়ে মাঝারিটিকে ভাগ করে (ভাগ প্রক্রিয়া) ম.সা.গু. বের করার এই ধাপে ধাপে পদ্ধতি বড় সংখ্যায় সুবিধাজনক।

উত্তর: খ) $7$

10. সর্বোচ্চ কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে $1001$ টি কলম ও $910$ টি পেন্সিল এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া যায় যেন প্রত্যেকে সমান সংখ্যক কলম ও সমান সংখ্যক পেন্সিল পায়? [The maximum number of students among whom 1001 pens and 910 pencils can be distributed in such a way that each student gets the same number of pens and same number of pencils is:]

ক) 91     খ) 910     গ) 1001     ঘ) 1911

সমাধান:

সমান ভাগে ভাগ ও "সর্বোচ্চ" শব্দ দেখে বোঝা যায় ম.সা.গু. বের করতে হবে।

$1001 = 7 \times 11 \times 13$ এবং $910 = 2 \times 5 \times 7 \times 13$; সাধারণ উৎপাদক $7 \times 13 = 91$।

ব্যাখ্যা: প্রতিজন পাবে $1001 \div 91 = 11$ টি কলম ও $910 \div 91 = 10$ টি পেন্সিল ✓।

উত্তর: ক) $91$ জন

11. $3.78$ মিটার লম্বা ও $5.25$ মিটার চওড়া একটি উঠান সমান মাপের বর্গাকার টাইল দিয়ে ঠিকঠাক ঢাকতে হবে। ব্যবহারযোগ্য সবচেয়ে বড় টাইলের বাহুর দৈর্ঘ্য কত? [A rectangular courtyard 3.78 meters long and 5.25 meters wide is to be paved exactly with square tiles, all of the same size. What is the largest size of the tile which could be used for the purpose?]

ক) 14 সেমি     খ) 21 সেমি     গ) 42 সেমি     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

মাপ সেন্টিমিটারে নিই: $3.78$ মি. $= 378$ সেমি এবং $5.25$ মি. $= 525$ সেমি।

$378 = 2 \times 3^3 \times 7$ এবং $525 = 3 \times 5^2 \times 7$; সাধারণ অংশ $3 \times 7 = 21$।

ব্যাখ্যা: বৃহত্তম টাইলের বাহু $= 378$ ও $525$ এর ম.সা.গু. $= 21$ সেমি। মাপ মিটারে রাখলেও (দশমিকসহ) একই অনুপাত পাওয়া যায়, তবে সংখ্যা পূর্ণ করে নেওয়াই সহজ।

উত্তর: খ) 21 সেমি

12. $62, 132$ এবং $237$ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকে, এমন বৃহত্তম সংখ্যা কত? [Find the largest number which divides 62, 132 and 237 to leave the same remainder in each case.]

সমাধান:

একই ভাগশেষ থাকলে সংখ্যাগুলোর ব্যবধানের ম.সা.গু. নিতে হয়।

ব্যবধান: $132 - 62 = 70$; $237 - 132 = 105$; $237 - 62 = 175$।

$70 = 2 \times 5 \times 7$; $105 = 3 \times 5 \times 7$; $175 = 5^2 \times 7$। ম.সা.গু. $= 5 \times 7 = 35$।

ব্যাখ্যা: কেন কাজ করে: $35$ দিয়ে ভাগ করলে $62$ এ ভাগশেষ $27$। $132 = 62 + 70$ এবং $70$ কে $35$ নিঃশেষে ভাগ করে, তাই $132$ এও ভাগশেষ $27$; $237$ এও একই।

উত্তর: $35$

13. একজন দুধবিক্রেতার তিনটি জারে যথাক্রমে $57$ লিটার, $129$ লিটার ও $177$ লিটার খাঁটি দুধ আছে। একটি মাপার পাত্র দিয়ে প্রতিটি জারের দুধ কয়েকবার করে মাপার পর প্রতিটি জারে সমান পরিমাণ দুধ অবশিষ্ট থাকে। মাপার পাত্রটির সর্বোচ্চ ধারণক্ষমতা কত? [A milkman has 3 jars containing 57 litres, 129 litres and 177 litres of pure milk respectively. A measuring can, after a different number of exact measurements of milk in each jar, leaves the same amount of milk unmeasured in each jar. What is the volume of the largest such can?]

ক) 12 লিটার     খ) 16 লিটার     গ) 24 লিটার     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

প্রতিটি জারে একই পরিমাণ দুধ অবশিষ্ট থাকে, অর্থাৎ ভাগশেষ সমান; তাই ব্যবধানের ম.সা.গু. নিতে হবে।

ব্যবধান: $129 - 57 = 72$; $177 - 129 = 48$; $177 - 57 = 120$।

$72 = 2^3 \times 3^2$; $48 = 2^4 \times 3$; $120 = 2^3 \times 3 \times 5$; ম.সা.গু. $= 2^3 \times 3 = 24$।

ব্যাখ্যা: সতর্কতা: সরাসরি $57, 129, 177$ এর ম.সা.গু. ($3$) নিলে ভুল হবে। কারণ প্রশ্নে বলা আছে মাপার পরও দুধ অবশিষ্ট থাকে, নিঃশেষে মাপা যায় না।

উত্তর: গ) 24 লিটার

14. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে $3026$ ও $5053$ কে ভাগ করলে যথাক্রমে $11$ ও $13$ ভাগশেষ থাকে? [Which greatest number will divide 3026 and 5053 leaving remainders 11 and 13 respectively?]

ক) 15     খ) 30     গ) 45     ঘ) 60

সমাধান:

ভিন্ন ভিন্ন ভাগশেষ থাকলে প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার ভাগশেষ বিয়োগ করি: $3026 - 11 = 3015$ এবং $5053 - 13 = 5040$।

$3015 = 3^2 \times 5 \times 67$ এবং $5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7$।

ম.সা.গু. $= 3^2 \times 5 = 45$।

ব্যাখ্যা: $45 > 13$ ✓ (ভাজক সবসময় ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হয়)।

উত্তর: গ) $45$

15. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে $964, 1238$ ও $1400$ কে ভাগ করলে যথাক্রমে $41, 31$ ও $51$ ভাগশেষ থাকে? [Find the greatest number that will divide 964, 1238 and 1400 leaving remainders 41, 31 and 51 respectively.]

ক) 61     খ) 71     গ) 73     ঘ) 81

সমাধান:

ভাগশেষ বিয়োগ করে: $964 - 41 = 923$; $1238 - 31 = 1207$; $1400 - 51 = 1349$।

$923 = 13 \times 71$; $1207 = 17 \times 71$; $1349 = 19 \times 71$।

ম.সা.গু. $= 71$।

ব্যাখ্যা: $71 > 51$ ✓; এবং $13, 17, 19$ এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

উত্তর: খ) $71$

16. সবচেয়ে বড় কত দৈর্ঘ্য দিয়ে $4$ মি. $95$ সেমি., $9$ মি. এবং $16$ মি. $65$ সেমি. দৈর্ঘ্যগুলো নিঃশেষে মাপা যায়? [Find the greatest possible length which can be used to measure exactly the lengths 4 m 95 cm, 9 m and 16 m 65 cm.]

সমাধান:

সবগুলো সেন্টিমিটারে নিই: $495$ সেমি, $900$ সেমি, $1665$ সেমি।

$495 = 3^2 \times 5 \times 11$; $900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$; $1665 = 3^2 \times 5 \times 37$।

ম.সা.গু. $= 3^2 \times 5 = 45$ সেমি।

ব্যাখ্যা: "নিঃশেষে মাপা" মানে ভাগশেষ শূন্য; তাই সোজা ম.সা.গু.।

উত্তর: $45$ সেমি

17. $7$ মি., $3$ মি. $85$ সেমি. এবং $12$ মি. $95$ সেমি. দৈর্ঘ্যগুলো ঠিকঠাক মাপা যায় এমন সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য কত? [The greatest possible length which can be used to measure exactly the lengths 7 m, 3 m 85 cm, 12 m 95 cm is]

ক) 15 সেমি     খ) 25 সেমি     গ) 35 সেমি     ঘ) 42 সেমি

সমাধান:

সেন্টিমিটারে: $700$, $385$ ও $1295$।

$700 = 2^2 \times 5^2 \times 7$; $385 = 5 \times 7 \times 11$; $1295 = 5 \times 7 \times 37$।

ম.সা.গু. $= 5 \times 7 = 35$ সেমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $700 \div 35 = 20$, $385 \div 35 = 11$, $1295 \div 35 = 37$ ✓।

উত্তর: গ) 35 সেমি

18. দুটি পাত্রের ধারণক্ষমতা যথাক্রমে $120$ লিটার ও $56$ লিটার। এমন সবচেয়ে বড় ধারণক্ষমতার একটি পাত্র কত হবে যা দিয়ে দুটি পাত্রের তরল পূর্ণসংখ্যক বারে মাপা যায়? [The capacity of two pots is 120 litres and 56 litres respectively. Find the capacity of a container which can exactly measure the contents of the two pots.]

ক) 7500 সিসি     খ) 7850 সিসি     গ) 8000 সিসি     ঘ) 9500 সিসি

সমাধান:

$120$ ও $56$ এর ম.সা.গু.: $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ এবং $56 = 2^3 \times 7$, তাই ম.সা.গু. $= 8$ লিটার।

$1$ লিটার $= 1000$ সিসি, তাই $8$ লিটার $= 8000$ সিসি।

ব্যাখ্যা: অপশনগুলো সিসিতে দেওয়া, তাই উত্তরও সিসিতে লিখতে হবে।

উত্তর: গ) 8000 সিসি

19. একজন দিনমজুরকে নির্দিষ্ট কয়েক দিনের জন্য একটি কাজে ৫,৭৫০ টাকায় নিয়োগ করা হলো। কয়েক দিন অনুপস্থিত থাকায় সে ৫,০০০ টাকা পেল। তার সম্ভাব্য সর্বোচ্চ দৈনিক মজুরি কত? [A daily wage labourer was engaged for a certain number of days for Tk. 5750, but being absent on some of those days he was paid only Tk. 5000. What is his maximum possible daily wage?]

ক) 125 টাকা     খ) 250 টাকা     গ) 375 টাকা     ঘ) 500 টাকা

সমাধান:

দৈনিক মজুরি $w$ হলে পূর্ণ মজুরি $5750 = w \times$ (মোট দিন) এবং পাওনা $5000 = w \times$ (কাজের দিন)।

তাই $w$, $5750$ ও $5000$ উভয়ের উৎপাদক। সর্বোচ্চ $w$ = ম.সা.গু.।

$5750 = 2 \times 5^3 \times 23$ এবং $5000 = 2^3 \times 5^4$; ম.সা.গু. $= 2 \times 5^3 = 250$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: মোট দিন $= 5750 \div 250 = 23$ এবং কাজের দিন $= 5000 \div 250 = 20$ (৩ দিন অনুপস্থিত) ✓।

উত্তর: খ) 250 টাকা

20. $78$ সেমি, $104$ সেমি, $117$ সেমি ও $169$ সেমি দৈর্ঘ্যের চারটি ধাতব রডকে সমান দৈর্ঘ্যের টুকরো করে কাটতে হবে, প্রতিটি টুকরো যথাসম্ভব বড়। সর্বোচ্চ কয়টি টুকরো পাওয়া যাবে? [Four metal rods of lengths 78 cm, 104 cm, 117 cm and 169 cm are to be cut into parts of equal length. Each part must be as long as possible. What is the maximum number of pieces that can be cut?]

ক) 27     খ) 36     গ) 43     ঘ) 480

সমাধান:

প্রতিটি টুকরোর সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য $= 78, 104, 117, 169$ এর ম.সা.গু.। $78 = 2 \times 3 \times 13$, $104 = 2^3 \times 13$, $117 = 3^2 \times 13$, $169 = 13^2$; ম.সা.গু. $= 13$ সেমি।

মোট দৈর্ঘ্য $= 78 + 104 + 117 + 169 = 468$ সেমি।

টুকরোর সংখ্যা $= \dfrac{468}{13} = 36$।

ব্যাখ্যা: আলাদা করে: $78 \div 13 = 6$, $104 \div 13 = 8$, $117 \div 13 = 9$, $169 \div 13 = 13$; যোগ করে $6 + 8 + 9 + 13 = 36$ ✓।

উত্তর: খ) 36 টি

21. একজনকে $403$ লিটার পেট্রোল, $465$ লিটার ডিজেল ও $496$ লিটার মবিল তেল সমান মাপের বোতলে এমনভাবে ভরতে হবে যেন তেলগুলো মিশে না যায় এবং প্রতিটি বোতল সম্পূর্ণ ভর্তি হয়। সবচেয়ে কম কয়টি বোতল লাগবে? [A person has to completely put each of three liquids: 403 litres of petrol, 465 litres of diesel and 496 litres of Mobil Oil in bottles of equal size without mixing any of the above three types of liquids such that each bottle is completely filled. What is the least number of bottles required?]

ক) 34     খ) 44     গ) 46     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

সবচেয়ে কম বোতল লাগতে হলে প্রতিটি বোতলের ধারণক্ষমতা সবচেয়ে বড় হতে হবে, অর্থাৎ $403, 465, 496$ এর ম.সা.গু.।

$403 = 13 \times 31$; $465 = 3 \times 5 \times 31$; $496 = 2^4 \times 31$। ম.সা.গু. $= 31$ লিটার।

বোতলের সংখ্যা $= \dfrac{403 + 465 + 496}{31} = \dfrac{1364}{31} = 44$।

ব্যাখ্যা: আলাদা করে: $403 \div 31 = 13$, $465 \div 31 = 15$, $496 \div 31 = 16$; যোগ $= 13 + 15 + 16 = 44$ ✓।

উত্তর: খ) 44 টি

22. $21$ টি আম গাছ, $42$ টি আপেল গাছ ও $56$ টি কমলা গাছ এমনভাবে সারিতে লাগাতে হবে যেন প্রতি সারিতে একই প্রজাতির সমান সংখ্যক গাছ থাকে। সবচেয়ে কম কয়টি সারিতে গাছগুলো লাগানো যাবে? [21 mango trees, 42 apple trees and 56 orange trees have to be planted in rows such that each row contains the same number of trees of one variety only. Minimum number of rows in which the trees may be planted is]

ক) 3     খ) 15     গ) 17     ঘ) 20

সমাধান:

সারির সংখ্যা সবচেয়ে কম হতে হলে প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা সবচেয়ে বেশি হতে হবে, অর্থাৎ $21, 42, 56$ এর ম.সা.গু.।

$21 = 3 \times 7$; $42 = 2 \times 3 \times 7$; $56 = 2^3 \times 7$; ম.সা.গু. $= 7$।

সারির সংখ্যা $= \dfrac{21 + 42 + 56}{7} = \dfrac{119}{7} = 17$।

ব্যাখ্যা: কেন ল.সা.গু. নয়: ল.সা.গু. এত বড় হবে যা মোট গাছের সংখ্যাকেও ছাড়িয়ে যায়; প্রতি সারিতে গাছ কখনো কোনো প্রজাতির মোট সংখ্যার বেশি হতে পারে না।

উত্তর: গ) 17 টি

23. ইংরেজি, গণিত ও বিজ্ঞানের তিনটি সেটে যথাক্রমে $336$, $240$ ও $96$ টি বই আছে। সব বই বিষয়ভিত্তিক এমনভাবে স্তূপ করে রাখতে হবে যেন প্রতিটি স্তূপের উচ্চতা সমান হয়। মোট কয়টি স্তূপ হবে? [Three sets of English, Mathematics and Science books containing 336, 240 and 96 books respectively have to be stacked in such a way that all the books are stored subjectwise and the height of each stack is the same. Total number of stacks will be]

ক) 14     খ) 21     গ) 22     ঘ) 48

সমাধান:

প্রতি স্তূপের উচ্চতা সমান ও বই সর্বোচ্চ হতে হলে প্রতি স্তূপে বইয়ের সংখ্যা $= 336, 240, 96$ এর ম.সা.গু.।

$336 = 2^4 \times 3 \times 7$; $240 = 2^4 \times 3 \times 5$; $96 = 2^5 \times 3$; ম.সা.গু. $= 2^4 \times 3 = 48$।

মোট স্তূপ $= \dfrac{336}{48} + \dfrac{240}{48} + \dfrac{96}{48} = 7 + 5 + 2 = 14$।

ব্যাখ্যা: প্রতি স্তূপে সমান সংখ্যক বই রাখতে হলে বইয়ের সংখ্যা সবগুলো সেটের উৎপাদক হতে হবে। সর্বোচ্চ সংখ্যা ধরলে স্তূপ সংখ্যা সবচেয়ে কম হয়, আর ম.সা.গু. ঠিক সেটিই দেয়।

উত্তর: ক) 14 টি

24. $15$ মি. $17$ সেমি. লম্বা ও $9$ মি. $2$ সেমি. চওড়া একটি ঘরের ছাদ ঢাকতে সবচেয়ে কম কয়টি বর্গাকার টাইল লাগবে? [The least number of square tiles required to pave the ceiling of a room 15 m 17 cm long and 9 m 2 cm broad is]

ক) 656     খ) 738     গ) 814     ঘ) 902

সমাধান:

সেন্টিমিটারে: দৈর্ঘ্য $= 1517$ সেমি, প্রস্থ $= 902$ সেমি।

কম টাইল লাগতে হলে টাইলের মাপ সবচেয়ে বড় হতে হবে। $1517 = 37 \times 41$ এবং $902 = 2 \times 11 \times 41$; ম.সা.গু. $= 41$ সেমি।

টাইলের সংখ্যা $= \dfrac{1517}{41} \times \dfrac{902}{41} = 37 \times 22 = 814$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $41 \times 37 = 1517$ ✓ এবং $41 \times 22 = 902$ ✓।

উত্তর: গ) 814 টি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নে বইয়ের উত্তরমালায় (ঘ) $902$ দেওয়া আছে, কিন্তু বইয়ের নিজের সমাধানেই $814$ আসে, যা অপশন (গ)। $902$ আসলে ঘরের প্রস্থ (সেমি-এ), টাইলের সংখ্যা নয়; তাই সঠিক উত্তর (গ) $814$।

25. $24, 36$ ও $40$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করুন। [Find the lowest common multiple of 24, 36 and 40.]

ক) 120     খ) 240     গ) 360     ঘ) 480

সমাধান:

সাধারণ ভাগে ভাগ করি: $24, 36, 40$ কে $2$ দিয়ে, তারপর $12, 18, 20$ কে $2$ দিয়ে, $6, 9, 10$ কে $2$ দিয়ে এবং $3, 9, 5$ কে $3$ দিয়ে ভাগ করি; শেষে বাকি থাকে $1, 3, 5$।

ল.সা.গু. $= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 360$।

ব্যাখ্যা: উৎপাদক দিয়েও পাওয়া যায়: $24 = 2^3 \times 3$; $36 = 2^2 \times 3^2$; $40 = 2^3 \times 5$। বড় ঘাত নিয়ে $2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$।

উত্তর: গ) $360$