Chain Rule Math Solutions for Bank Jobs: Part 2 (Q18-34)

২. কিছু লোক অনুপস্থিত বা বেশি এলে মোট কাজ সমান রেখে সমীকরণ বসান: $\text{লোক}_1 \times \text{দিন}_1 = \text{লোক}_2 \times \text{দিন}_2$।

৩. পুরুষ, মহিলা ও বালকের কাজের ক্ষমতা আলাদা হলে সবাইকে একই এককে (যেমন সব পুরুষ বা সব বালক) পরিবর্তন করে নিন, তারপর ঐকিক নিয়ম খাটান।

৪. ঘণ্টা ও দিনের শর্ত থাকলে পুরো কাজকে জন-ঘণ্টা বা জন-দিনে প্রকাশ করলে হিসাব সহজ হয়।

প্রশ্ন ও সমাধান

18. একটি ক্যাম্পে ৪০০০ জন সৈন্যের ১৯০ দিনের খাবার আছে। ৩০ দিন পর ৮০০ জন সৈন্যকে অন্য জায়গায় পাঠানো হলে বাকি খাবার আর কত দিন চলবে? [In a barrack of soldiers there was stock of food for 190 days for 4000 soldiers. After 30 days 800 soldiers left the barrack. For how many days shall the leftover food last for the remaining soldiers?] (Pubali Bank (JO)-2013)

ক) ১৭৫ দিন     খ) ২০০ দিন     গ) ২২৫ দিন     ঘ) ২৫০ দিন

সমাধান:

৩০ দিন পর বাকি দিন $= 190 - 30 = 160$; বাকি সৈন্য $= 4000 - 800 = 3200$।

৪০০০ জনের জন্য বাকি রসদ ১৬০ দিনের।

৩২০০ জনের জন্য $= \frac{4000 \times 160}{3200} = 200$ দিন।

ব্যাখ্যা: সৈন্য কমলে দিন বাড়ে, তাই সৈন্যের অনুপাত উল্টো করে গুণ হয়েছে।

উত্তর: খ) ২০০ দিন

19. একটি দুর্গে ৫০০ জনের ২৭ দিনের খাবার আছে। ৩ দিন পর আরও ৩০০ জন আসায় বাকি খাবারে সবার আর কত দিন চলবে? [A garrison of 500 men had provisions for 27 days. After 3 days a reinforcement of 300 men arrived. For how many more days will the remaining food last now?] (Pubali Bank (JO)-2014; IFIC Bank (MTO)-2017)

ক) ১৫     খ) ১৬     গ) ১৭     ঘ) ১৮

সমাধান:

৩ দিন পর বাকি খাবার ৫০০ জনের $27 - 3 = 24$ দিনের।

এখন মোট লোক $= 500 + 300 = 800$।

দিন $= \frac{24 \times 500}{800} = 15$ দিন।

ব্যাখ্যা: ৫০০ জন ২৪ দিন খেতে পারত, ৮০০ জনে তা কমে ১৫ দিন হয়।

উত্তর: ক) ১৫ দিন

20. একটি সেনাবাহিনীর গুদামে কিছু দিনের খাবার আছে। ১০ দিন পর এক-পঞ্চমাংশ সৈন্য চলে যাওয়ায় দেখা গেল বাকি খাবার আগে যত দিন চলত এখনও তত দিনই চলবে। মোট কত দিনের খাবার ছিল? [A garrison had provisions for a certain number of days. After 10 days, 1/5 of the men desert and it is found that the provisions will now last just as long as before. How long was that?]

ক) ১৫ দিন     খ) ২৫ দিন     গ) ৩৫ দিন     ঘ) ৫০ দিন

সমাধান:

শুরুতে $x$ জন, $y$ দিনের খাবার। ১০ দিন পর বাকি খাবার $x$ জনের $(y - 10)$ দিনের।

$\frac{1}{5}$ চলে যাওয়ায় লোক $= \frac{4x}{5}$, আর তাদের জন্য বাকি খাবার $y$ দিনের (আগের মতোই)।

মোট রসদ সমান: $x(y - 10) = \frac{4x}{5} \times y$, অর্থাৎ $5y - 50 = 4y$, তাই $y = 50$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৫ জনের ৫০ দিনের খাবার ধরলে ১০ দিন পর বাকি ৪০ দিনের। ১ জন চলে গেলে ৪ জনে $\frac{5 \times 40}{4} = 50$ দিন চলে, যা আগের মোট দিনের সমান।

উত্তর: ঘ) ৫০ দিন

21. কিছু লোকের একটি কাজ ২৪ দিনে করার কথা ছিল। ৯ জন লোক অনুপস্থিত থাকায় কাজটি শেষ করতে ৩২ দিন লাগল। শুরুতে কতজন লোক কাজটি করার কথা ছিল? [A certain number of people were supposed to complete a work in 24 days. The work, however, took 32 days since 9 people were absent throughout. How many people were supposed to be working originally?]

সমাধান:

শুরুতে $x$ জন ধরি। উপস্থিত ছিল $(x - 9)$ জন।

মোট কাজ সমান: $24x = 32(x - 9)$।

$3x = 4(x - 9) = 4x - 36$, তাই $x = 36$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৩৬ জনে ২৪ দিন $= 864$ জন-দিন এবং ২৭ জনে ৩২ দিন $= 864$ জন-দিন।

উত্তর: ৩৬ জন

22. একদল শ্রমিক একটি কাজ ১০ দিনে করে দেওয়ার কথা বলে। কিন্তু তাদের মধ্যে ৫ জন কাজে না আসায় বাকিদের ১২ দিন লাগে। শুরুতে কতজন শ্রমিক নিয়োগ করা হয়েছিল? [A group of workers promise to complete a piece of work in 10 days, but five of them do not report for work. If it took the remaining workers 12 days to complete the work, then the number of workers originally hired was] (Uttara Bank (PO)-2017)

ক) ১৫     খ) ২৫     গ) ৩০     ঘ) ৪৫

সমাধান:

শুরুতে $x$ জন ধরি। কাজ করেছে $(x - 5)$ জন।

মোট কাজ সমান: $10x = 12(x - 5)$।

$10x = 12x - 60$, তাই $2x = 60$ এবং $x = 30$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৩০ জনে ১০ দিন $= 300$ জন-দিন এবং ২৫ জনে ১২ দিন $= 300$ জন-দিন।

উত্তর: গ) ৩০ জন

23. কিছু কারিগর একটি জুতা তৈরির অর্ডার ১৬ দিনে শেষ করতে পারে। আরও ৮ জন কারিগর যুক্ত করায় আগের হিসাবের চেয়ে ৪ দিন কমে কাজ শেষ হলো। শুরুতে কতজন কারিগর ছিল? [A certain number of artisans can complete a shoe fabrication consignment in 16 days. 8 additional artisans had to be deployed for the same consignment and together they completed it in 4 days less than the earlier estimate. The number of artisans initially employed was?]

ক) ১৮     খ) ২০     গ) ২৪     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

শুরুতে $x$ জন ধরি। যুক্ত করার পর $(x + 8)$ জন, সময় $= 16 - 4 = 12$ দিন।

মোট কাজ সমান: $16x = 12(x + 8)$।

$16x = 12x + 96$, তাই $4x = 96$ এবং $x = 24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ২৪ জনে ১৬ দিন $= 384$ এবং ৩২ জনে ১২ দিন $= 384$।

উত্তর: গ) ২৪ জন

24. একটি দুর্গে ৫০ দিনের খাবার আছে। ১০ দিন পর ৫০০ জন যুক্ত হওয়ায় বাকি খাবার আরও ৩৫ দিন চলে। দুর্গে আসলে কতজন মানুষ ছিল? [A fort has provisions for 50 days. If after 10 days they are strengthened by 500 men and the food lasts for 35 days longer, the number of men originally in the fort were]

ক) ২৫০০     খ) ৩০০০     গ) ৩৫০০     ঘ) ৪০০০

সমাধান:

শুরুতে $x$ জন ধরি। ১০ দিন পর বাকি দিন $= 50 - 10 = 40$।

নতুন লোক $= x + 500$ এবং তারা ৩৫ দিন খায়: $40x = 35(x + 500)$।

$8x = 7(x + 500)$, তাই $x = 3500$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৩৫০০ জনে ৪০ দিন $= 140000$ এবং ৪০০০ জনে ৩৫ দিন $= 140000$।

উত্তর: গ) ৩৫০০ জন

25. একজন ঠিকাদার ৩৮ দিনে একটি কাজ করতে ৩০ জন লোক নিয়োগ করেন। ২৫ দিন পর আরও ৫ জন লোক নিয়োগ করায় কাজ ১ দিন আগে শেষ হলো। অতিরিক্ত লোক না নিলে কত দিন বেশি সময় লাগত? [A contractor employed 30 men to do a piece of work in 38 days. After 25 days, he employed 5 men more and the work was finished one day earlier. How many days he would have been behind, if he had not employed additional men?] (Pubali Bank (Jr. Officer)-2014)

ক) ১ দিন     খ) $1\frac{1}{4}$ দিন     গ) $1\frac{3}{4}$ দিন     ঘ) $1\frac{1}{2}$ দিন

সমাধান:

২৫ দিন পর বাকি দিন $= 38 - 25 = 13$। ৩৫ জন কাজ করে $13 - 1 = 12$ দিনে।

বাকি কাজ ৩৫ জনের ১২ দিনের $= 35 \times 12 = 420$ জন-দিন।

৩০ জনে লাগত $\frac{420}{30} = 14$ দিন। বরাদ্দ ছিল ১৩ দিন, তাই ১৪ $-$ ১৩ $= 1$ দিন দেরি হতো।

ব্যাখ্যা: বাকি কাজ আগে জন-দিনে বের করে তারপর ৩০ জনে ভাগ করলে সহজ হয়।

উত্তর: ক) ১ দিন

26. একদল লোক একটি কাজ ২৫ ঘণ্টায় করতে পারে। সমান সংখ্যক লোকের অন্য একটি দল ওই কাজের দ্বিগুণ কাজ কত ঘণ্টায় করবে, যদি প্রথম দলের ২ জন প্রতি ঘণ্টায় যে কাজ করে, দ্বিতীয় দলের ৩ জন প্রতি ঘণ্টায় সেই কাজ করে? [If a certain number of workmen can do a piece of work in 25 hours, in how many hours will another set of an equal number of men do a piece of work, twice as great, supposing that 2 men of the first set can do as much work in an hour, as 3 men of the second set do in an hour?]

ক) ৬০     খ) ৭৫     গ) ৯০     ঘ) ১০৫

সমাধান:

প্রথম দলের $x$ জন ধরি। প্রথম দলের ২ জন $=$ দ্বিতীয় দলের ৩ জন, তাই প্রথম দলের ১ জন $= \frac{3}{2}$ জন (দ্বিতীয় দলের)।

প্রথম দলের $x$ জন $= \frac{3x}{2}$ জন (দ্বিতীয় দলের সমান ক্ষমতা)। তারা ১ কাজ ২৫ ঘণ্টায় করে।

দ্বিতীয় দলের $x$ জন (সংখ্যা সমান) দ্বিগুণ কাজ করবে: $\frac{25 \times \frac{3x}{2} \times 2}{x} = 75$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় দলের লোকের ক্ষমতা কম, তাই সময় বেশি লাগে; কাজ দ্বিগুণ হওয়ায় আরও দ্বিগুণ।

উত্তর: খ) ৭৫ ঘণ্টা

27. একজন ঠিকাদার একদল শ্রমিককে ৩৬০টি পণ্য নির্দিষ্ট দিনে তৈরি করার দায়িত্ব দেন। পরিকল্পনার চেয়ে দৈনিক ৪টি বেশি তৈরি করায় কাজ ১ দিন আগে শেষ হয়। তারা কাজটি করতে কত দিন নিল? [A team of workers was employed by a contractor who undertook to finish 360 pieces of an article in a certain number of days. Making four more pieces per day than was planned, they could complete the job a day ahead of schedule. How many days did they take to complete the job?]

ক) ৮ দিন     খ) ৯ দিন     গ) ১০ দিন     ঘ) ১২ দিন

সমাধান:

পরিকল্পিত দৈনিক $x$টি ধরি। শর্ত: $\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 4} = 1$।

$\frac{1440}{x(x + 4)} = 1$, অর্থাৎ $x^2 + 4x - 1440 = 0$, তাই $(x + 40)(x - 36) = 0$ এবং $x = 36$।

পরিকল্পিত সময় $= \frac{360}{36} = 10$ দিন।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: ৩৬০-কে এমন দুটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন যাদের পার্থক্য ১ এবং ভাগফলের পার্থক্য ৪; $360 \div 10 = 36$ ও $360 \div 9 = 40$। বড় সংখ্যাটি (১০) পরিকল্পিত সময়।

উত্তর: গ) ১০ দিন

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তরমালা অনুযায়ী পরিকল্পিত সময় ১০ দিনকে উত্তর ধরা হয়েছে। বাড়তি হারে (দৈনিক ৪০টি) প্রকৃতপক্ষে ৯ দিন লাগে, তাই প্রশ্নটি অস্পষ্ট; পরীক্ষায় এ ধরনের প্রশ্নে বইয়ের পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়েছে।

28. ১২ জন পুরুষ বা ১৮ জন মহিলা একটি কাজ ১৪ দিনে করতে পারলে ৮ জন পুরুষ ও ১৬ জন মহিলা সেই কাজ কত দিনে করবে? [If 12 men or 18 women can do a work in 14 days, then in how many days will 8 men and 16 women do the same work?]

সমাধান:

১২ জন পুরুষ $=$ ১৮ জন মহিলা, তাই ১ জন পুরুষ $= \frac{18}{12} = 1.5$ জন মহিলা।

৮ জন পুরুষ $= 8 \times 1.5 = 12$ জন মহিলা। মোট $= 12 + 16 = 28$ জন মহিলা।

১৮ জন মহিলা $= 14$ দিন, তাই ২৮ জন মহিলা $= \frac{14 \times 18}{28} = 9$ দিন।

ব্যাখ্যা: সবাইকে মহিলায় রূপান্তর করে ঐকিক নিয়ম খাটানো হয়েছে।

উত্তর: ৯ দিন

29. একজন পুরুষ একজন মহিলার দ্বিগুণ কাজ করে। ১০ জন পুরুষ একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারলে ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা সেই কাজ কত দিনে করবে? [The work done by a man is double the work done by a woman in the same time. If 10 men can do a piece of work in 8 days, then in how many days that work can be done by 3 men and 4 women?]

ক) ৪     খ) ৭     গ) ৮     ঘ) ১৬

সমাধান:

২ জন মহিলা $=$ ১ জন পুরুষ, তাই ৪ জন মহিলা $= 2$ জন পুরুষ।

৩ জন পুরুষ $+$ ৪ জন মহিলা $= 3 + 2 = 5$ জন পুরুষ।

১০ জন পুরুষ $= 8$ দিন, তাই ৫ জন পুরুষ $= \frac{8 \times 10}{5} = 16$ দিন।

ব্যাখ্যা: সবাইকে পুরুষে রূপান্তর করলে ভগ্নাংশ আসেনি।

উত্তর: ঘ) ১৬ দিন

30. ৫ জন পুরুষ বা ৭ জন মহিলা দৈনিক ৫২৫০ টাকা আয় করে। ৭ জন পুরুষ ও ১৩ জন মহিলা দৈনিক কত টাকা আয় করবে? [If 5 men or 7 women can earn Tk. 5250 per day, how much would 7 men and 13 women earn per day?]

ক) ১১৬০০ টাকা     খ) ১১৭০০ টাকা     গ) ১৬১০০ টাকা     ঘ) ১৭১০০ টাকা

সমাধান:

১ জন পুরুষ $= \frac{5250}{5} = 1050$ টাকা; ৭ জন পুরুষ $= 7350$ টাকা।

১ জন মহিলা $= \frac{5250}{7} = 750$ টাকা; ১৩ জন মহিলা $= 9750$ টাকা।

মোট $= 7350 + 9750 = 17100$ টাকা।

ব্যাখ্যা: এখানে প্রত্যেকের আলাদা আয় বের করে যোগ করাই সবচেয়ে সরল।

উত্তর: ঘ) ১৭১০০ টাকা

31. ১০ জন পুরুষ বা ২০ জন বালক ২০ দিনে ২৬০টি মাদুর বানাতে পারে। ৮ জন পুরুষ ও ৪ জন বালক ২০ দিনে কয়টি মাদুর বানাতে পারবে? [If 10 men or 20 boys can make 260 mats in 20 days, then how many mats will be made by 8 men and 4 boys in 20 days?]

ক) ২৪০     খ) ২৬০     গ) ২৮০     ঘ) ৫২০

সমাধান:

১০ জন পুরুষ $=$ ২০ জন বালক, তাই ১ জন পুরুষ $= 2$ জন বালক।

৮ জন পুরুষ ও ৪ জন বালক $= 8 \times 2 + 4 = 20$ জন বালক।

২০ জন বালক ২০ দিনে ২৬০টি বানায়, তাই এরাও ২০ দিনে ২৬০টি বানাবে।

ব্যাখ্যা: সবাইকে বালকে রূপান্তর করে দেখা গেল সংখ্যা ও দিন দুটিই প্রশ্নের শর্তের সমান।

উত্তর: খ) ২৬০টি

32. ১৫ জন পুরুষ দৈনিক ৮ ঘণ্টা করে ২১ দিনে একটি কাজ করতে পারে। ৩ জন মহিলা ২ জন পুরুষের সমান কাজ করলে ২১ জন মহিলা দৈনিক ৬ ঘণ্টা করে কত দিনে সেই কাজ করতে পারবে? [15 men take 21 days of 8 hours each to do a piece of work. How many days of 6 hours each would 21 women take if 3 women do as much as 2 men?] (BB AD-2016)

ক) ১৮     খ) ২০     গ) ২৫     ঘ) ৩০

সমাধান:

৩ জন মহিলা $=$ ২ জন পুরুষ, তাই ২১ জন মহিলা $= \frac{21 \times 2}{3} = 14$ জন পুরুষ।

১৫ জন, দৈনিক ৮ ঘণ্টা $= 21$ দিন।

১৪ জন (সমান), দৈনিক ৬ ঘণ্টা $= \frac{21 \times 8 \times 15}{14 \times 6} = 30$ দিন।

ব্যাখ্যা: লোক কমে (১৫ থেকে ১৪) ও ঘণ্টা কমে (৮ থেকে ৬) দিন বাড়ে।

উত্তর: ঘ) ৩০ দিন

33. ২ জন পুরুষ ও ৭ জন বালক একটি কাজ ১৪ দিনে করতে পারে। ৩ জন পুরুষ ও ৮ জন বালক একই কাজ ১১ দিনে করতে পারে। ৮ জন পুরুষ ও ৬ জন বালক ওই কাজের তিনগুণ কাজ কত দিনে করতে পারবে? [2 men and 7 boys can do a piece of work in 14 days; 3 men and 8 boys can do the same in 11 days. Then, 8 men and 6 boys can do three times the amount of this work in:] (Uttara Bank (PO)-2017)

ক) ১৮ দিন     খ) ২১ দিন     গ) ২৪ দিন     ঘ) ৩০ দিন

সমাধান:

কাজ সমান: $14(2m + 7b) = 11(3m + 8b)$, অর্থাৎ $28m + 98b = 33m + 88b$।

$10b = 5m$, তাই $1m = 2b$।

২ পুরুষ ও ৭ বালক $= 11$ বালক; ৮ পুরুষ ও ৬ বালক $= 22$ বালক।

১১ বালক $= 14$ দিন, তাই ২২ বালক $= 7$ দিন এক কাজে; তিনগুণ কাজে $7 \times 3 = 21$ দিন।

ব্যাখ্যা: দুই দলের কাজ সমান ধরে পুরুষ ও বালকের সম্পর্ক বের করা হয়েছে।

উত্তর: খ) ২১ দিন

34. একজন মহিলা ৮ ঘণ্টায় যে কাজ করে, একজন পুরুষ ৬ ঘণ্টায় এবং একজন বালক ১২ ঘণ্টায় সেই কাজ করে। দৈনিক ৬ ঘণ্টা কাজ করে ৯ জন পুরুষ একটি কাজ ৬ দিনে করতে পারলে ১২ জন পুরুষ, ১২ জন মহিলা ও ১২ জন বালক দৈনিক ৮ ঘণ্টা করে কত দিনে সেই কাজ করতে পারবে? [The work done by a woman in 8 hours is equal to the work done by a man in 6 hours and by a boy in 12 hours. If working 6 hours per day 9 men can complete a work in 6 days, then in how many days can 12 men, 12 women and 12 boys together finish the same work, working 8 hours per day?]

ক) $1\frac{1}{2}$ দিন     খ) ৩ দিন     গ) $3\frac{2}{3}$ দিন     ঘ) $4\frac{1}{2}$ দিন

সমাধান:

একজন মহিলার ৮ ঘণ্টা $=$ একজন পুরুষের ৬ ঘণ্টা $=$ একজন বালকের ১২ ঘণ্টা। তাই পুরুষ : মহিলা : বালকের কাজের হার $= \frac{1}{6} : \frac{1}{8} : \frac{1}{12} = 4 : 3 : 2$ (সমান ঘণ্টায়)।

১২ জন পুরুষ, ১২ জন মহিলা, ১২ জন বালক $= 12 \times 4 + 12 \times 3 + 12 \times 2 = 108$ একক, আর ১ পুরুষ $= 4$ একক। অর্থাৎ $= 27$ জন পুরুষের সমান।

মোট কাজ $= 9 \times 6 \times 6 = 324$ জন-পুরুষ-ঘণ্টা।

২৭ জন পুরুষ দৈনিক ৮ ঘণ্টা: দৈনিক কাজ $= 27 \times 8 = 216$। দিন $= \frac{324}{216} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: সবাইকে পুরুষে রূপান্তর করে মোট জন-ঘণ্টা বের করা হয়েছে।

উত্তর: ক) $1\frac{1}{2}$ দিন