Boat & Stream Math Solutions for Bank Jobs: Part 3 (Q41-57)

দুটি শর্ত থাকলে $\frac{1}{\text{অনুকূল বেগ}}$ ও $\frac{1}{\text{প্রতিকূল বেগ}}$ কে দুটি চলক ধরলে সমীকরণ রৈখিক হয়ে যায়।

একই দূরত্বে সময়ের অনুপাত থেকে সরাসরি বেগের অনুপাত পাওয়া যায়, উল্টো করে।

নদী সোজা পার হওয়ার অঙ্কে স্রোতের বেগ ও পারাপারের বেগ লম্ব হয়, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য লাগে।

প্রশ্ন ও সমাধান

41. একটি নৌকা অনুকূলে $36$ মাইল যেতে প্রতিকূলের চেয়ে $90$ মিনিট কম সময় নেয়। স্থির পানিতে নৌকার বেগ $10$ মাইল/ঘণ্টা হলে স্রোতের বেগ কত? [A boat takes 90 minutes less to travel 36 miles downstream than to travel the same distance upstream. If the speed of the boat in still water is 10 mph, the speed of the stream is]

ক) 2 মাইল/ঘণ্টা     খ) 2.5 মাইল/ঘণ্টা     গ) 3 মাইল/ঘণ্টা     ঘ) 4 মাইল/ঘণ্টা

সমাধান:

স্রোতের বেগ $x$ ধরি। $\frac{36}{10-x}-\frac{36}{10+x} = \frac{3}{2}$।

$72x = \frac{3}{2}(100-x^2)$, বা $x^2+48x-100 = 0$।

$(x+50)(x-2) = 0$, অতএব $x = 2$।

ব্যাখ্যা: এটি Q37 এর একই অঙ্ক। বইয়ে অপশনের একক ভুলে কিমি/ঘণ্টা ছাপা হয়েছে, এখানে মাইল/ঘণ্টা দেওয়া হলো।

উত্তর: (ক) $2$ মাইল/ঘণ্টা

42. একটি নৌকা একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে $8$ ঘণ্টা $48$ মিনিটে এবং অনুকূলে $4$ ঘণ্টায় অতিক্রম করে। নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত কত? [A boat running upstream takes 8 hours 48 minutes to cover a certain distance, while it takes 4 hours to cover the same distance running downstream. What is the ratio between the speed of the boat and speed of the water current respectively?] (হাউজ বিল্ডিং (SO)-১৭ (লিখিত))

ক) 2 : 1     খ) 3 : 2     গ) 8 : 3

সমাধান:

নৌকার বেগ $x$ এবং স্রোতের বেগ $y$ ধরি। $8$ ঘণ্টা $48$ মিনিট $= 8.8$ ঘণ্টা।

দূরত্ব সমান, তাই $8.8(x-y) = 4(x+y)$।

$4.8x = 12.8y$, অতএব $\frac{x}{y} = \frac{12.8}{4.8} = \frac{8}{3}$।

বিকল্প: মিনিটে $528(x-y) = 240(x+y)$, বা $11(x-y) = 5(x+y)$, বা $6x = 16y$, অতএব $x:y = 8:3$।

ব্যাখ্যা: একই দূরত্বে বেগ $\times$ সময় সমান।

উত্তর: (গ) $8 : 3$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে চতুর্থ অপশনটি বিকৃত ছাপা হয়েছে, তাই এখানে তিনটি অপশন দেওয়া হলো। সঠিক উত্তর (গ)।

43. একটি নৌকা একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে $9$ ঘণ্টা $48$ মিনিটে এবং অনুকূলে $7$ ঘণ্টায় অতিক্রম করে। নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত কত? [A boat running upstream takes 9 hours 48 minutes to cover a certain distance, while it takes 7 hours to cover the same distance running downstream. What is the ratio between the speed of the boat and speed of the water current respectively?]

ক) 5 : 2     খ) 7 : 4     গ) 6 : 1     ঘ) 8 : 3

সমাধান:

$9$ ঘণ্টা $48$ মিনিট $= 9\frac{4}{5} = \frac{49}{5}$ ঘণ্টা।

$\frac{49}{5}(x-y) = 7(x+y)$, বা $49x-49y = 35x+35y$।

$14x = 84y$, অতএব $x:y = 6:1$।

ব্যাখ্যা: পূর্ববর্তী অঙ্কের মতোই সময় $\times$ বেগ সমান।

উত্তর: (গ) $6 : 1$

44. স্থির পানিতে নৌকার বেগ স্রোতের বেগের $5$ গুণ। স্রোতের অনুকূলে A থেকে B তে যেতে $1.1$ ঘণ্টা লাগে। A ও B এর দূরত্ব $13.2$ কিমি। স্রোতের প্রতিকূলে $312$ মিনিটে নৌকাটি কত কিমি যাবে? [The speed of the boat in still water is 5 times that of the current, it takes 1.1 hours to row to point B from point A downstream. The distance between point A and point B is 13.2 km. How much distance (in km) will it cover in 312 minutes upstream?]

ক) 43.2     খ) 48     গ) 41.6     ঘ) 44.8

সমাধান:

স্রোতের বেগ $x$ হলে স্থির বেগ $5x$, অনুকূল বেগ $6x$ এবং প্রতিকূল বেগ $4x$।

$1.1 \times 6x = 13.2$, বা $6.6x = 13.2$, অতএব $x = 2$।

প্রতিকূল বেগ $= 8$ কিমি/ঘণ্টা এবং $312$ মিনিট $= \frac{312}{60} = \frac{26}{5}$ ঘণ্টা।

দূরত্ব $= 8 \times \frac{26}{5} = 41.6$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দূরত্ব $=$ বেগ $\times$ সময়।

উত্তর: (গ) $41.6$ কিমি

45. একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে $20$ কিমি যেতে $24$ মিনিট সময় নেয়। স্থির পানিতে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত $4:1$। স্রোতের প্রতিকূলে $15$ কিমি যেতে কত সময় লাগবে? [A boat can travel 20 km downstream in 24 min. The ratio of the speed of the boat in still water to the speed of the stream is 4 : 1. How much time will the boat take to cover 15 km upstream?]

ক) 20 মিনিট     খ) 22 মিনিট     গ) 25 মিনিট     ঘ) 30 মিনিট

সমাধান:

অনুকূল বেগ $= \frac{20}{24} \times 60 = 50$ কিমি/ঘণ্টা।

নৌকার বেগ $4x$ এবং স্রোতের বেগ $x$ ধরলে অনুকূল বেগ $5x = 50$, অতএব $x = 10$।

প্রতিকূল বেগ $= 3x = 30$ কিমি/ঘণ্টা।

সময় $= \frac{15}{30} \times 60 = 30$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: অনুপাত থেকে $x$ বের করে প্রতিকূল বেগ নির্ণয় করা হয়েছে।

উত্তর: (ঘ) $30$ মিনিট

46. একটি নৌকা A থেকে B তে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে $12$ ঘণ্টা $48$ মিনিট সময় নেয়। একই দূরত্বের $\frac{3}{4}$ অংশ অনুকূলে যেতে $6$ ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ $15$ কিমি/ঘণ্টা। A ও B এর দূরত্ব কত? [A boat running upstream takes 12 hours 48 minutes to travel the distance from point A to B, while it takes 6 hours to cover 3/4th of the same distance running downstream. The speed of the current is 15 km/hr. What is the distance between A and B?]

ক) 360 কিমি     খ) 480 কিমি     গ) 540 কিমি     ঘ) 640 কিমি

সমাধান:

পুরো দূরত্ব অনুকূলে যেতে সময় $= 6 \times \frac{4}{3} = 8$ ঘণ্টা।

$12$ ঘণ্টা $48$ মিনিট $= 12.8 = \frac{64}{5}$ ঘণ্টা।

নৌকার স্থির বেগ $x$ ধরি। $\frac{64}{5}(x-15) = 8(x+15)$, বা $64(x-15) = 40(x+15)$।

$24x = 1560$, অতএব $x = 65$।

অনুকূল বেগ $= 65+15 = 80$ কিমি/ঘণ্টা, তাই দূরত্ব $= 8 \times 80 = 640$ কিমি।

ব্যাখ্যা: দূরত্ব সমান হওয়ায় বেগ $\times$ সময় সমান।

উত্তর: (ঘ) $640$ কিমি

47. একজন লোক নৌকায় $45$ কিমি দূরের একটি স্থানে গিয়ে ফিরে আসতে মোট $20$ ঘণ্টা সময় নেয়। সে দেখল স্রোতের অনুকূলে যে সময়ে $12$ কিমি যায়, ঠিক একই সময়ে স্রোতের প্রতিকূলে $4$ কিমি যায়। স্রোতের বেগ কত? [A boatman rows to a place 45 km distant and back in 20 hours. He finds that he can row 12 km with the stream in the same time as 4 km against the stream. Find the speed of the stream.] (কম্বাইন্ড SO (৮ ব্যাংক) ২০১৮ (লিখিত))

সমাধান:

একই সময়ে দূরত্বের অনুপাত $12:4 = 3:1$, তাই অনুকূল বেগ : প্রতিকূল বেগ $= 3:1$।

প্রতিকূল বেগ $u$ হলে অনুকূল বেগ $3u$। তাই $\frac{45}{3u}+\frac{45}{u} = 20$।

$\frac{15}{u}+\frac{45}{u} = 20$, বা $\frac{60}{u} = 20$, অতএব $u = 3$।

অনুকূল বেগ $= 9$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $= \frac{9-3}{2} = 3$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: সমান সময়ে দূরত্বের অনুপাতই বেগের অনুপাত।

উত্তর: স্রোতের বেগ $3$ কিমি/ঘণ্টা

48. একজন লোক নৌকায় $48$ কিমি দূরে গিয়ে $14$ ঘণ্টায় ফিরে আসে। সে দেখল স্রোতের অনুকূলে যে সময়ে $4$ কিমি যায়, প্রতিকূলে সেই সময়ে $3$ কিমি যায়। স্রোতের বেগ কত? [A man rows to a place 48 km distant and back in 14 hours. He finds that he can row 4 km with the stream in the same time as 3 km against the stream. The rate of the stream is]

ক) 1 কিমি/ঘণ্টা     খ) 1.5 কিমি/ঘণ্টা     গ) 1.8 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 3.5 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

অনুকূল বেগ : প্রতিকূল বেগ $= 4:3$। অনুকূল বেগ $4k$ এবং প্রতিকূল বেগ $3k$ ধরি।

$\frac{48}{4k}+\frac{48}{3k} = 14$, বা $\frac{12}{k}+\frac{16}{k} = 14$, অতএব $k = 2$।

অনুকূল বেগ $= 8$ এবং প্রতিকূল বেগ $= 6$ কিমি/ঘণ্টা।

স্রোতের বেগ $= \frac{8-6}{2} = 1$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: পূর্ববর্তী অঙ্কের মতো সমান সময়ে দূরত্বের অনুপাত থেকে বেগের অনুপাত নেওয়া হয়েছে।

উত্তর: (ক) $1$ কিমি/ঘণ্টা

49. একজন লোক স্রোতের প্রতিকূলে $30$ কিমি এবং অনুকূলে $44$ কিমি যেতে মোট $10$ ঘণ্টা সময় নেয়। আবার প্রতিকূলে $40$ কিমি এবং অনুকূলে $55$ কিমি যেতে মোট $13$ ঘণ্টা লাগে। স্থির পানিতে লোকটির বেগ ও স্রোতের বেগ কত? [A man can row 30 km upstream and 44 km downstream in 10 hrs. It is also known that he can row 40 km upstream and 55 km downstream in 13 hrs. Find the speed of the man in still water and speed of the stream.] (কম্বাইন্ড ৩ ব্যাংক (অফিসার-ক্যাশ) ২০১৮ (লিখিত))

সমাধান:

প্রতিকূল বেগ $x$ এবং অনুকূল বেগ $y$ ধরি। তাহলে $\frac{30}{x}+\frac{44}{y} = 10$ এবং $\frac{40}{x}+\frac{55}{y} = 13$।

প্রথমটিকে $4$ দিয়ে এবং দ্বিতীয়টিকে $3$ দিয়ে গুণ করি: $\frac{120}{x}+\frac{176}{y} = 40$ এবং $\frac{120}{x}+\frac{165}{y} = 39$।

বিয়োগ করে $\frac{11}{y} = 1$, অতএব $y = 11$।

প্রথম সমীকরণে বসিয়ে $\frac{30}{x}+4 = 10$, বা $x = 5$।

স্থির বেগ $= \frac{11+5}{2} = 8$ এবং স্রোতের বেগ $= \frac{11-5}{2} = 3$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: এখানে স্থির ও স্রোতের বেগকে সরাসরি না ধরে অনুকূল ও প্রতিকূল বেগ ধরলে সমীকরণ সহজ হয়।

উত্তর: স্থির পানিতে বেগ $8$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $3$ কিমি/ঘণ্টা

50. একজন লোক স্রোতের প্রতিকূলে $48$ কিমি এবং অনুকূলে $56$ কিমি যেতে $12$ ঘণ্টা সময় নেয়। আবার প্রতিকূলে $54$ কিমি এবং অনুকূলে $70$ কিমি যেতে $14$ ঘণ্টা লাগে। স্থির পানিতে লোকটির বেগ কত? [A man can row 48 km upstream and 56 km downstream in 12 hrs. Also, he can row 54 km upstream and 70 km downstream in 14 hrs. What is the speed of man in still water?]

ক) 4 কিমি/ঘণ্টা     খ) 10 কিমি/ঘণ্টা     গ) 12 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 15 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

প্রতিকূল বেগ $x$ এবং অনুকূল বেগ $y$ ধরি। $\frac{48}{x}+\frac{56}{y} = 12$ এবং $\frac{54}{x}+\frac{70}{y} = 14$।

সমাধান করলে $x = 6$ এবং $y = 14$।

যাচাই: $\frac{48}{6}+\frac{56}{14} = 8+4 = 12$ এবং $\frac{54}{6}+\frac{70}{14} = 9+5 = 14$।

স্থির বেগ $= \frac{6+14}{2} = 10$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: পূর্ববর্তী অঙ্কের পদ্ধতিতেই করা হয়েছে।

উত্তর: (খ) $10$ কিমি/ঘণ্টা

51. একটি নদীর ওপর P, Q ও R তিনটি শহর আছে এবং নদীর স্রোত সমান। Q থেকে P ও R এর দূরত্ব সমান। P থেকে Q তে গিয়ে ফিরে আসতে $10$ ঘণ্টা লাগে এবং P থেকে R এ যেতে $4$ ঘণ্টা লাগে। নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের অনুপাত কত? [P, Q and R are three towns on a river which flows uniformly. Q is equidistant from P and R. I row from P to Q and back in 10 hours and I can row from P to R in 4 hours. Compare the speed of my boat in still water with that of the river.]

ক) 4 : 3     খ) 5 : 3     গ) 6 : 5     ঘ) 7 : 3

সমাধান:

$PQ = QR = x$ ধরি। অনুকূল বেগ $a$ এবং প্রতিকূল বেগ $b$।

P থেকে Q তে গিয়ে ফেরা: $\frac{x}{a}+\frac{x}{b} = 10$। আবার P থেকে R এ অনুকূলে $\frac{2x}{a} = 4$, তাই $x = 2a$।

$x = 2a$ বসিয়ে $2+\frac{2a}{b} = 10$, বা $\frac{a}{b} = 4$, অতএব $a = 4b$।

নৌকার বেগ : স্রোতের বেগ $= \frac{a+b}{2} : \frac{a-b}{2} = \frac{5b}{3b} = 5:3$।

ব্যাখ্যা: অনুকূল ও প্রতিকূল বেগের অনুপাত $4:1$ হলে স্থির : স্রোত $= 5:3$।

উত্তর: (খ) $5 : 3$

52. একটি নৌকা $6$ ঘণ্টায় স্রোতের প্রতিকূলে $24$ কিমি এবং অনুকূলে $36$ কিমি যায়। আবার $6\frac{1}{2}$ ঘণ্টায় প্রতিকূলে $36$ কিমি এবং অনুকূলে $24$ কিমি যায়। স্রোতের বেগ কত? [A boat covers 24 km upstream and 36 km downstream in 6 hours while it covers 36 km upstream and 24 km downstream in $6\frac{1}{2}$ hours. The velocity of the current is]

ক) 1 কিমি/ঘণ্টা     খ) 1.5 কিমি/ঘণ্টা     গ) 2 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 2.5 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

প্রতিকূল বেগ $x$ এবং অনুকূল বেগ $y$ ধরি। $\frac{24}{x}+\frac{36}{y} = 6$ এবং $\frac{36}{x}+\frac{24}{y} = \frac{13}{2}$।

যোগ করে $60\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) = \frac{25}{2}$, বা $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{5}{24}$।

বিয়োগ করে $12\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{2}$, বা $\frac{1}{x}-\frac{1}{y} = \frac{1}{24}$।

যোগ করে $\frac{2}{x} = \frac{6}{24}$, অতএব $x = 8$। তখন $\frac{1}{y} = \frac{5}{24}-\frac{3}{24} = \frac{1}{12}$, অতএব $y = 12$।

স্রোতের বেগ $= \frac{12-8}{2} = 2$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ থাকলেও একই পদ্ধতিতে যোগ-বিয়োগ করে সমাধান করা হয়েছে।

উত্তর: (গ) $2$ কিমি/ঘণ্টা

53. স্বাভাবিক বেগে রাহুল স্রোতের অনুকূলে $12$ মাইল যেতে প্রতিকূলের চেয়ে $6$ ঘণ্টা কম সময় নেয়। সে স্বাভাবিক বেগ দ্বিগুণ করলে $24$ মাইল যাওয়া-আসায় অনুকূলের $12$ মাইল প্রতিকূলের $12$ মাইলের চেয়ে মাত্র $1$ ঘণ্টা কম সময় নেয়। স্রোতের বেগ প্রতি ঘণ্টায় কত মাইল? [At his usual rowing rate, Rahul can travel 12 miles downstream in a certain river in 6 hours less than it takes him to travel the same distance upstream. But if he could double his usual rowing rate for his 24 mile round trip, the downstream 12 miles would then take only one hour less than the upstream 12 miles. What is the speed of the current in miles per hour?]

ক) $1\frac{1}{3}$     খ) $1\frac{2}{3}$     গ) $2\frac{1}{3}$     ঘ) $2\frac{2}{3}$

সমাধান:

স্বাভাবিক বেগ $x$ এবং স্রোতের বেগ $y$ ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{12}{x-y}-\frac{12}{x+y} = 6$, বা $\frac{24y}{x^2-y^2} = 6$, অতএব $x^2 = 4y+y^2$।

দ্বিতীয় শর্ত (বেগ দ্বিগুণ): $\frac{12}{2x-y}-\frac{12}{2x+y} = 1$, বা $\frac{24y}{4x^2-y^2} = 1$, অতএব $4x^2 = 24y+y^2$।

প্রথমটি থেকে $4x^2 = 16y+4y^2$ বসিয়ে $16y+4y^2 = 24y+y^2$, বা $3y^2 = 8y$।

অতএব $y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ মাইল/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: দুই শর্ত থেকে $x^2$ এর দুটি রাশি বের করে সমান করা হয়েছে।

উত্তর: (ঘ) $2\frac{2}{3}$ মাইল/ঘণ্টা

54. নৌকা A, X থেকে Y তে স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকা B এর Y থেকে Z তে প্রতিকূলে যেতে লাগা সময়ের চেয়ে $3$ ঘণ্টা কম সময় নেয়। X ও Y এর দূরত্ব $20$ কিমি, যা Y ও Z এর দূরত্বের অর্ধেক। স্থির পানিতে B এর বেগ $10$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্থির পানিতে A এর বেগ B এর প্রতিকূল বেগের সমান। স্থির পানিতে A এর বেগ কত? [Boat A travels downstream from Point X to Point Y in 3 hours less than the time taken by Boat B to travel upstream from Point Y to Point Z. The distance between X and Y is 20 km, which is half of the distance between Y and Z. The speed of Boat B in still water is 10 km/h and the speed of Boat A in still water is equal to the speed of Boat B upstream. What is the speed of Boat A in still water?]

ক) 10 কিমি/ঘণ্টা     খ) 16 কিমি/ঘণ্টা     গ) 12 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 8 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

স্রোতের বেগ $x$ ধরি। B এর প্রতিকূল বেগ $= 10-x$, তাই স্থির পানিতে A এর বেগও $10-x$।

A এর অনুকূল বেগ $= (10-x)+x = 10$ কিমি/ঘণ্টা।

$YZ = 40$ কিমি। শর্তানুযায়ী $\frac{40}{10-x}-\frac{20}{10} = 3$, বা $\frac{40}{10-x} = 5$।

$10-x = 8$, অতএব $x = 2$।

স্থির পানিতে A এর বেগ $= 10-2 = 8$ কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: A লাগে $\frac{20}{10} = 2$ ঘণ্টা এবং B লাগে $\frac{40}{8} = 5$ ঘণ্টা, পার্থক্য $3$ ঘণ্টা।

উত্তর: (ঘ) $8$ কিমি/ঘণ্টা

55. একজন লোক নদী লম্বভাবে পার হতে চায়। স্থির পানিতে নদী পার হতে তার $4$ মিনিট লাগে, কিন্তু স্রোতযুক্ত নদীতে লাগে $5$ মিনিট। নদীর প্রস্থ $100$ মিটার হলে স্রোতের বেগ কত? [A man wishes to cross a river perpendicularly. In still water he takes 4 minutes to cross the river, but in flowing river he takes 5 minutes. If the river is 100 metres wide, the velocity of the flowing water of the river is]

ক) 10 মিটার/মিনিট     খ) 15 মিটার/মিনিট     গ) 20 মিটার/মিনিট     ঘ) 30 মিটার/মিনিট

সমাধান:

স্থির পানিতে বেগ $= \frac{100}{4} = 25$ মিটার/মিনিট।

$5$ মিনিটে লোকটির অতিক্রম করা পথ $= 5 \times 25 = 125$ মিটার।

স্রোতের বেগ $x$ হলে $5$ মিনিটে স্রোতের সাথে সরণ $5x$। পিথাগোরাস অনুযায়ী $100^2+(5x)^2 = 125^2$।

$10000+25x^2 = 15625$, বা $x^2 = 225$, অতএব $x = 15$।

ব্যাখ্যা: নদীর প্রস্থ, লোকটির চলা পথ এবং স্রোতের সরণ মিলে সমকোণী ত্রিভুজ হয়।

উত্তর: (খ) $15$ মিটার/মিনিট

56. স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ $40$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $20$ কিমি/ঘণ্টা। A ও B বিন্দুর দূরত্ব $480$ কিমি। নৌকাটি A থেকে B তে স্রোতের অনুকূলে যাত্রা শুরু করল। মাঝপথে একটি ইঞ্জিন চালু করায় নৌকার বেগ বাড়ল। B তে পৌঁছে একই ইঞ্জিনের সাহায্যে ফিরে আসতে মোট $19$ ঘণ্টা লাগল। ইঞ্জিনের কারণে নৌকার বেগ কত কিমি/ঘণ্টা বাড়ল? [The speed of Boat in still water is 40 Km/hr and speed of the stream is 20 Km/hr. The distance between Point A and Point B is 480 Km. The boat started traveling downstream from A to B, in the midway, it is powered by an Engine due to which speed of the Boat increased. Now Boat reached Point B and started back to point A with help of the same engine. It took 19 hours for the entire journey. Then with the help of the engine, the speed of the boat increased by how many Km/hr?]

ক) 10 কিমি/ঘণ্টা     খ) 15 কিমি/ঘণ্টা     গ) 20 কিমি/ঘণ্টা     ঘ) 24 কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

বেগ $x$ বাড়ল ধরি। প্রথম অর্ধেক (ইঞ্জিন ছাড়া) অনুকূল বেগ $= 60$ কিমি/ঘণ্টা, সময় $= \frac{240}{60} = 4$ ঘণ্টা।

দ্বিতীয় অর্ধেকে অনুকূল বেগ $= 60+x$, সময় $= \frac{240}{60+x}$।

ফেরার সময় প্রতিকূল বেগ $= 40-20+x = 20+x$, সময় $= \frac{480}{20+x}$।

$4+\frac{240}{60+x}+\frac{480}{20+x} = 19$, বা $\frac{240}{60+x}+\frac{480}{20+x} = 15$। $15$ দিয়ে ভাগ করে $\frac{16}{60+x}+\frac{32}{20+x} = 1$।

$16(20+x)+32(60+x) = (60+x)(20+x)$, বা $2240+48x = 1200+80x+x^2$, বা $x^2+32x-1040 = 0$।

$(x+52)(x-20) = 0$, অতএব $x = 20$ (ঋণাত্মক মান বাদ)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $4+\frac{240}{80}+\frac{480}{40} = 4+3+12 = 19$ ঘণ্টা।

উত্তর: (গ) $20$ কিমি/ঘণ্টা

57. একজন লোক ইঞ্জিনচালিত নৌকায় $28$ কিমি পথ স্রোতের অনুকূলে গিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফিরে এল। ফেরার সময় যাওয়ার সময়ের দ্বিগুণ লাগল। স্রোতের বেগ দ্বিগুণ হলে একই পথ গিয়ে ফিরে আসতে মোট $672$ মিনিট লাগত। স্থির পানিতে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ বের করো। [A man went downstream for 28 km in a motor boat and immediately returned. It took the man twice as long to make the return trip. If the speed of the river flow were twice as high, the trip downstream and back would take 672 minutes. Find the speed of the boat in still water and the speed of the river flow.] (কম্বাইন্ড ২ ব্যাংক (অফিসার) ২০১৮ (লিখিত), কম্বাইন্ড ৪ ব্যাংক (অফিসার) ২০১৯ (লিখিত))

সমাধান:

নৌকার স্থির বেগ $x$ এবং স্রোতের বেগ $y$ ধরি।

প্রথম শর্ত: $\frac{28}{x-y} = 2 \times \frac{28}{x+y}$, বা $x+y = 2x-2y$, অতএব $x = 3y$।

দ্বিতীয় শর্ত: $672$ মিনিট $= \frac{672}{60} = \frac{56}{5}$ ঘণ্টা। $\frac{28}{x+2y}+\frac{28}{x-2y} = \frac{56}{5}$।

$x = 3y$ বসিয়ে $\frac{28}{5y}+\frac{28}{y} = \frac{56}{5}$, বা $\frac{1}{5y}+\frac{1}{y} = \frac{2}{5}$।

$\frac{1+5}{5y} = \frac{2}{5}$, বা $10y = 30$, অতএব $y = 3$ এবং $x = 3y = 9$।

ব্যাখ্যা: সতর্কতা: অনুকূল বেগ বেশি হলেও সময় কম, তাই ফেরার সময় দ্বিগুণ ধরার সময় বেগের অনুপাত উল্টো করতে হয়।

উত্তর: নৌকার স্থির বেগ $9$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ $3$ কিমি/ঘণ্টা