Average Math Solutions for Bank Jobs: 24 Questions

২. ধারাবাহিক সংখ্যা: সংখ্যা বিজোড় সংখ্যক হলে মাঝের সংখ্যাটিই গড়। জোড় সংখ্যক হলে মাঝের দুটি সংখ্যার গড়ই সারির গড়। ধারাবাহিক সংখ্যার গড় সবসময় প্রথম ও শেষ সংখ্যার গড়ের সমান।

৩. প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল: $\dfrac{n(n+1)}{2}$; তাই গড় $= \dfrac{n+1}{2}$। প্রথম $n$ টি জোড় সংখ্যার গড় $n + 1$ এবং প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার গড় $n$।

৪. প্রতিটি সংখ্যা বাড়ালে/গুণ করলে: প্রতিটি সংখ্যায় $k$ যোগ করলে গড় $k$ বাড়ে এবং প্রতিটিকে $k$ দিয়ে গুণ করলে গড় $k$ গুণ হয়।

৫. আয়-ব্যয়-সঞ্চয়: মোট আয় $=$ মোট ব্যয় $+$ মোট সঞ্চয়।

প্রশ্ন ও সমাধান

1. $7$ টি ধারাবাহিক সংখ্যার গড় $20$। এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? [The average of 7 consecutive numbers is 20. The largest of these numbers is]

ক) 20     খ) 22     গ) 23     ঘ) 24

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $x, x+1, \ldots, x+6$ ধরি। গড় $= \dfrac{7x + 21}{7} = 20$, তাই $7x + 21 = 140$ এবং $x = 17$।

বৃহত্তম সংখ্যা $= x + 6 = 23$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: $7$ টি সংখ্যার মাঝেরটি (৪র্থ) গড় $20$; তার পরে আরও $3$ টি আছে, তাই বৃহত্তম $= 20 + 3 = 23$।

উত্তর: গ) $23$

2. পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার গড় $95$। সংখ্যাগুলোকে বড় থেকে ছোট ক্রমে সাজালে $4$ র্থ সংখ্যাটি কত? [The average of five consecutive odd numbers is 95. What is the fourth number in the descending order?]

ক) 91     খ) 93     গ) 97     ঘ) 99

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+2, x+4, x+6, x+8$। গড় $= \dfrac{5x + 20}{5} = 95$, তাই $5x + 20 = 475$ এবং $x = 91$।

সংখ্যাগুলো $91, 93, 95, 97, 99$।

বড় থেকে ছোট ক্রমে: $99, 97, 95, 93, 91$; $4$ র্থ সংখ্যা $93$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: মাঝের সংখ্যা $95$; বড় থেকে ছোট ক্রমে ৩য় $= 95$, ৪র্থ $= 95 - 2 = 93$।

উত্তর: খ) $93$

3. প্রথম $40$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত? [Find the average of first 40 natural numbers]

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n+1)}{2}$। $n = 40$ হলে যোগফল $= \dfrac{40 \times 41}{2} = 820$।

গড় $= \dfrac{820}{40} = 20.5$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: গড় $= \dfrac{n + 1}{2} = \dfrac{41}{2} = 20.5$।

উত্তর: $20.5$

4. প্রথম $11$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত? [The arithmetic mean of first 11 natural numbers]

ক) 5     খ) 5.5     গ) 6.0     ঘ) 6.5

সমাধান:

গড় $= \dfrac{1 + 2 + \cdots + 11}{11} = \dfrac{11 \times 12}{2 \times 11} = 6$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: $\dfrac{n + 1}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$।

উত্তর: গ) $6.0$

5. প্রথম $10$ টি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত? [The mean of the first ten even natural numbers is]

ক) 9     খ) 10     গ) 11     ঘ) 12

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $2, 4, 6, \ldots, 20$। যোগফল $= 2(1 + 2 + \cdots + 10) = 2 \times 55 = 110$।

গড় $= \dfrac{110}{10} = 11$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: প্রথম ও শেষ সংখ্যার গড় $= \dfrac{2 + 20}{2} = 11$।

উত্তর: গ) $11$

6. প্রথম $100$ টি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গড় কত? [The average of the first 100 positive integer is]

ক) 49.5     খ) 50.5     গ) 51     ঘ) 100

সমাধান:

যোগফল $= \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$।

গড় $= \dfrac{5050}{100} = 50.5$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: $\dfrac{1 + 100}{2} = 50.5$।

উত্তর: খ) $50.5$

7. $100$ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত? [The average of odd number up to 100 is]

ক) 49     খ) 49.5     গ) 50     ঘ) 50.5

সমাধান:

বিজোড় সংখ্যাগুলো $1, 3, 5, \ldots, 99$; মোট $50$ টি। প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল $n^2$, তাই যোগফল $= 50^2 = 2500$।

গড় $= \dfrac{2500}{50} = 50$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: প্রথম ও শেষ সংখ্যার গড় $= \dfrac{1 + 99}{2} = 50$।

উত্তর: গ) $50$

8. $3$ এর প্রথম পাঁচটি গুণিতকের গড় কত? [The average of the first five multiples of 3 is]

ক) 3     খ) 9     গ) 12     ঘ) 15

সমাধান:

গুণিতকগুলো $3, 6, 9, 12, 15$। যোগফল $= 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 45$।

গড় $= \dfrac{45}{5} = 9$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: পাঁচটি সংখ্যার মাঝেরটিই গড়, অর্থাৎ ৩য় গুণিতক $9$।

উত্তর: খ) $9$

9. $7$ এর প্রথম $20$ টি গুণিতকের গড় কত? [Find the average of first 20 multiples of 7.]

সমাধান:

গড় $= \dfrac{7(1 + 2 + \cdots + 20)}{20} = \dfrac{7 \times 210}{20} = \dfrac{1470}{20} = 73.5$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: প্রথম গুণিতক $7$, বিংশতম গুণিতক $7 \times 20 = 140$; গড় $= \dfrac{7 + 140}{2} = 73.5$।

উত্তর: $73.5$

10. $6$ থেকে $34$ এর মধ্যে $5$ দ্বারা বিভাজ্য সব সংখ্যার গড় কত? [Find the average of all the numbers between 6 and 34 which are divisible by 5.]

ক) 18     খ) 20     গ) 24     ঘ) 30

সমাধান:

$5$ এর গুণিতকগুলো: $10, 15, 20, 25, 30$।

গড় $= \dfrac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} = \dfrac{100}{5} = 20$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: পাঁচটি সংখ্যার মাঝেরটি $20$।

উত্তর: খ) $20$

11. পাঁচটি ধারাবাহিক সংখ্যা $A, B, C, D$ ও $E$ এর গড় $48$ হলে $A$ ও $E$ এর গুণফল কত? [The average of five consecutive numbers A, B, C, D and E is 48. What is the product of A and E?]

সমাধান:

সংখ্যাগুলো $x, x+1, \ldots, x+4$। গড় $= \dfrac{5x + 10}{5} = 48$, তাই $5x + 10 = 240$ এবং $x = 46$।

$A = 46$ ও $E = 50$। গুণফল $= 46 \times 50 = 2300$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: মাঝের সংখ্যা $C = 48$; $A = 48 - 2 = 46$ এবং $E = 48 + 2 = 50$।

উত্তর: $2300$

12. $A, B, C$ ও $D$ চারটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা, যাদের গড় $65$। $A$ ও $D$ এর গুণফল কত? [A, B, C and D are four consecutive even numbers respectively and their average is 65. What is the product of A and D?]

ক) 3968     খ) 4092     গ) 4216     ঘ) 4352     ঙ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

চারটি সংখ্যার গড় $65$ মানে মাঝের দুটি সংখ্যা $B$ ও $C$ এর গড় $65$। ধারাবাহিক জোড়ের ব্যবধান $2$, তাই $B = 64$ ও $C = 66$।

$A = 62$ এবং $D = 68$।

গুণফল $= 62 \times 68 = 4216$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: গড় $= \dfrac{62 + 64 + 66 + 68}{4} = \dfrac{260}{4} = 65$ ✓।

উত্তর: গ) $4216$

13. প্রথম $9$ টি মৌলিক সংখ্যার গড় কত? [The average of the first nine prime numbers is]

ক) 9     খ) 11     গ) $11\dfrac{1}{9}$     ঘ) $11\dfrac{2}{9}$

সমাধান:

প্রথম নয়টি মৌলিক সংখ্যা: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$।

যোগফল $= 100$। গড় $= \dfrac{100}{9} = 11\dfrac{1}{9}$।

ব্যাখ্যা: ধাপে ধাপে যোগ: $2 + 3 + 5 = 10$; $+7 = 17$; $+11 = 28$; $+13 = 41$; $+17 = 58$; $+19 = 77$; $+23 = 100$।

উত্তর: গ) $11\dfrac{1}{9}$

14. $5$ টি পর্যবেক্ষণ $x, x+2, x+4, x+6$ ও $x+8$ এর গড় $11$ হলে শেষ তিনটির গড় কত? [If the mean of 5 observations x, x + 2, x + 4, x + 6 and x + 8 is 11, then the mean of the last three observations is] (Pubali Bank (SO) 2017)

ক) 11     খ) 13     গ) 15     ঘ) 17

সমাধান:

গড় $= \dfrac{5x + 20}{5} = 11$, তাই $5x + 20 = 55$ এবং $x = 7$।

সংখ্যাগুলো $7, 9, 11, 13, 15$। শেষ তিনটি $11, 13, 15$।

গড় $= \dfrac{11 + 13 + 15}{3} = \dfrac{39}{3} = 13$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: শেষ তিনটির মাঝেরটি $13$ এবং তারা সমান ব্যবধানে আছে, তাই গড় $13$।

উত্তর: খ) $13$

15. $a, b, c, d, e$ পাঁচটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা হলে তাদের গড় কত? [If a, b, c, d, e are five consecutive odd numbers, their average is]

ক) $5(a + 4)$     খ) $\dfrac{abcde}{5}$     গ) $5(a + b + c + d + e)$     ঘ) $a + 4$

সমাধান:

$b = a + 2$, $c = a + 4$, $d = a + 6$, $e = a + 8$।

গড় $= \dfrac{a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + (a + 8)}{5} = \dfrac{5a + 20}{5} = a + 4$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: পাঁচটির মাঝেরটি $c = a + 4$ই গড়।

উত্তর: ঘ) $a + 4$

16. পাঁচটি ধারাবাহিক সংখ্যার গড় $x$। যদি পরবর্তী দুটি সংখ্যাও যোগ করা হয়, তবে গড় কীভাবে পরিবর্তিত হবে? [The average of five consecutive numbers is x. If the next two numbers are also included, how shall the average vary?]

ক) ১ বাড়বে     খ) অপরিবর্তিত থাকবে     গ) ১.৪ বাড়বে     ঘ) ২ বাড়বে

সমাধান:

পাঁচটি সংখ্যার গড় $x$, তাই সংখ্যাগুলো $x-2, x-1, x, x+1, x+2$।

পরের দুটি সংখ্যা $x + 3$ ও $x + 4$। সাতটি সংখ্যা: $x-2, x-1, x, x+1, x+2, x+3, x+4$।

নতুন গড় $= \dfrac{7x + 7}{7} = x + 1$। অর্থাৎ গড় $1$ বাড়বে।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: সাতটি ধারাবাহিক সংখ্যার মাঝেরটি ৪র্থ, যা $x + 1$।

উত্তর: ক) ১ বাড়বে

17. $75$ টি সংখ্যার গড় $35$। প্রতিটি সংখ্যা $5$ করে বাড়ালে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে? [If the arithmetic mean of seventy-five numbers is calculated, it is 35. If each number is increased by 5, then mean of new numbers is]

ক) 30     খ) 40     গ) 70     ঘ) 90

সমাধান:

মোট যোগফল $= 75 \times 35 = 2625$। মোট বৃদ্ধি $= 75 \times 5 = 375$।

নতুন যোগফল $= 2625 + 375 = 3000$। নতুন গড় $= \dfrac{3000}{75} = 40$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: প্রতিটি সংখ্যা $5$ বাড়লে গড়ও $5$ বাড়ে, অর্থাৎ $35 + 5 = 40$।

উত্তর: খ) $40$

18. $10$ টি সংখ্যার গড় $7$। প্রতিটি সংখ্যাকে $12$ দিয়ে গুণ করলে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে? [The average of ten numbers is 7. If each number is multiplied by 12, then the average of the new set of numbers is]

ক) 7     খ) 19     গ) 82     ঘ) 84

সমাধান:

নতুন গড় $= \dfrac{12x_1 + 12x_2 + \cdots + 12x_{10}}{10} = 12 \times \dfrac{x_1 + \cdots + x_{10}}{10} = 12 \times 7 = 84$।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি সংখ্যাকে $k$ দিয়ে গুণ করলে গড়ও $k$ গুণ হয়।

উত্তর: ঘ) $84$

19. যে দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলোর অঙ্ক দুটি স্থান বদল করলেও সংখ্যাটি একই থাকে, তাদের গড় কত? [The average of the two-digit numbers, which remain the same when the digits interchange their positions, is]

ক) 33     খ) 44     গ) 55     ঘ) 66

সমাধান:

এমন সংখ্যা হলো যার দুটি অঙ্কই সমান: $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$। মোট $9$ টি।

যোগফল $= 11(1 + 2 + \cdots + 9) = 11 \times 45 = 495$।

গড় $= \dfrac{495}{9} = 55$।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: সংখ্যাগুলো সমান ব্যবধানে আছে, তাই মাঝেরটিই ($5$ম) গড়: $55$।

উত্তর: গ) $55$

20. তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার যোগফল সংখ্যা তিনটির গড়ের চেয়ে $44$ বেশি। সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত? [The sum of the three consecutive even numbers is 44 more than the average of these numbers. Which of the following is the largest of these numbers?]

ক) 16     খ) 18     গ) 24     ঘ) কোনোটিই নয়

সমাধান:

সংখ্যা তিনটি $x, x+2, x+4$। যোগফল $= 3x + 6$ এবং গড় $= x + 2$।

$(3x + 6) - (x + 2) = 44$, তাই $2x + 4 = 44$ এবং $x = 20$।

সংখ্যাগুলো $20, 22, 24$। সবচেয়ে বড় $= 24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: যোগফল $66$ এবং গড় $22$; $66 - 22 = 44$ ✓।

উত্তর: গ) $24$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নের ইংরেজি সংস্করণে "third largest" ছাপা আছে, কিন্তু বাংলা অংশে "সবচেয়ে বড় সংখ্যা" জানতে চাওয়া হয়েছে। তিনটি সংখ্যার মধ্যে "third largest" মানে সবচেয়ে ছোটটি ($20$) হতো, যা অপশনে নেই। তাই এখানে বইয়ের উত্তর অনুযায়ী সবচেয়ে বড় সংখ্যা $24$ ধরা হয়েছে।

21. এক ব্যক্তির বছরের প্রথম $5$ মাসের গড় মাসিক খরচ $5000$ টাকা এবং পরবর্তী $7$ মাসের গড় খরচ $5400$ টাকা। সে সারা বছরে $2300$ টাকা সঞ্চয় করলে তার গড় মাসিক আয় কত? [The average expenditure of a man for the first five months of a year is Tk. 5000 and for the next seven months it is Tk. 5400. He saves Tk. 2300 during the year. His average monthly income is]

ক) Tk. 5425     খ) Tk. 5446     গ) Tk. 5500     ঘ) Tk. 5600

সমাধান:

মোট ব্যয় $= 5000 \times 5 + 5400 \times 7 = 25000 + 37800 = 62800$ টাকা।

মোট আয় $=$ মোট ব্যয় $+$ মোট সঞ্চয় $= 62800 + 2300 = 65100$ টাকা।

গড় মাসিক আয় $= \dfrac{65100}{12} = 5425$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $5425 \times 12 = 65100$ ✓।

উত্তর: ক) Tk. 5425

22. এক ব্যক্তির প্রথম $5$ মাসের গড় মাসিক খরচ $1200$ টাকা এবং পরের $7$ মাসের গড় খরচ $1300$ টাকা। সে ওই বছরে $2900$ টাকা সঞ্চয় করলে তার গড় মাসিক আয় কত? [The average expenditure of a man for the first five months is Tk.1200 and for the next seven months is Tk.1300. If he saves Tk.2900 in that year, his monthly average income is]

ক) Tk. 1500     খ) Tk. 1600     গ) Tk. 1700     ঘ) Tk. 1400

সমাধান:

মোট ব্যয় $= 5 \times 1200 + 7 \times 1300 = 6000 + 9100 = 15100$ টাকা।

মোট আয় $= 15100 + 2900 = 18000$ টাকা।

গড় মাসিক আয় $= \dfrac{18000}{12} = 1500$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $1500 \times 12 = 18000$ ✓।

উত্তর: ক) Tk. 1500

23. একটি পরিবারের প্রথম $3$ মাসের গড় মাসিক খরচ $2200$ টাকা, পরের $4$ মাসের $2250$ টাকা এবং শেষ $5$ মাসের $3120$ টাকা। বছরে মোট সঞ্চয় $1260$ টাকা হলে পরিবারটির গড় মাসিক আয় কত? [The average monthly expenditure of a family was Tk.2200 during the first 3 months, Tk.2250 during the next 4 months and Tk.3120 during the last 5 months of a year. If the total savings during the year were Tk.1260, find the average monthly income of the family.]

সমাধান:

মোট ব্যয় $= 2200 \times 3 + 2250 \times 4 + 3120 \times 5 = 6600 + 9000 + 15600 = 31200$ টাকা।

মোট আয় $= 31200 + 1260 = 32460$ টাকা।

গড় মাসিক আয় $= \dfrac{32460}{12} = 2705$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2705 \times 12 = 32460$ ✓।

উত্তর: $2705$ টাকা

24. কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যক কৃষকের গড় বার্ষিক আয় $S$ টাকা এবং অন্যান্য শ্রমিকদের গড় বার্ষিক আয় $T$ টাকা। অন্যান্য শ্রমিকের সংখ্যার তুলনায় কৃষকের সংখ্যা $11$ গুণ হলে সবার (কৃষকসহ) গড় আয় কত? [The average annual income (in Tk.) of certain agricultural workers is S and that of other workers is T. The number of agricultural workers is 11 times that of other workers. Then the average monthly income (in Tk.) of all the workers is]

ক) $\dfrac{S + T}{2}$     খ) $\dfrac{S + 11T}{2}$     গ) $\dfrac{1}{11S} + T$     ঘ) $\dfrac{11S + T}{12}$

সমাধান:

অন্যান্য শ্রমিকের সংখ্যা $x$ ধরলে কৃষকের সংখ্যা $11x$ এবং মোট শ্রমিক $12x$।

মোট আয় $= 11x \times S + x \times T = x(11S + T)$।

গড় $= \dfrac{x(11S + T)}{12x} = \dfrac{11S + T}{12}$।

ব্যাখ্যা: ভারযুক্ত গড়ের সূত্র: যে দলের সংখ্যা বেশি, গড় তার ($S$) দিকে বেশি হেলে থাকে; $\dfrac{11S + T}{12}$ সেই ধারণার সাথে মেলে।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{11S + T}{12}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে শুরুতে "গড় বার্ষিক আয়" বলা হলেও শেষে "মাসিক গড় আয়" লেখা আছে, যা মূল প্রশ্নের একটু অসঙ্গতি। বইয়ের উত্তর $\dfrac{11S + T}{12}$-ই সঠিক হিসেবে ধরা হয়েছে এবং এখানে আমরা সেটিই দিয়েছি।