45th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

উৎপাদকে ভাঙি: $x^2y + xy^2 = xy(x + y)$ এবং $x^2 + xy = x(x + y)$।

ল.সা.গু. $= xy(x + y)$ এবং গ.সা.গু. $= x(x + y)$।

গুণফল $= xy(x + y) \times x(x + y) = x^2y(x + y)^2$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: দুটি রাশির ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু. $=$ রাশি দুটির গুণফল; যাচাই: $xy(x+y) \cdot x(x+y)$ ✓।

উত্তর: গ) $x^2y(x + y)^2$

2. যদি $x : y = 2 : 3$ এবং $y : z = 5 : 7$ হয় তবে $x : y : z =$ ?

ক) $6 : 9 : 14$     খ) $10 : 15 : 21$     গ) $2 : 5 : 7$     ঘ) $3 : 5 : 7$

সমাধান:

$x : y = 2 : 3 = 10 : 15$ (৫ দিয়ে গুণ করে), যাতে $y = 15$ হয়।

$y : z = 5 : 7 = 15 : 21$ (৩ দিয়ে গুণ করে), যাতে $y = 15$ হয়।

তাহলে $x : y : z = 10 : 15 : 21$।

ব্যাখ্যা: দুই অনুপাতের সাধারণ রাশি ($y$) এর মান সমান করে নিলেই তিনটির অনুপাত পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $10 : 15 : 21$

3. জাহিদ সাহেবের বেতন $10\%$ কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন $10\%$ বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হলো?

ক) 0%     খ) 1%     গ) 5%     ঘ) 10%

সমাধান:

পূর্ব বেতন $100$ টাকা ধরি। $10\%$ কমলে বেতন $= 90$ টাকা।

এরপর $10\%$ বাড়লে $= 90 \times 1.1 = 99$ টাকা।

ক্ষতি $= 100 - 99 = 1$ টাকা, অর্থাৎ $1\%$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: সমান $x\%$ কমা ও বাড়ায় নিট ক্ষতি $= \dfrac{x^2}{100}\% = \dfrac{100}{100} = 1\%$।

উত্তর: খ) $1\%$

4. $(x + 5)^2 = x^2 + bx + c$ সমীকরণে $b$ ও $c$ এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক) $3, 10$     খ) $10, 15$     গ) $15, 25$     ঘ) $10, 25$

সমাধান:

বাম পক্ষ বিস্তার করি: $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 = x^2 + 10x + 25$।

অভেদ হতে হলে উভয় পক্ষের সহগ সমান হতে হবে: $b = 10$ এবং $c = 25$।

ব্যাখ্যা: অভেদ মানে $x$ এর সব মানের জন্য সত্য; তাই $x$ এর একই ঘাতের সহগ মিলাতে হয়।

উত্তর: ঘ) $10, 25$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ছাপা প্রশ্নে $(x + y)^2$ লেখা আছে, কিন্তু বইয়ের সমাধান ও উত্তর ($10, 25$) থেকে বোঝা যায় এটি $(x + 5)^2$ হওয়ার কথা। আমরা সেই অনুযায়ী সমাধান করেছি।

5. নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?

ক) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{2}$     খ) $x^2 + y = 1$     গ) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}$     ঘ) $x = \dfrac{1}{y}$

সমাধান:

সরলরেখার সমীকরণে $x$ ও $y$ এর ঘাত সবসময় $1$ হয় এবং $xy$ জাতীয় কোনো পদ থাকে না।

অপশন (ক) এ $y^2$, (খ) এ $x^2$ এবং (ঘ) এ $xy = 1$ (অধিবৃত্ত) আছে, তাই এগুলো সরলরেখা নয়।

অপশন (গ): $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}$ থেকে $2x = y$, যা একটি সরলরেখার সমীকরণ।

ব্যাখ্যা: $y = mx$ আকারের সমীকরণ মূলবিন্দুগামী সরলরেখা; $2x = y$ তে ঢাল $m = 2$।

উত্তর: গ) $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}$

6. $p + q = 5$ এবং $p - q = 3$ হলে $p^2 + q^2$ এর মান কত?

ক) 8     খ) 17     গ) 19     ঘ) 34

সমাধান:

সূত্র: $2(p^2 + q^2) = (p + q)^2 + (p - q)^2$।

$= 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$।

$p^2 + q^2 = \dfrac{34}{2} = 17$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: যোগ করে $p = 4$, বিয়োগ করে $q = 1$; $16 + 1 = 17$ ✓।

উত্তর: খ) 17

7. যদি $\log\left(\dfrac{a}{b}\right) + \log\left(\dfrac{b}{a}\right) = \log(a + b)$ হয়, তবে----

ক) $a + b = 1$     খ) $a - b = 1$     গ) $a = b$     ঘ) $a^2 - b^2 = 1$

সমাধান:

লগের যোগফলের নিয়ম: $\log\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}\right) = \log(a + b)$।

বাম পক্ষ $= \log 1$, অর্থাৎ $\log 1 = \log(a + b)$।

অতএব $a + b = 1$।

ব্যাখ্যা: দুই পক্ষের লগ সমান হলে লগের ভেতরের রাশি সমান হয় (একই ভিত্তিতে)।

উত্তর: ক) $a + b = 1$

8. $2^{x + 7} = 4^{x + 2}$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 6

সমাধান:

$4^{x + 2} = (2^2)^{x + 2} = 2^{2(x + 2)}$।

ভিত্তি সমান হওয়ায় সূচক সমান: $x + 7 = 2x + 4$।

$x = 3$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বাম $= 2^{10} = 1024$ এবং ডান $= 4^5 = 1024$ ✓।

উত্তর: খ) 3

9. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}, -1, \sqrt{3}, \ldots$ ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক) $-\sqrt{3}$     খ) 9     গ) $-9\sqrt{3}$     ঘ) $3\sqrt{3}$

সমাধান:

প্রথম পদ $a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{-1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$।

পঞ্চম পদ $= ar^4 = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times (-\sqrt{3})^4 = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times 9$

$= \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: পদগুলো $\dfrac{1}{\sqrt{3}}, -1, \sqrt{3}, -3, 3\sqrt{3}$; পঞ্চম পদ $3\sqrt{3}$ ✓।

উত্তর: ঘ) $3\sqrt{3}$

10. যদি $1 + \tan^2\theta = 4$ এবং $\theta < 90°$ হয়, $\theta =$ ?

ক) $30°$     খ) $45°$     গ) $60°$     ঘ) $0°$

সমাধান:

$\tan^2\theta = 4 - 1 = 3$ বা, $\tan\theta = \sqrt{3}$ ($\theta < 90°$ বলে ধনাত্মক)।

$\tan 60° = \sqrt{3}$, তাই $\theta = 60°$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta = 4$ বা, $\sec\theta = 2$, অর্থাৎ $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, তাই $\theta = 60°$।

উত্তর: গ) $60°$

11. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে $60°$ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস $12$ সেমি হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

ক) $4\pi$     খ) $3\pi$     গ) $2\pi$     ঘ) $\pi$

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{12}{2} = 6$ সেমি এবং কোণ $\theta = 60° = \dfrac{\pi}{3}$ রেডিয়ান।

চাপের দৈর্ঘ্য $s = r\theta = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi$ সেমি।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\dfrac{60}{360}$ অংশ পরিধি $= \dfrac{1}{6} \times 2\pi \times 6 = 2\pi$।

উত্তর: গ) $2\pi$ সেমি

12. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $1 : 2\sqrt{2} : 3$ হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক) $30°$     খ) $60°$     গ) $80°$     ঘ) $90°$

সমাধান:

বাহু তিনটি $1, 2\sqrt{2}, 3$ ধরি। ক্ষুদ্র দুই বাহুর বর্গের যোগ: $1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$।

বৃহত্তম বাহুর বর্গ $= 3^2 = 9$। পিথাগোরাসের বিপরীত সূত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী।

বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ $= 90°$।

ব্যাখ্যা: বৃহত্তম কোণ সবসময় বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে থাকে।

উত্তর: ঘ) $90°$

13. $29$ থেকে $38$ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{1}{3}$     গ) $\dfrac{3}{10}$     ঘ) $\dfrac{7}{10}$

সমাধান:

$29$ থেকে $38$ পর্যন্ত মোট সংখ্যা $= 38 - 29 + 1 = 10$ টি।

মৌলিক সংখ্যা: $29, 31, 37$, মোট $3$ টি।

সম্ভাবনা $= \dfrac{3}{10}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $30, 32, 34, 36, 38$ জোড়; $33 = 3 \times 11$ ও $35 = 5 \times 7$ যৌগিক; বাকি $29, 31, 37$ মৌলিক।

উত্তর: গ) $\dfrac{3}{10}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের সমাধানে $3$ টি মৌলিক সংখ্যা পেয়েও সম্ভাবনা $\dfrac{1}{3}$ লেখা হয়েছে এবং উত্তরমালায় (খ) দেওয়া আছে। কিন্তু মোট সংখ্যা $10$ টি, তাই সঠিক উত্তর $\dfrac{3}{10}$ (গ)।

14. $0, 1, 2, 3, 4$ অংকগুলো দ্বারা কতগুলো পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে? (কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হবে না)

ক) 96     খ) 120     গ) 24     ঘ) 144

সমাধান:

পাঁচটি অঙ্ক দিয়ে সব সাজানোর উপায় $= 5! = 120$।

এর মধ্যে $0$ প্রথমে থাকলে সংখ্যাটি পাঁচ অঙ্কের থাকে না। $0$ কে প্রথমে রেখে বাকি $4$ টি সাজানো যায় $4! = 24$ উপায়ে।

অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা $= 120 - 24 = 96$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: প্রথম স্থানে $0$ বাদে $4$ টি অঙ্ক, বাকি $4$ স্থানে $4!$ উপায়: $4 \times 24 = 96$।

উত্তর: ক) 96

15. $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 5x - 14 = 0\}$ হলে $A =$ ?

ক) $\{6, 1\}$     খ) $\{-2, 7\}$     গ) $\{2, 7\}$     ঘ) $\{7\}$

সমাধান:

উৎপাদকে ভাঙি: $x^2 - 7x + 2x - 14 = (x - 7)(x + 2) = 0$।

$x = 7$ অথবা $x = -2$।

$x$ স্বাভাবিক সংখ্যা ($\mathbb{N}$) হতে হবে, তাই $-2$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব $A = \{7\}$।

ব্যাখ্যা: সেটের শর্তে $x \in \mathbb{N}$ থাকলে ঋণাত্মক ও শূন্য মান বাদ যায়।

উত্তর: ঘ) $\{7\}$