44th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি ক্রয়মূল্য $= 100$ টাকা। ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ, তাই বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{100}{2} = 50$ টাকা।

ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি, তাই ক্ষতি $= 100 - 50 = 50$ টাকা।

শতকরা ক্ষতি $= \dfrac{50}{100} \times 100 = 50\%$।

ব্যাখ্যা: শতকরা ক্ষতি সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা হয়, বিক্রয়মূল্যের উপর নয়।

উত্তর: ঘ) ক্ষতি $50\%$

2. $i^{-49}$ এর মান কত?

ক) $-1$     খ) $i$     গ) $1$     ঘ) $-i$

সমাধান:

$i^{-49} = \dfrac{1}{i^{49}}$ এবং $i^{49} = i^{48} \cdot i = (i^2)^{24} \cdot i = (-1)^{24} \cdot i = i$।

$\dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $i^{-49} = i^{-50} \cdot i = (i^2)^{-25} \cdot i = (-1)^{-25} \cdot i = -i$।

উত্তর: ঘ) $-i$

3. $6a^2bc$ এবং $4a^3b^2c^2$ এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?

ক) $a^2bc$     খ) $2a^2bc$     গ) $2a^2b^2c^2$     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

এখানে শুধু সংখ্যা সহগ দুটির গ.সা.গু. চাওয়া হয়েছে: $6$ ও $4$ এর গ.সা.গু. $= 2$।

অপশনগুলোর কোনোটিতেই শুধু $2$ নেই; সব অপশনে বর্ণ ($a, b, c$) জড়িয়ে আছে।

ব্যাখ্যা: সাবধান: রাশি দুটির পূর্ণ গ.সা.গু. হতো $2a^2bc$; কিন্তু প্রশ্ন শুধু "সংখ্যা সহগের" গ.সা.গু. চেয়েছে।

উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

4. $18$ এবং $72$ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

ক) 45     খ) 1296     গ) 36     ঘ) 4

সমাধান:

দুটি সংখ্যা $a, b$ এর গুণোত্তর গড় $= \sqrt{ab}$।

$\sqrt{18 \times 72} = \sqrt{1296} = 36$।

ব্যাখ্যা: কৌশল: $18 = 9 \times 2$ এবং $72 = 36 \times 2$, তাই $\sqrt{18 \times 72} = 3 \times 6 \times 2 = 36$। (অপশন $45$ হলো সমান্তর গড়।)

উত্তর: গ) 36

5. যদি $\sqrt[4]{x^3} = 2$ হয়, তাহলে $x^{\frac{3}{2}} =$ ?

ক) 8     খ) 16     গ) 4     ঘ) 64

সমাধান:

$\sqrt[4]{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{3}{4}} = 2$।

উভয় পক্ষকে বর্গ করে: $\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^2 = 2^2$ বা, $x^{\frac{3}{2}} = 4$।

ব্যাখ্যা: সূচকের কৌশল: ঘাত $\dfrac{3}{4}$ থেকে $\dfrac{3}{2}$ পেতে দ্বিগুণ করতে হয়, তাই মানও বর্গ হয়: $2^2 = 4$।

উত্তর: গ) 4

6. $2\log_{10} 5 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 =$ ?

ক) 2     খ) 100     গ) 37     ঘ) 4.6

সমাধান:

$2\log_{10} 5 = \log_{10} 5^2 = \log_{10} 25$।

$\log_{10} 25 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9 = \log_{10} \dfrac{25 \times 36}{9} = \log_{10} 100$।

$\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$।

ব্যাখ্যা: যোগ হলে গুণ, বিয়োগ হলে ভাগ: লগের এই দুটি নিয়ম মনে রাখুন।

উত্তর: ক) 2

7. যদি $\log_{10} x = -1$ হয়, তাহলে নিচের কোনটি $x$ এর মান?

ক) 0.1     খ) 0.01     গ) $\dfrac{1}{10000}$     ঘ) 0.001

সমাধান:

লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x = 10^{-1}$।

$10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0.1$।

ব্যাখ্যা: নিয়ম: $\log_a x = y$ হলে $x = a^y$।

উত্তর: ক) 0.1

8. যদি $-5, p, q, 16$ সমান্তর অনুক্রম থাকে, তাহলে $p$ ও $q$ এর মান হবে যথাক্রমে-

ক) $-2, 9$     খ) $2, 9$     গ) $-2, -9$     ঘ) $2, -9$

সমাধান:

প্রথম পদ $a = -5$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ ধরি। চতুর্থ পদ $a + 3d = 16$ বা, $-5 + 3d = 16$।

$3d = 21$, তাই $d = 7$।

$p = a + d = -5 + 7 = 2$ এবং $q = a + 2d = -5 + 14 = 9$।

ব্যাখ্যা: মুখে মুখে: $16 - (-5) = 21$ তিন ধাপে, তাই প্রতি ধাপ $7$; পদগুলো $-5, 2, 9, 16$।

উত্তর: খ) $2, 9$

9. $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots + n$ সংখ্যক পদের যোগফল হবে-

ক) 0     খ) 1     গ) $[1 + (-1)^n]$     ঘ) $\dfrac{1}{2}[1 - (-1)^n]$

সমাধান:

ধারাটি গুণোত্তর, প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = -1$।

$n$ পদের সমষ্টি $= a \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} = \dfrac{1 - (-1)^n}{1 - (-1)} = \dfrac{1}{2}[1 - (-1)^n]$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $n = 1$ এ $\dfrac{1}{2}(1 + 1) = 1$ ✓; $n = 2$ এ $\dfrac{1}{2}(1 - 1) = 0$ ✓। (অপশন $0$ ও $1$ সবসময় সঠিক নয়, কারণ $n$ এর উপর নির্ভর করে।)

উত্তর: ঘ) $\dfrac{1}{2}[1 - (-1)^n]$

10. $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{3}{4}$, $A$ ও $B$ স্বাধীন হলে $P(A \cup B)$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{3}{4}$     খ) $\dfrac{1}{3}$     গ) $\dfrac{5}{6}$     ঘ) এর কোনটিই নয়

সমাধান:

স্বাধীন ঘটনায় $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$।

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4}$

$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}$।

ব্যাখ্যা: স্বাধীন ঘটনাকে সবসময় অবর্জনশীল (পরস্পর বর্জনশীল) ভেবে ভুল করবেন না; এখানে ছেদ শূন্য নয়, $\dfrac{1}{4}$।

উত্তর: গ) $\dfrac{5}{6}$

11. বাস্তব সংখ্যায় $|3x + 2| < 7$ অসমতাটির সমাধান:

ক) $-3 < x < 3$     খ) $-\dfrac{5}{3} < x < \dfrac{5}{3}$     গ) $-3 < x < \dfrac{5}{3}$     ঘ) $\dfrac{5}{3} < x < -\dfrac{5}{3}$

সমাধান:

$|3x + 2| < 7$ থেকে $-7 < 3x + 2 < 7$।

সব পক্ষ থেকে $2$ বিয়োগ করে: $-9 < 3x < 5$।

$3$ দিয়ে ভাগ করে: $-3 < x < \dfrac{5}{3}$।

ব্যাখ্যা: প্রান্তমান যাচাই: $x = -3$ এ $|-9 + 2| = 7$ এবং $x = \dfrac{5}{3}$ এ $|5 + 2| = 7$; দুটিই সীমা, বাইরে।

উত্তর: গ) $-3 < x < \dfrac{5}{3}$

12. একটি ফাংশন $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে $f^{-1}(2)$ এর মান কত?

ক) 0     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) 5     ঘ) 1

সমাধান:

$y = 2x + 1$ ধরি। $x$ এর মান বের করি: $2x = y - 1$ বা, $x = \dfrac{y - 1}{2}$।

অতএব $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}$।

$f^{-1}(2) = \dfrac{2 - 1}{2} = \dfrac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{2} + 1 = 2$ ✓।

উত্তর: খ) $\dfrac{1}{2}$

13. $ABC$ ত্রিভুজে $B$ কোণের পরিমাণ $48°$ এবং $AB = AC$। যদি $E$ এবং $F$, $AB$ এবং $AC$ কে এমনভাবে ছেদ করে যেন $EF \parallel BC$ হয়, তাহলে $\angle A + \angle AFE =$ ?

ক) $132°$     খ) $180°$     গ) $108°$     ঘ) $160°$

সমাধান:

$AB = AC$ হওয়ায় $\angle C = \angle B = 48°$, তাই $\angle A = 180° - 96° = 84°$।

$EF \parallel BC$ হওয়ায় অনুরূপ কোণ সমান: $\angle AFE = \angle C = 48°$।

$\angle A + \angle AFE = 84° + 48° = 132°$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\triangle AEF$ এ $\angle A + \angle AFE = 180° - \angle AEF = 180° - 48° = 132°$।

উত্তর: ক) $132°$

14. একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ $168°$। এর বাহুসংখ্যা কতগুলো হবে?

ক) 30     খ) 20     গ) 18     ঘ) 10

সমাধান:

প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ $168°$ হলে প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ $= 180° - 168° = 12°$।

সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ $= \dfrac{360°}{n}$, তাই $\dfrac{360°}{n} = 12°$।

$n = \dfrac{360}{12} = 30$।

ব্যাখ্যা: সব বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি সবসময় $360°$, বাহু যত বেশি প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ তত ছোট।

উত্তর: ক) 30

15. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $2$ সে.মি. এবং উচ্চতা $x$ সে.মি. হলে, $x$ এর মান কোনটি?

ক) $\sqrt{2}$     খ) $\sqrt{3}$     গ) 2     ঘ) 3

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে; অর্ধেক ভূমি $= 1$ সে.মি.।

সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাস: $x^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$।

$x = \sqrt{3}$ সে.মি.।

ব্যাখ্যা: সূত্র: সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times$ বাহু $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$।

উত্তর: খ) $\sqrt{3}$