43rd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

যদি $3x - 5 > 0$ হয়, তবে দুই পক্ষের অন্যোন্যক নিয়ে অসমতার দিক বদলে: $3x - 5 > 3$ বা, $3x > 8$, অর্থাৎ $x > \dfrac{8}{3}$।

এটি $3x - 5 > 0$ (অর্থাৎ $x > \dfrac{5}{3}$) শর্তকেও মেনে চলে।

অপশনগুলোর মধ্যে $\dfrac{8}{3} < x < \infty$ ই প্রধান সমাধান।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশের হর ধনাত্মক হলে তবেই অন্যোন্যক নিয়ে অসমতার দিক বদলানো যায়।

উত্তর: খ) $\dfrac{8}{3} < x < \infty$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: গাণিতিকভাবে $3x - 5 < 0$ (অর্থাৎ $x < \dfrac{5}{3}$) হলেও অসমতা সত্য, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যা $\dfrac{1}{3}$ এর চেয়ে ছোট। তাই পূর্ণ সমাধান হলো $x < \dfrac{5}{3}$ অথবা $x > \dfrac{8}{3}$। বইয়ের উত্তরমালা শুধু $x > \dfrac{8}{3}$ (খ) ধরেছে; আর (গ) তে ছাপা $\dfrac{5}{2}$ সম্ভবত $\dfrac{5}{3}$ এর ছাপার ভুল। পরীক্ষার জন্য উত্তরমালার (খ) ই ধরুন।

20. একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, সাত ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত?

ক) 522     খ) 252     গ) 225     ঘ) 155

সমাধান:

গরুর সংখ্যা প্রতিবারই সমান ভাগে ভাগ হয়, তাই সংখ্যাটি $3, 7, 9, 12$ প্রত্যেকটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

ন্যূনতম এমন সংখ্যা $3, 7, 9, 12$ এর ল.সা.গু.।

$3 = 3$; $7 = 7$; $9 = 3^2$; $12 = 2^2 \times 3$। ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 7 = 252$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $252 \div 3 = 84$, $\div 7 = 36$, $\div 9 = 28$, $\div 12 = 21$; সবই পূর্ণসংখ্যা ✓।

উত্তর: খ) 252

21. $20\%$ যৌগিক মুনাফায় $10000$ টাকা $2$ বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলো। যদি যৌগিক মুনাফা অর্ধ বছর হিসেবে ধরা হয়, তাহলে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

ক) $12^4$     খ) $11^4$     গ) $10^4$     ঘ) $9^4$

সমাধান:

অর্ধ বছর হিসেবে ধরলে বছরে $2$ বার চক্রবৃদ্ধি হয়; $2$ বছরে $n = 2 \times 2 = 4$ বার।

প্রতি অর্ধ বছরে হার $r = \dfrac{20\%}{2} = 10\%$।

চক্রবৃদ্ধি মূলধন $= 10000\left(1 + \dfrac{10}{100}\right)^4 = 10^4 \times \left(\dfrac{11}{10}\right)^4 = 11^4$ টাকা।

ব্যাখ্যা: $11^4 = 14641$ টাকা।

উত্তর: খ) $11^4$

22. $x = \sqrt{4} + \sqrt{3}$ হলে, $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

ক) $5\sqrt{3}$     খ) 52     গ) $5\sqrt{2}$     ঘ) $2\sqrt{5}$

সমাধান:

$x = 2 + \sqrt{3}$ হলে $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$।

$x + \dfrac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$।

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $x$ এর অন্যোন্যক পেতে $\sqrt{3}$ এর চিহ্ন উল্টে দিলেই হয়।

উত্তর: খ) 52

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের নিজের সমাধানেও $52$ আসে, কিন্তু উত্তরমালায় ছাপা বর্ণটি "ঘ" মনে হয়, যা ছাপার ভুল। অপশনে $52$ আছে (খ) তে।

23. একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে $12$ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতা দ্বিগুণের চেয়ে $3$ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

ক) 9 ফুট     খ) 8 ফুট     গ) 5 ফুট     ঘ) 4 ফুট

সমাধান:

ডকের উচ্চতা $x$ ফুট হলে দড়ির দৈর্ঘ্য $= 2x + 3$ এবং ভূমি $= 12$ ফুট; এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

পিথাগোরাস: $(2x + 3)^2 = x^2 + 12^2$ বা, $4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 144$।

$3x^2 + 12x - 135 = 0$ বা, $x^2 + 4x - 45 = 0$ বা, $(x + 9)(x - 5) = 0$।

$x = 5$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)।

ব্যাখ্যা: দ্রুত পথ: পিথাগোরীয় ত্রয়ী $5, 12, 13$ মিলে যায়: $5$ ফুট উচ্চতা, $13 = 2 \times 5 + 3$ ফুট দড়ি।

উত্তর: গ) 5 ফুট

24. $5x - x^2 - 6 > 0$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $x > 3, x < 2$     খ) $2 > x > 3$     গ) $x < 2$     ঘ) $2 < x < 3$

সমাধান:

$-1$ দিয়ে গুণ করে (অসমতার দিক উল্টে): $x^2 - 5x + 6 < 0$।

উৎপাদকে ভেঙে: $(x - 2)(x - 3) < 0$।

গুণফল ঋণাত্মক হবে যখন $x$ মূল দুটির মাঝখানে থাকে, অর্থাৎ $2 < x < 3$।

ব্যাখ্যা: পরীক্ষা: $x = 2.5$ এ $12.5 - 6.25 - 6 = 0.25 > 0$ ✓।

উত্তর: ঘ) $2 < x < 3$

25. $4^x + 4^{1 - x} = 4$ হলে, $x$ কত?

ক) $\dfrac{1}{4}$     খ) $\dfrac{1}{3}$     গ) $\dfrac{1}{2}$     ঘ) $1$

সমাধান:

$4^{1 - x} = \dfrac{4}{4^x}$। ধরি $a = 4^x$।

তাহলে $a + \dfrac{4}{a} = 4$ বা, $a^2 - 4a + 4 = 0$ বা, $(a - 2)^2 = 0$, অর্থাৎ $a = 2$।

$4^x = 2$ বা, $2^{2x} = 2^1$, তাই $2x = 1$ এবং $x = \dfrac{1}{2}$।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $x = \dfrac{1}{2}$ এ $4^{1/2} + 4^{1/2} = 2 + 2 = 4$ ✓।

উত্তর: গ) $\dfrac{1}{2}$

26. $2^{\log_2 3 + \log_2 5}$ এর মান কত?

ক) 8     খ) 2     গ) 15     ঘ) 10

সমাধান:

লগের যোগফল সূত্র: $\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3 \times 5) = \log_2 15$।

সূত্র $a^{\log_a x} = x$ প্রয়োগ করে: $2^{\log_2 15} = 15$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $2^{\log_2 3} \times 2^{\log_2 5} = 3 \times 5 = 15$।

উত্তর: গ) 15

27. $\dfrac{x - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1} - 2 = 0$ এর সমাধান সেট কোনটি?

ক) $\{\varnothing\}$     খ) $\{1\}$     গ) $\{-1\}$     ঘ) $\{2\}$

সমাধান:

প্রথম দুটি পদ যোগ করে: $\dfrac{x - 2 + 1}{x - 1} - 2 = \dfrac{x - 1}{x - 1} - 2 = 0$।

$x \ne 1$ হলে $\dfrac{x - 1}{x - 1} = 1$, তাই $1 - 2 = 0$ যা অসম্ভব।

$x = 1$ হলে মূল সমীকরণের হর শূন্য হয়ে যায়, তাই তা সংজ্ঞায়িত নয়।

অতএব কোনো সমাধান নেই; সমাধান সেট ফাঁকা সেট।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্টেও দেখা যায়: $x = 2$ এ $0 + 1 - 2 = -1 \ne 0$; $x = -1$ এ $\dfrac{-3}{-2} + \dfrac{1}{-2} - 2 = -1 \ne 0$।

উত্তর: ক) ফাঁকা সেট

28. $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{27} + \cdots$ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক) $S_\infty = \dfrac{20}{3}$     খ) $S_\infty = \dfrac{3}{20}$     গ) $S_\infty = 20$     ঘ) $S_\infty = 3$

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = \dfrac{1}{4}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{-1/6}{1/4} = -\dfrac{2}{3}$। (চতুর্থ পদ $\dfrac{1}{9} \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{2}{27}$ ✓)

$|r| < 1$ বলে অসীম সমষ্টি আছে: $S_\infty = \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{1/4}{1 + 2/3} = \dfrac{1/4}{5/3}$

$= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{20}$।

ব্যাখ্যা: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টির সূত্র কেবল তখনই খাটে যখন $|r| < 1$।

উত্তর: খ) $\dfrac{3}{20}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের প্রশ্নে চতুর্থ পদ $\dfrac{2}{7}$ ছাপা আছে, কিন্তু এটি $\dfrac{2}{27}$ হওয়ার কথা; বইও সেটিই সংশোধন করেছে।

29. একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

ক) $30°$     খ) $60°$     গ) $90°$     ঘ) $120°$

সমাধান:

কোণটি $x$ হলে তার সম্পূরক কোণ $= 180° - x$।

শর্ত: $x = \dfrac{1}{2}(180° - x)$ বা, $2x = 180° - x$।

$3x = 180°$, তাই $x = 60°$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $60°$ এর সম্পূরক $120°$ এবং $120°$ এর অর্ধেক $60°$ ✓।

উত্তর: খ) $60°$

30. $O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে $x$ কোণের মান কত? (চিত্রে $\angle BOC = 108°$ এবং $ABDC$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ)

ক) $54°$     খ) $72°$     গ) $108°$     ঘ) $126°$

সমাধান:

একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক: $\angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC = \dfrac{1}{2} \times 108° = 54°$।

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180°$: $\angle BAC + \angle BDC = 180°$।

$54° + x = 180°$, তাই $x = 126°$।

ব্যাখ্যা: বইয়ের সমাধানে $\dfrac{1}{2} \times 180°$ ছাপা আছে, সেটি আসলে $\dfrac{1}{2} \times 108°$ হবে ($54°$ আসে বলে)।

উত্তর: ঘ) $126°$

31. $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x \le 8\}$ এবং $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x$ বিজোড় এবং $x \le 9\}$ হলে $A \cap B =$ কত?

ক) $\{3, 5, 8\}$     খ) $\{4, 5, 7\}$     গ) $\{3, 4, 5\}$     ঘ) $\{3, 5, 7\}$

সমাধান:

$A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ এবং $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$।

উভয় সেটে সাধারণ উপাদান: $3, 5, 7$।

$A \cap B = \{3, 5, 7\}$।

ব্যাখ্যা: $A$ তে $2$ ধরা হয় না ($2 < x$), তাই $A$ শুরু হয় $3$ থেকে।

উত্তর: ঘ) $\{3, 5, 7\}$

32. একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা $300$ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

ক) ২৮     খ) ২৫     গ) ৩০     ঘ) ৬০

সমাধান:

$n$ জন লোকের মধ্যে দুজনকে বেছে নেওয়ার উপায় $= {}^nC_2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}$।

$\dfrac{n(n - 1)}{2} = 300$ বা, $n^2 - n - 600 = 0$।

$(n - 25)(n + 24) = 0$, তাই $n = 25$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $n = 25$ এ $\dfrac{25 \times 24}{2} = 300$ ✓।

উত্তর: খ) ২৫

33. $A$ এবং $B$ দুটি ঘটনা যেন, $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(A \cup B) = \dfrac{3}{4}$ এবং $P(B^c) = \dfrac{5}{8}$। $P(A^c \cap B^c) =$ কত?

ক) $\dfrac{1}{8}$     খ) $\dfrac{1}{6}$     গ) $\dfrac{1}{4}$     ঘ) $\dfrac{1}{2}$

সমাধান:

ডি মরগানের সূত্র: $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$।

$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$।

ব্যাখ্যা: $P(A)$ ও $P(B^c)$ এর মান এ প্রশ্নে লাগে না; এগুলো বিভ্রান্তিকর তথ্য।

উত্তর: গ) $\dfrac{1}{4}$