42nd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$1000$ লিটার $= 1$ ঘন মিটার, তাই $8000$ লিটার $= 8$ ঘন মিটার।

ভূমির ক্ষেত্রফল $= 2.56 \times 1.25 = 3.2$ বর্গ মিটার।

গভীরতা = আয়তন ÷ ভূমির ক্ষেত্রফল, অর্থাৎ $\dfrac{8}{3.2} = 2.5$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2.56 \times 1.25 \times 2.5 = 8$ ঘন মিটার ✓।

উত্তর: খ) 2.5 মিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে পানির পরিমাণ $800$ লিটারের মতো দেখায়, কিন্তু তাহলে গভীরতা হতো $0.25$ মিটার যা কোনো অপশনে নেই। বইয়ের নিজের সমাধান $8000$ লিটার ধরে $2.5$ মিটার পেয়েছে, তাই আমরাও $8000$ লিটার ধরে সমাধান করেছি।

2. এক বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে?

ক) $1 : 2$     খ) $5 : 2$     গ) $2 : 1$     ঘ) $4 : 1$

সমাধান:

ছোট বর্গের বাহু $a$ হলে তার পরিসীমা $= 4a$। তাহলে বড় বর্গের বাহু $= 4a$।

কর্ণ $= \sqrt{2} \times$ বাহু, তাই বড় বর্গের কর্ণ $= 4\sqrt{2}\,a$ এবং ছোট বর্গের কর্ণ $= \sqrt{2}\,a$।

অনুপাত $= 4\sqrt{2}\,a : \sqrt{2}\,a = 4 : 1$।

ব্যাখ্যা: দুটি বর্গের কর্ণের অনুপাত সবসময় তাদের বাহুর অনুপাতের সমান, এখানে $4a : a = 4 : 1$।

উত্তর: ঘ) $4 : 1$

3. আপনার মোবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে $420$ টাকা। যদি $1$ বছর পর $10\%$ বৃদ্ধি পায় এবং আরো $6$ মাস পর $20\%$ বৃদ্ধি পায়, তাহলে $18$ মাস পর আপনার বিল কত হবে?

ক) 460.20 টাকা     খ) 554.40 টাকা     গ) 620.60 টাকা     ঘ) 730.80 টাকা

সমাধান:

$12$ মাস পর বিল $= 420 \times \dfrac{110}{100} = 462$ টাকা।

আরো $6$ মাস পর ($18$ মাসে) $20\%$ বৃদ্ধি: $462 \times \dfrac{120}{100} = 554.40$ টাকা।

ব্যাখ্যা: এক লাইনে: $420 \times 1.10 \times 1.20 = 554.40$।

উত্তর: খ) 554.40 টাকা

4. টাকায় $3$ টি এবং $5$ টি দরে সমান সংখ্যক আমলকি ক্রয় করে এক ব্যক্তি টাকায় $4$ টি করে আমলকি বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো তা নির্ণয় করুন।

ক) 4.25%     খ) 5.25%     গ) 6.25%     ঘ) 7.25%

সমাধান:

প্রতি রকমের $15$ টি করে, মোট $30$ টি আমলকি ধরি (সুবিধার জন্য ল.সা.গু.)।

ক্রয়মূল্য $= \dfrac{15}{3} + \dfrac{15}{5} = 5 + 3 = 8$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ($4$ টি প্রতি টাকায়) $= \dfrac{30}{4} = 7.5$ টাকা।

ক্ষতি $= 8 - 7.5 = 0.5$ টাকা, শতকরা ক্ষতি $= \dfrac{0.5}{8} \times 100 = 6.25\%$।

ব্যাখ্যা: ফলাফল লাভ নয়, ক্ষতি: বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে কম।

উত্তর: গ) $6.25\%$ (ক্ষতি)

5. নিচের ধারার শেষ সংখ্যা কত? $3, 9, 27, 81, \ldots$

ক) 241     খ) 243     গ) 245     ঘ) 247

সমাধান:

ধারাটি $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \ldots$ অর্থাৎ প্রতিটি পদ আগেরটির $3$ গুণ।

পরবর্তী পদ $= 81 \times 3 = 243 = 3^5$।

ব্যাখ্যা: অপশনের মধ্যে কেবল $243$ ই $3$ এর ঘাত ($3^5$)।

উত্তর: খ) 243

6. $\sec A + \tan A = \dfrac{5}{2}$ হলে $\sec A - \tan A =$ ?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{1}{5}$     গ) $\dfrac{2}{5}$     ঘ) $\dfrac{5}{2}$

সমাধান:

আমরা জানি, $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$, অর্থাৎ $(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$।

$\dfrac{5}{2} \times (\sec A - \tan A) = 1$

তাই $\sec A - \tan A = \dfrac{2}{5}$।

ব্যাখ্যা: নিয়ম: দুটি রাশির গুণফল $1$ হলে একটি অপরটির অন্যোন্যক।

উত্তর: গ) $\dfrac{2}{5}$

7. বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 4     খ) 8     গ) 12     ঘ) 16

সমাধান:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ (বা ব্যাস) এর বর্গের সমানুপাতিক।

ব্যাস $4$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল $4^2 = 16$ গুণ হবে।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $d = 2$ হলে ক্ষেত্রফল $\pi$; $d = 8$ হলে ক্ষেত্রফল $16\pi$ ($16$ গুণ) ✓।

উত্তর: ঘ) 16

8. $P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{2}{3}$; $A$ ও $B$ স্বাধীন হলে $P\left(\dfrac{B}{A}\right) =$ কত?

ক) $\dfrac{3}{4}$     খ) $\dfrac{2}{3}$     গ) $\dfrac{1}{3}$     ঘ) $\dfrac{1}{4}$

সমাধান:

$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$।

$A$ ও $B$ স্বাধীন হলে $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}$।

$P(B|A) = \dfrac{2/9}{1/3} = \dfrac{2}{9} \times 3 = \dfrac{2}{3}$।

ব্যাখ্যা: স্বাধীন ঘটনায় $A$ ঘটার শর্তে $B$ এর সম্ভাবনা বদলায় না: $P(B|A) = P(B) = \dfrac{2}{3}$।

উত্তর: খ) $\dfrac{2}{3}$

9. $5 + 8 + 11 + 14 + \cdots$ ধারাটির কত তম পদ $302$?

ক) ৬০ তম পদ     খ) ৭০ তম পদ     গ) ৯০ তম পদ     ঘ) ১০০ তম পদ

সমাধান:

ধারাটি সমান্তর, প্রথম পদ $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 8 - 5 = 3$।

$n$ তম পদ $= a + (n - 1)d = 302$ বা, $5 + 3(n - 1) = 302$।

$3(n - 1) = 297$ বা, $n - 1 = 99$, অতএব $n = 100$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $100$ তম পদ $= 5 + 99 \times 3 = 302$ ✓।

উত্তর: ঘ) ১০০ তম পদ

10. $1$ থেকে $49$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক) 25     খ) 30     গ) 35     ঘ) 49

সমাধান:

$1$ থেকে $n$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n + 1)}{2}$।

$n = 49$ হলে যোগফল $= \dfrac{49 \times 50}{2} = 1225$।

গড় $= \dfrac{1225}{49} = 25$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $1$ থেকে $n$ এর গড় $= \dfrac{n + 1}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$।

উত্তর: ক) 25

11. এক ব্যক্তি ব্যাংকে $510$ টাকা চেক দিয়ে $20$ টাকার এবং $50$ টাকার নোট প্রদানের জন্য অনুরোধ করলেন। কত প্রকারে তার অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব?

ক) ৩ প্রকারে     খ) ৮ প্রকারে     গ) ৬ প্রকারে     ঘ) ৫ প্রকারে

সমাধান:

$20$ টাকার নোট $a$ টি এবং $50$ টাকার নোট $b$ টি হলে $20a + 50b = 510$, সরল করে $2a + 5b = 51$।

ডান পক্ষ বিজোড়, $2a$ জোড়; তাই $5b$ বিজোড় হতে হবে, অর্থাৎ $b$ বিজোড় এবং $5b \le 51$ অর্থাৎ $b \le 10$।

$b = 1, 3, 5, 7, 9$ এর জন্য $a = 23, 18, 13, 8, 3$ (সবই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা)।

মোট $5$ টি সমাধান।

ব্যাখ্যা: একটি $b$ বাড়লে $a$ কমে $\dfrac{5}{2}$; তাই $b$ কে $2$ করে বাড়াতে হয় ($b$ এ $2$, $a$ তে $5$ কমে)।

উত্তর: ঘ) ৫ প্রকারে

12. $\log_x \dfrac{1}{9} = -2$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) 3     খ) 2     গ) $\dfrac{1}{3}$     ঘ) $-\dfrac{1}{9}$

সমাধান:

লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x^{-2} = \dfrac{1}{9}$।

$\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{9}$ বা, $x^2 = 9$, তাই $x = \pm 3$।

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই $x = 3$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ ✓।

উত্তর: ক) 3

13. $x^2 - 3x - 10 > 0$ অসমতার সমাধান কত?

ক) $(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$     খ) $(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$     গ) $(\infty, 2) \cup (5, +\infty)$     ঘ) $(-5, -\infty) \cup (\infty, 2)$

সমাধান:

উৎপাদকে ভাঙি: $x^2 - 5x + 2x - 10 = (x - 5)(x + 2)$।

$(x - 5)(x + 2) > 0$ হবে যখন দুটি উৎপাদক একই চিহ্নের, অর্থাৎ $x > 5$ অথবা $x < -2$।

সমাধান: $(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$।

ব্যাখ্যা: পরীক্ষা: $x = 0$ এ $-10 < 0$ (মাঝের অংশ বাদ); $x = 6$ এ $36 - 18 - 10 = 8 > 0$ ✓।

উত্তর: খ) $(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)$

14. $30$ কি.মি. পথ পাড়ি দিতে জয়নুল রনির থেকে $2$ ঘন্টা সময় বেশি লেগেছে। জয়নুল যদি তার গতি দ্বিগুণ করত তাহলে রনির থেকে $1$ ঘন্টা সময় কম লাগত। জয়নুলের গতি কত ছিল?

ক) 4 কি.মি./ঘন্টা     খ) 5 কি.মি./ঘন্টা     গ) 6 কি.মি./ঘন্টা     ঘ) 7.5 কি.মি./ঘন্টা

সমাধান:

জয়নুলের গতি $x$ এবং রনির গতি $y$ কি.মি./ঘন্টা ধরি।

১ম শর্ত: $\dfrac{30}{x} - \dfrac{30}{y} = 2$ ... (i)

২য় শর্ত: গতি দ্বিগুণ হলে $\dfrac{30}{2x} - \dfrac{30}{y} = -1$, অর্থাৎ $\dfrac{15}{x} - \dfrac{30}{y} = -1$ ... (ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে: $\dfrac{15}{x} = 3$, তাই $x = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: (i) এ $x = 5$ বসালে $6 - \dfrac{30}{y} = 2$ বা, $y = 7.5$; (ii) এ $3 - 4 = -1$ ✓।

উত্তর: খ) 5 কি.মি./ঘন্টা