41st BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$20^2 = 400 \le 440$ এবং $21^2 = 441 > 440$, তাই $1$ থেকে $440$ এর মধ্যে বর্গসংখ্যা আছে $20$ টি।

মোট ঘটনা $= 440$, অনুকূল ঘটনা $= 20$।

সম্ভাবনা $= \dfrac{20}{440} = \dfrac{1}{22}$।

ব্যাখ্যা: বর্গসংখ্যার সংখ্যা বের করতে সীমার বর্গমূলের পূর্ণ অংশ দেখুন: $\sqrt{440} \approx 20.97$, অর্থাৎ $20$ টি।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{22}$

2. $0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \cdots$ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক) $\dfrac{4}{33}$     খ) $\dfrac{4}{99}$     গ) $\dfrac{112}{99}$     ঘ) $\dfrac{14}{99}$

সমাধান:

ধারাটি গুণোত্তর, প্রথম পদ $a = 0.12$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{0.0012}{0.12} = 0.01$।

অসীম পদের যোগফল $= \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{0.12}{1 - 0.01} = \dfrac{0.12}{0.99}$।

$= \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$।

ব্যাখ্যা: এটি আসলে $0.\dot{1}\dot{2}$ (আবৃত্ত দশমিক) এর মান; $\dfrac{12}{99}$ সরল করলে $\dfrac{4}{33}$।

উত্তর: ক) $\dfrac{4}{33}$

3. $\sqrt{-8} \times \sqrt{-2}$ কত?

ক) $4$     খ) $4i$     গ) $-4$     ঘ) $-4i$

সমাধান:

$\sqrt{-8} = i\sqrt{8}$ এবং $\sqrt{-2} = i\sqrt{2}$, যেখানে $i = \sqrt{-1}$।

গুণফল $= i^2 \sqrt{8 \times 2} = i^2 \sqrt{16} = (-1) \times 4 = -4$।

ব্যাখ্যা: সতর্কতা: $\sqrt{(-8)(-2)} = \sqrt{16}$ লিখে $4$ বলা ভুল, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ খাটে না।

উত্তর: গ) $-4$

4. $|x - 2| < 3$ হলে $m$ এবং $n$ এর কোন মানের জন্য $m < 3x + 5 < n$ হবে?

ক) $m = 1, n = 10$     খ) $m = 2, n = 20$     গ) $m = 3, n = 30$     ঘ) $m = 4, n = 40$

সমাধান:

$|x - 2| < 3$ থেকে $-3 < x - 2 < 3$, অর্থাৎ $-1 < x < 5$।

$3$ দিয়ে গুণ করে: $-3 < 3x < 15$।

$5$ যোগ করে: $2 < 3x + 5 < 20$।

অতএব $m = 2$ এবং $n = 20$।

ব্যাখ্যা: প্রান্ত মান বসিয়ে যাচাই: $x = -1$ এ $3x + 5 = 2$; $x = 5$ এ $3x + 5 = 20$ ✓।

উত্তর: খ) $m = 2, n = 20$

5. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $5\%$ বৃদ্ধি করলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?

ক) $5\%$     খ) $10\%$     গ) $20\%$     ঘ) $25\%$

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $100$ ও প্রস্থ $1$ ধরলে ক্ষেত্রফল $= 100$।

নতুন দৈর্ঘ্য $= 105$, প্রস্থ অপরিবর্তিত ($1$), তাই নতুন ক্ষেত্রফল $= 105$।

বৃদ্ধি $= 105 - 100 = 5$, অর্থাৎ $5\%$।

ব্যাখ্যা: এক রাশি স্থির রেখে অন্যটি $x\%$ বাড়ালে ক্ষেত্রফলও ঠিক $x\%$ বাড়ে।

উত্তর: ক) $5\%$

6. চিনির মূল্য $10\%$ কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

ক) $8\%$     খ) $8\dfrac{1}{3}\%$     গ) $10\%$     ঘ) $11\dfrac{1}{9}\%$

সমাধান:

আগে দাম $100$ টাকা ধরলে নতুন দাম $= 90$ টাকা।

খরচ একই রাখতে $90$ টাকার জায়গায় $100$ টাকা খরচ করতে হবে, অর্থাৎ $10$ টাকা বেশি।

বৃদ্ধি $= \dfrac{10}{90} \times 100\% = 11\dfrac{1}{9}\%$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: দাম $x\%$ কমলে ব্যবহার বাড়াতে হয় $\dfrac{x}{100 - x} \times 100\%$; এখানে $\dfrac{10}{90} \times 100 = 11\dfrac{1}{9}$।

উত্তর: ঘ) $11\dfrac{1}{9}\%$

7. $6$ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক) $21\sqrt{3}$ বর্গ সেমি     খ) $23\sqrt{2}$ বর্গ সেমি     গ) $25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি     ঘ) $27\sqrt{3}$ বর্গ সেমি

সমাধান:

বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a = \sqrt{3}\, r = 6\sqrt{3}$ সেমি।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 108$

$= 27\sqrt{3}$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: সরাসরি সূত্র: ক্ষেত্রফল $= \dfrac{3\sqrt{3}}{4} r^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \times 36 = 27\sqrt{3}$।

উত্তর: ঘ) $27\sqrt{3}$ বর্গ সেমি

8. $\triangle ABC$ এর $\angle A = 40°$ এবং $\angle B = 80°$। $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক $AB$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করলে $\angle CDA =$ ?

ক) $110°$     খ) $100°$     গ) $90°$     ঘ) $80°$

সমাধান:

$\angle C = 180° - (40° + 80°) = 60°$।

সমদ্বিখণ্ডক $\angle C$ কে ভাগ করে, তাই $\angle ACD = 30°$।

$\triangle ACD$ এ $\angle CDA = 180° - (\angle A + \angle ACD) = 180° - (40° + 30°) = 110°$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\triangle BCD$ এ $\angle CDB = 180° - (80° + 30°) = 70°$ এবং $110° + 70° = 180°$ ✓।

উত্তর: ক) $110°$

9. $5$ জন পুরুষ ও $4$ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

ক) 10     খ) 15     গ) 25     ঘ) 30

সমাধান:

$5$ জন পুরুষ থেকে $1$ জন: ${}^5C_1 = 5$ উপায়।

$4$ জন মহিলা থেকে $2$ জন: ${}^4C_2 = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ উপায়।

কমিটি গঠনের মোট উপায় $= 5 \times 6 = 30$।

ব্যাখ্যা: আলাদা আলাদা নির্বাচন একসাথে করতে হলে উপায়গুলো গুণ করতে হয় (গুণন নীতি)।

উত্তর: ঘ) 30

10. $x + 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} = 0$ হলে $x^3 + 6$ এর মান কত?

ক) $4x$     খ) $6x$     গ) 4     ঘ) 8

সমাধান:

ধরি $a = 2^{\frac{1}{3}}$, তাহলে $a^3 = 2$ এবং $a^2 = 2^{\frac{2}{3}}$। শর্ত থেকে $x = -(a + a^2)$।

ঘন করে: $x^3 = -(a + a^2)^3 = -\{a^3 + a^6 + 3a^3(a + a^2)\}$।

মান বসিয়ে: $a^3 = 2$, $a^6 = 4$ এবং $a + a^2 = -x$, তাই $x^3 = -\{2 + 4 + 6(-x)\} = -6 + 6x$।

অতএব $x^3 + 6 = 6x$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ সূত্রে $a$ ও $a^2$ বসিয়েছি, যেখানে $a \cdot a^2 = a^3 = 2$।

উত্তর: খ) $6x$

11. $5^x + 8 \cdot 5^x + 16 \cdot 5^x = 1$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $-3$     খ) $-2$     গ) $-1$     ঘ) $\dfrac{1}{2}$

সমাধান:

বাম পক্ষে $5^x$ সাধারণ নিয়ে: $5^x(1 + 8 + 16) = 1$ বা, $25 \cdot 5^x = 1$।

$5^2 \cdot 5^x = 1$ বা, $5^{2 + x} = 5^0$।

সূচক সমান করে $2 + x = 0$, তাই $x = -2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = -2$ হলে $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ এবং $25 \times \dfrac{1}{25} = 1$ ✓।

উত্তর: খ) $-2$

12. $\dfrac{5}{12}, \dfrac{6}{13}, \dfrac{11}{24}$ এবং $\dfrac{3}{8}$ এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-

ক) $\dfrac{5}{12}$     খ) $\dfrac{6}{13}$     গ) $\dfrac{11}{24}$     ঘ) $\dfrac{3}{8}$

সমাধান:

দশমিক মান: $\dfrac{5}{12} \approx 0.4167$; $\dfrac{6}{13} \approx 0.4615$; $\dfrac{11}{24} \approx 0.4583$; $\dfrac{3}{8} = 0.375$।

সবচেয়ে বড় $0.4615 = \dfrac{6}{13}$।

ব্যাখ্যা: আড়গুণন যাচাই: $\dfrac{6}{13}$ বনাম $\dfrac{11}{24}$: $6 \times 24 = 144 > 11 \times 13 = 143$, তাই $\dfrac{6}{13}$ বড়।

উত্তর: খ) $\dfrac{6}{13}$

13. $a + b = 7$ এবং $ab = 12$ হলে $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{3}{25}$     খ) $\dfrac{25}{144}$     গ) $\dfrac{31}{144}$     ঘ) $\dfrac{11}{9}$

সমাধান:

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{(ab)^2}$।

মান বসিয়ে: $\dfrac{49 - 24}{144} = \dfrac{25}{144}$।

ব্যাখ্যা: দ্রুত পথ: $ab = 12$ এ $a, b = 4, 3$ (যোগফল $7$); তাই $\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{25}{144}$।

উত্তর: খ) $\dfrac{25}{144}$

14. বার্ষিক $10\%$ মুনাফায় $800$ টাকার $2$ বছরের চক্রবৃদ্ধির মূলধন কত?

ক) 940 টাকা     খ) 960 টাকা     গ) 968 টাকা     ঘ) 980 টাকা

সমাধান:

১ম বছরের সুদ $= 800 \times \dfrac{10}{100} = 80$ টাকা; ১ম বছর শেষে মূলধন $= 880$ টাকা।

২য় বছরের সুদ $= 880 \times \dfrac{10}{100} = 88$ টাকা।

২ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন $= 880 + 88 = 968$ টাকা।

ব্যাখ্যা: সূত্রে: $800 \left(1 + \dfrac{10}{100}\right)^2 = 800 \times \dfrac{121}{100} = 968$।

উত্তর: গ) 968 টাকা

15. $\log_2 \log_{\sqrt{e}} e^2 =$ ?

ক) $-2$     খ) $-1$     গ) $1$     ঘ) $2$

সমাধান:

ভেতরের লগ: $\log_{\sqrt{e}} e^2 = \dfrac{\ln e^2}{\ln \sqrt{e}} = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4$।

তাহলে $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $e^2 = (\sqrt{e})^4$, তাই $\log_{\sqrt{e}} e^2 = 4$।

উত্তর: ঘ) $2$

16. নিচের কোনটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যা?

ক) $\dfrac{18}{36}$     খ) $\dfrac{5}{3}$     গ) $\dfrac{16}{31}$     ঘ) $\dfrac{4}{12}$

সমাধান:

প্রতিটির মান সরল করি: $\dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2} = 0.5$; $\dfrac{5}{3} \approx 1.67$; $\dfrac{16}{31} \approx 0.516$; $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0.33$।

তুলনা: $0.33 < 0.5 < 0.516 < 1.67$, তাই সবচেয়ে ছোট $\dfrac{4}{12}$।

ব্যাখ্যা: আড়গুণনেও যাচাই: $\dfrac{4}{12}$ বনাম $\dfrac{18}{36}$: $4 \times 36 = 144 < 18 \times 12 = 216$, তাই $\dfrac{4}{12}$ ছোট।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{4}{12}$

17. $0.1 \times 3.33 \times 7.1 =$ ?

ক) 7.15     খ) 5.18     গ) 2.36     ঘ) 1.98

সমাধান:

$0.1 \times 3.33 = 0.333$।

$0.333 \times 7.1 = 2.3643 \approx 2.36$।

ব্যাখ্যা: আনুমানিক হিসাব: $3.33 \times 7.1 \approx 23.6$ এবং $\dfrac{1}{10}$ গুণ করলে $2.36$।

উত্তর: গ) 2.36

18. একজন ব্যক্তির বেতন $5\%$ কমেছে। কিন্তু এক বছর পর তা আবার $5\%$ বেড়েছে। মোটের উপর তার বেতন শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পেয়েছে?

ক) 0.5% বেড়েছে     খ) 0.25% বেড়েছে     গ) 0.25% কমেছে     ঘ) 0.5% কমেছে

সমাধান:

মূল বেতন $100$ টাকা ধরি। $5\%$ কমলে $= 95$ টাকা।

এরপর $5\%$ বাড়লে $= 95 \times 1.05 = 99.75$ টাকা।

মোটের উপর হ্রাস $= 100 - 99.75 = 0.25$ টাকা, অর্থাৎ $0.25\%$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: সমান $x\%$ কমা ও বাড়ায় নিট হ্রাস $= \dfrac{x^2}{100}\%$; এখানে $\dfrac{25}{100} = 0.25\%$।

উত্তর: গ) 0.25% কমেছে

19. $100$ থেকে $200$ এর মধ্যে $3$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

ক) 31     খ) 32     গ) 33     ঘ) 34

সমাধান:

$100$ এর পর $3$ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম সংখ্যা $102$ এবং $200$ এর আগে শেষ সংখ্যা $198$।

সংখ্যাগুলো সমান্তর ধারা: $102, 105, \ldots, 198$ (সাধারণ অন্তর $3$)।

সংখ্যা $= \dfrac{198 - 102}{3} + 1 = 32 + 1 = 33$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\left\lfloor \dfrac{200}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{100}{3} \right\rfloor = 66 - 33 = 33$।

উত্তর: গ) 33