40th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

লক্ষ করি, প্রতিটি ভাজকের সাথে অবশিষ্টের পার্থক্য সমান: $3 - 1 = 2$, $4 - 2 = 2$, $5 - 3 = 2$, $6 - 4 = 2$।

অতএব সংখ্যাটি $3, 4, 5, 6$ এর যেকোনো সাধারণ গুণিতক থেকে $2$ কম।

$3, 4, 5, 6$ এর ল.সা.গু. $= 60$।

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $= 60 - 2 = 58$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $58 \div 3$ এ ভাগশেষ $1$; $58 \div 4$ এ $2$; $58 \div 5$ এ $3$; $58 \div 6$ এ $4$ ✓।

উত্তর: গ) 58

2. পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত $4 : 3$। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত $5 : 4$। পনিরের আয় $120$ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?

ক) 36 টাকা     খ) 12 টাকা     গ) 72 টাকা     ঘ) 84 টাকা

সমাধান:

পনির : তপন $= 4 : 3 = 20 : 15$ (৫ দিয়ে গুণ করে)।

তপন : রবিন $= 5 : 4 = 15 : 12$ (৩ দিয়ে গুণ করে)।

তাহলে পনির : তপন : রবিন $= 20 : 15 : 12$।

পনিরের আয় $20x = 120$ বা, $x = 6$।

রবিনের আয় $= 12x = 12 \times 6 = 72$ টাকা।

ব্যাখ্যা: মাঝের জনের (তপন) অংশ সমান করে নিলে তিনজনের অনুপাত একসাথে পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) 72 টাকা

3. $850$ টাকা বার্ষিক $6\%$ সরল সুদে কত বছরে সুদে-আসলে $1258$ টাকা হবে?

ক) ৩ বছরে     খ) ৮ বছরে     গ) ৫ বছরে     ঘ) ৬ বছরে

সমাধান:

সুদ $= 1258 - 850 = 408$ টাকা।

সরল সুদ $= \dfrac{P \times r \times n}{100}$, তাই $408 = \dfrac{850 \times 6 \times n}{100} = 51n$।

$n = \dfrac{408}{51} = 8$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $8$ বছরে সুদ $= 850 \times 0.06 \times 8 = 408$ এবং আসল $850 + 408 = 1258$ ✓।

উত্তর: খ) ৮ বছরে

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের প্রশ্নে সুদে-আসল $558$ টাকা ছাপা আছে, যা মূলধন $850$ টাকার চেয়েও কম, ফলে সম্ভব নয়। বইয়ের নিজের সমাধানের ধাপ ($\dfrac{1258 \times 100}{850} = 148$) থেকে বোঝা যায় সংখ্যাটি আসলে $1258$ টাকা। এই মান ধরলেই উত্তর $8$ বছর আসে, যা বইয়ের উত্তরমালার সাথে মেলে।

4. একটি মটরসাইকেল $12\%$ ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি বিক্রয়মূল্য $1200$ টাকা বেশি হতো তাহলে $8\%$ লাভ হতো। মটর সাইকেলের ক্রয়মূল্য কত?

ক) 6000 টাকা     খ) 5000 টাকা     গ) 8000 টাকা     ঘ) 8000 টাকা

সমাধান:

ক্রয়মূল্য $100$ টাকা ধরি। $12\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 88$ টাকা।

$8\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য $= 108$ টাকা।

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য $= 108 - 88 = 20$ টাকা।

পার্থক্য $20$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $100$ টাকা; তাহলে পার্থক্য $1200$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $= \dfrac{100 \times 1200}{20} = 6000$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $6000$ এর $88\% = 5280$ এবং $108\% = 6480$; পার্থক্য $= 1200$ ✓।

উত্তর: ক) 6000 টাকা

5. $\dfrac{(0.9)^3 + (0.4)^3}{0.9 + 0.4}$ এর মান কত?

ক) 0.36     খ) 0.51     গ) 0.81     ঘ) 0.61

সমাধান:

সূত্র: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$। এখানে $a = 0.9$, $b = 0.4$।

তাই $\dfrac{a^3 + b^3}{a + b} = a^2 - ab + b^2$।

$= (0.9)^2 - 0.9 \times 0.4 + (0.4)^2 = 0.81 - 0.36 + 0.16 = 0.61$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $0.729 + 0.064 = 0.793$ এবং $0.793 \div 1.3 = 0.61$ ✓।

উত্তর: ঘ) 0.61

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে সংখ্যাগুলোর অঙ্ক অস্পষ্ট। বইয়ের নিজের সমাধানে $0.81 - 0.36 + 0.16 = 0.61$ ব্যবহার করা হয়েছে, অর্থাৎ সংখ্যা দুটি $0.9$ ও $0.4$; আমরা সেই অনুযায়ী সমাধান করেছি।

6. $3x - 2 > 2x - 1$ এর সমাধান সেট কোনটি?

ক) $(1, \infty)$     খ) $[1, \infty)$     গ) $\left(\dfrac{1}{2}, \infty\right)$     ঘ) $(-1, \infty)$

সমাধান:

$3x - 2 > 2x - 1$

বা, $3x - 2x > 2 - 1$

বা, $x > 1$

অতএব সমাধান সেট $= (1, \infty)$, অর্থাৎ $1$ এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা।

ব্যাখ্যা: কঠোর অসমতা ($>$) এ $x = 1$ ধরা হয় না, তাই সীমা বন্ধনী $($ $)$ ব্যবহার করতে হয়।

উত্তর: ক) $(1, \infty)$

7. $6x^2 - 7x - 4 = 0$ সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক) বাস্তব ও সমান     খ) বাস্তব ও অসমান     গ) অবাস্তব     ঘ) পূর্ণ বর্গসংখ্যা

সমাধান:

$ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে $a = 6$, $b = -7$, $c = -4$।

নিশ্চায়ক $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 6 \times (-4) = 49 + 96 = 145$।

$145 > 0$, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

$145$ পূর্ণবর্গ নয়, তাই মূল দুটি অমূলদও।

ব্যাখ্যা: নিয়ম: নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে বাস্তব ও অসমান; শূন্য হলে বাস্তব ও সমান; ঋণাত্মক হলে অবাস্তব।

উত্তর: খ) বাস্তব ও অসমান

8. যদি $x^4 - x^2 + 1 = 0$ হয়, তবে $x^3 + \dfrac{1}{x^3} =$ ?

ক) 3     খ) 2     গ) 1     ঘ) 0

সমাধান:

$x^4 - x^2 + 1 = 0$ কে $x^2$ দিয়ে ভাগ করি: $x^2 - 1 + \dfrac{1}{x^2} = 0$, অর্থাৎ $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 1$।

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 = 1 + 2 = 3$, তাই $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}$।

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$।

ব্যাখ্যা: সংক্ষেপে: $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}$ এবং $x^2 - 1 + \dfrac{1}{x^2} = 0$ থেকে $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 - 1 + \dfrac{1}{x^2}\right) = 0$।

উত্তর: ঘ) 0

9. $\log_a 1 =$ ? কোন শর্তে এটি সংজ্ঞায়িত?

ক) $a > 0, a \ne 1$     খ) $a \ne 0, a > 1$     গ) $a > 0, a = 1$     ঘ) $a \ne 1, a < 0$

সমাধান:

লগারিদমের ভিত্তি $a$ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং $a \ne 1$ হতে হবে।

এই শর্তে $\log_a 1 = 0$ (কারণ $a^0 = 1$)।

ব্যাখ্যা: ভিত্তি $1$ হলে সব ঘাতেই ফল $1$ আসে, তাই লগারিদম অর্থপূর্ণ হয় না; ভিত্তি ঋণাত্মক হলেও ভগ্নাংশ ঘাতে মান বাস্তব থাকে না।

উত্তর: ক) $a > 0, a \ne 1$

10. চিত্রে $\angle PQR = 55°$, $\angle LRN = 90°$ এবং $PQ \parallel MR$, $PQ = PR$ হলে $\angle NRP$ এর মান নিচের কোনটি? ($Q, R, L$ একই সরলরেখায়)

ক) $90°$     খ) $55°$     গ) $45°$     ঘ) $35°$

সমাধান:

$PQ = PR$ হওয়ায় $\triangle PQR$ সমদ্বিবাহু, তাই $\angle PRQ = \angle PQR = 55°$।

$Q, R, L$ সরলরেখায় এবং $\angle LRN = 90°$, তাই $\angle QRN = 90°$।

$\angle NRP = \angle QRN - \angle PRQ = 90° - 55° = 35°$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প পথ: $PQ \parallel MR$ হওয়ায় $\angle MRL = 55°$, তাই $\angle NRM = 90° - 55° = 35°$; একই মান আসে।

উত্তর: ঘ) $35°$

11. $P = \{x : x$, $12$ এর গুণনীয়ক$\}$ এবং $Q = \{x : x$, $3$ এর গুণিতক এবং $x \le 12\}$ হলে, $P - Q$ কত?

ক) $\{1, 2, 4\}$     খ) $\{1, 3, 4\}$     গ) $\{1, 3, 6\}$     ঘ) $\{1, 2, 6\}$

সমাধান:

$12$ এর গুণনীয়ক: $P = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$।

$3$ এর গুণিতক যা $12$ এর বেশি নয়: $Q = \{3, 6, 9, 12\}$।

$P - Q$ = $P$ এর সেই উপাদান যা $Q$ তে নেই $= \{1, 2, 4\}$।

ব্যাখ্যা: $3, 6, 12$ তিনটিই $Q$ তে আছে, তাই $P$ থেকে বাদ যায়।

উত্তর: ক) $\{1, 2, 4\}$

12. $\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

ক) $-1$     খ) $1$     গ) $\dfrac{1}{2}$     ঘ) $0$

সমাধান:

চতুর্থ পদের জন্য $n = 4$ বসাই।

$\cos\left(\dfrac{4\pi}{2}\right) = \cos 2\pi = \cos 360° = 1$।

ব্যাখ্যা: পদগুলো: $n = 1, 2, 3, 4$ এ যথাক্রমে $0, -1, 0, 1$।

উত্তর: খ) $1$

13. ৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?

ক) 10     খ) 20     গ) 60     ঘ) 120

সমাধান:

প্রতিটি দলে $3$ জন করে থাকবে। $6$ জন থেকে $3$ জন বাছাই করার উপায় $= {}^6C_3 = 20$।

কিন্তু একটি দল বাছাই করলে বাকি $3$ জন স্বয়ংক্রিয়ভাবে অন্য দলে যায়; আর দল দুটির কোনো আলাদা নাম নেই, তাই প্রতিটি ভাগ দুইবার গণনা হয়েছে।

অতএব উপায় $= \dfrac{20}{2} = 10$ হওয়ার কথা, যদি দল দুটিকে নামহীন (অক্রমিক) ধরা হয়।

আর দল দুটিকে আলাদা (যেমন "ক-দল" ও "খ-দল") ধরলে $20$ উপায় হয়।

ব্যাখ্যা: বইয়ের সমাধানে $\dfrac{6!}{(3!)^2} = 20$ ধরা হয়েছে এবং উত্তরমালায় (খ) $20$ দেওয়া আছে।

উত্তর: খ) 20 (বইয়ের উত্তর অনুযায়ী)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: দল দুটি অভিন্ন (নামহীন) হলে গাণিতিকভাবে উত্তর হতো $10$। বই ও উত্তরমালা দলগুলোকে আলাদা ধরে $20$ নিয়েছে; পরীক্ষায় উত্তরমালার মান (খ) ধরাই নিরাপদ।

14. $0.1 \times 0.01 \times 0.001 =$ ?

ক) 1.0001     খ) 0.10001     গ) 0.00001     ঘ) 0.000001

সমাধান:

$0.1 = \dfrac{1}{10}$, $0.01 = \dfrac{1}{100}$, $0.001 = \dfrac{1}{1000}$।

গুণফল $= \dfrac{1}{10 \times 100 \times 1000} = \dfrac{1}{1000000} = 0.000001$।

ব্যাখ্যা: দশমিকের পরের ঘর যোগ করুন: $1 + 2 + 3 = 6$ ঘর, শেষে $1$।

উত্তর: ঘ) 0.000001

15. যদি চ $\times G = 82$ হয়, তবে $J \times$ ট $=$ ?

ক) 120     খ) 92     গ) 115     ঘ) 110

সমাধান:

চ হলো বাংলা ব্যঞ্জনবর্ণের ৬ষ্ঠ বর্ণ এবং $G$ ইংরেজি বর্ণমালার ৭ম বর্ণ, তাই চ $\times$ $G = 6 \times 7 = 42$।

$J$ ইংরেজি বর্ণমালার ১০ম এবং ট বাংলা ব্যঞ্জনবর্ণের ১১তম বর্ণ।

$J \times$ ট $= 10 \times 11 = 110$।

ব্যাখ্যা: বাংলা ব্যঞ্জনবর্ণের ক্রম: ক ১, খ ২, গ ৩, ঘ ৪, ঙ ৫, চ ৬, ছ ৭, জ ৮, ঝ ৯, ঞ ১০, ট ১১।

উত্তর: ঘ) 110

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে $82$ ছাপা আছে, কিন্তু $6 \times 7 = 42$ হওয়ায় সংখ্যাটি $42$ হওয়ার কথা। উত্তর $110$ ই থাকে এবং বইয়ের উত্তরমালায় এটিকে "নোট" হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে।