39th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $x$ হলে, সংখ্যা দুটি $7x$ ও $5x$।

$7$ ও $5$ সহমৌলিক, তাই ল.সা.গু. $= 7x \times 5x \div x = 35x$।

$35x = 140$ বা, $x = \dfrac{140}{35} = 4$।

অতএব গ.সা.গু. $= 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $28$ ও $20$; গ.সা.গু. $4$ এবং ল.সা.গু. $= \dfrac{28 \times 20}{4} = 140$ ✓।

উত্তর: ক) 4

2. $C = \{x : x$ ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^2 < 18\}$, $C$ সেটের উপাদান গুলো হবে?

ক) $1, 2, 3, 5$     খ) $1, 3, 5, 7$     গ) $2, 4, 6, 8$     ঘ) $1, 2, 3, 4$

সমাধান:

$x^2 < 18$ হলে $|x| \le 4$ (কারণ $4^2 = 16 < 18$ কিন্তু $5^2 = 25 > 18$)।

ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ধরলে উপাদানগুলো $-1, -2, -3, -4$।

অপশনগুলোতে সবই ধনাত্মক সংখ্যা; পরিমাণের (মানের) দিক থেকে $1, 2, 3, 4$ ই সবচেয়ে কাছের।

ব্যাখ্যা: $x^2 < 18$ এ $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ সবই মেলে; ঋণাত্মক শর্তে শুধু ঋণাত্মক মানগুলো থাকে।

উত্তর: ঘ) $1, 2, 3, 4$ (অপশনের মধ্যে নিকটতম)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে "ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা" লেখা থাকলেও অপশনের সবগুলো সংখ্যা ধনাত্মক। প্রশ্নটি "ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা" হলে সেটটি হতো $\{1, 2, 3, 4\}$, যা (ঘ) এর সাথে মেলে এবং বইয়ের উত্তর-তালিকাতেও (ঘ) দেওয়া আছে।

3. যদি $9 \times 7 = 3545$ হয়, $4 \times 3 = 1520$ হয়, তবে $6 \times 8 =$ ?

ক) 4030     খ) 6050     গ) 3040     ঘ) 5040

সমাধান:

প্যাটার্ন খুঁজি: $9 \times 7 \to 3545$। এখানে $7 \times 5 = 35$ এবং $9 \times 5 = 45$, অর্থাৎ পরের সংখ্যাকে $5$ দিয়ে গুণ করে আগে এবং আগের সংখ্যাকে $5$ দিয়ে গুণ করে পরে বসানো হয়েছে।

যাচাই: $4 \times 3 \to 3 \times 5 = 15$ এবং $4 \times 5 = 20$, ফল $1520$ ✓।

$6 \times 8 \to 8 \times 5 = 40$ এবং $6 \times 5 = 30$, ফল $4030$।

ব্যাখ্যা: প্যাটার্ন-ভিত্তিক প্রশ্নে প্রথমে দেওয়া দুটি উদাহরণ দিয়ে নিয়ম যাচাই করে নিতে হয়।

উত্তর: ক) 4030

4. $|1 - 2x| < 1$ হলে এর সমাধান কত?

ক) $-2 < x < 1$     খ) $-1 < x < 0$     গ) $0 < x < 1$     ঘ) $-1 < x < 1$

সমাধান:

$|1 - 2x| < 1$ মানে $-1 < 1 - 2x < 1$।

সব পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে: $-2 < -2x < 0$।

$-2$ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়: $1 > x > 0$, অর্থাৎ $0 < x < 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = \dfrac{1}{2}$ হলে $|1 - 1| = 0 < 1$ ✓; $x = 2$ হলে $|1 - 4| = 3$ যা $1$ এর চেয়ে বড়, তাই বাইরে ✓।

উত্তর: গ) $0 < x < 1$

5. ঘড়িতে যখন ৮ টা বাজে তখন ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোনটি কত ডিগ্রী?

ক) $90°$     খ) $95°$     গ) $105°$     ঘ) $110°$

সমাধান:

ঘড়িতে $12$ টি ঘর, প্রতি ঘরে $30°$।

৮টায় মিনিটের কাঁটা $12$ এ এবং ঘন্টার কাঁটা $8$ এ থাকে, দুটির মাঝে $4$ ঘর।

কোণ $= 4 \times 30° = 120°$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: $\left|30H - \dfrac{11}{2}M\right| = |240 - 0| = 240°$, ছোট কোণ $= 360° - 240° = 120°$।

উত্তর: কোনো অপশনই সঠিক নয়; সঠিক উত্তর $120°$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর ($120°$) নেই। বইয়ের উত্তরমালাতেও এটিকে "নোট" হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে।

6. ${}^nC_{12} = {}^nC_6$ হলে $n$ এর মান কত?

ক) 12     খ) 14     গ) 16     ঘ) 18

সমাধান:

সূত্র: ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$। যদি ${}^nC_a = {}^nC_b$ এবং $a \ne b$ হয়, তবে $a + b = n$।

এখানে $a = 12$ ও $b = 6$, তাই $n = 12 + 6 = 18$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ${}^{18}C_{12} = {}^{18}C_{18-12} = {}^{18}C_6$ ✓।

উত্তর: ঘ) 18

7. $0.4 \times 0.02 \times 0.08 =$ ?

ক) 0.64000     খ) 0.6800     গ) 0.00064     ঘ) 0.80000

সমাধান:

দশমিক ছাড়া গুণ করি: $4 \times 2 \times 8 = 64$।

দশমিকের পরের মোট অঙ্ক সংখ্যা: $0.4$ তে $1$, $0.02$ তে $2$, $0.08$ তে $2$; মোট $5$ ঘর।

$64$ এর ডান থেকে $5$ ঘর পরে দশমিক বসিয়ে পাই $0.00064$।

ব্যাখ্যা: আনুমানিক যাচাই: $0.4 \times 0.02 = 0.008$ এবং $0.008 \times 0.08 = 0.00064$ ✓।

উত্তর: গ) 0.00064

8. একজন লোক $A$ অবস্থান থেকে হেঁটে ডানদিকে $10$ ফুট অতপর বামদিকে $20$ ফুট তারপর বামদিকে $20$ ফুট আর সর্বশেষ বামদিকে $20$ ফুট গিয়ে $B$ অবস্থানে পৌঁছাল। তাহলে $A$ ও $B$ এর মধ্যকার দূরত্ব কত ফুট?

ক) 10 ফুট     খ) 20 ফুট     গ) 30 ফুট     ঘ) 40 ফুট

সমাধান:

$A$ কে মূলবিন্দু ধরি। পূর্ব দিকে $10$ ফুট গিয়ে $(10, 0)$ বিন্দুতে পৌঁছায়।

বামে ঘুরে উত্তরে $20$ ফুট: $(10, 20)$; আবার বামে ঘুরে পশ্চিমে $20$ ফুট: $(-10, 20)$; আবার বামে ঘুরে দক্ষিণে $20$ ফুট: $(-10, 0)$।

$B = (-10, 0)$ এবং $A = (0, 0)$, তাই দূরত্ব $= 10$ ফুট।

ব্যাখ্যা: চারটি $20$ ফুটের বর্গাকার পথের মধ্যে তিন বাহু হাঁটা হয়েছে; শুরু ও শেষ বিন্দু একই সরলরেখায়, মাঝখানে $10$ ফুট ব্যবধান।

উত্তর: ক) 10 ফুট

9. যদি $2 \times 3 = 812$, $4 \times 5 = 1620$ হয় তবে $6 \times 7 =$ ?

ক) 42     খ) 1214     গ) 2420     ঘ) 2428

সমাধান:

প্যাটার্ন: $2 \times 3 \to 8$ ও $12$, যেখানে $2 \times 4 = 8$ এবং $3 \times 4 = 12$; দুই সংখ্যাকেই $4$ দিয়ে গুণ করে পাশাপাশি লেখা হয়েছে।

যাচাই: $4 \times 5 \to 4 \times 4 = 16$ এবং $5 \times 4 = 20$, ফল $1620$ ✓।

$6 \times 7 \to 6 \times 4 = 24$ এবং $7 \times 4 = 28$, ফল $2428$।

ব্যাখ্যা: প্রতিটি সংখ্যাকে ধ্রুবক $4$ দিয়ে গুণ করে ক্রমানুসারে বসানো হয়েছে।

উত্তর: ঘ) 2428

10. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

ক) 91     খ) 143     গ) 47     ঘ) 87

সমাধান:

$91 = 7 \times 13$ (মৌলিক নয়)।

$143 = 11 \times 13$ (মৌলিক নয়)।

$87 = 3 \times 29$ (মৌলিক নয়)।

$47$ কে $2, 3, 5$ কোনোটি দিয়েই নিঃশেষে ভাগ করা যায় না ($\sqrt{47} < 7$), তাই $47$ মৌলিক।

ব্যাখ্যা: $87$ এর অঙ্কযোগফল $15$ যা $3$ দিয়ে বিভাজ্য, তাই সহজেই বোঝা যায় এটি মৌলিক নয়।

উত্তর: গ) 47

11. নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

ক) $\dfrac{3}{5}$     খ) $\dfrac{5}{8}$     গ) $\dfrac{6}{11}$     ঘ) $\dfrac{8}{14}$

সমাধান:

দশমিক মান: $\dfrac{3}{5} = 0.6$; $\dfrac{5}{8} = 0.625$; $\dfrac{6}{11} \approx 0.545$; $\dfrac{8}{14} \approx 0.571$

তুলনা: $0.545 < 0.571 < 0.6 < 0.625$

ব্যাখ্যা: আড়গুণন দিয়ে: $\dfrac{5}{8}$ বনাম $\dfrac{3}{5}$: $5 \times 5 = 25 > 3 \times 8 = 24$, তাই $\dfrac{5}{8}$ বড়।

উত্তর: খ) $\dfrac{5}{8}$

12. বার্ষিক শতকরা $10\%$ হারে $1000$ টাকার $2$ বছর পর সরল ও চক্র বৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য কত?

ক) 11 টাকা     খ) 11.5 টাকা     গ) 12 টাকা     ঘ) 10 টাকা

সমাধান:

সরল সুদ $= 1000 \times \dfrac{10}{100} \times 2 = 200$ টাকা।

চক্রবৃদ্ধি সুদাসল $= 1000\left(1 + \dfrac{10}{100}\right)^2 = 1000 \times \dfrac{121}{100} = 1210$ টাকা, তাই চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $= 1210 - 1000 = 210$ টাকা।

পার্থক্য $= 210 - 200 = 10$ টাকা।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $2$ বছরে পার্থক্য $= P\left(\dfrac{r}{100}\right)^2 = 1000 \times \dfrac{1}{100} = 10$।

উত্তর: ঘ) 10 টাকা

13. একটি দ্রব্য $180$ টাকায় বিক্রি করায় $10\%$ ক্ষতি হলে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

ক) 162 টাকা     খ) 198 টাকা     গ) 200 টাকা     ঘ) 210 টাকা

সমাধান:

$10\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 100 - 10 = 90$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $100$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য $180$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $= \dfrac{100 \times 180}{90} = 200$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $200$ এর $10\% = 20$ ক্ষতি; $200 - 20 = 180$ ✓।

উত্তর: গ) 200 টাকা

14. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $18$ সেমি এবং প্রস্থ $10$ সেমি। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে $25$ সেমি করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক) 7 সেমি     খ) 7.1 সেমি     গ) 7.2 সেমি     ঘ) 7.3 সেমি

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 18 \times 10 = 180$ বর্গ সেমি।

নতুন প্রস্থ $x$ হলে, $25 \times x = 180$।

$x = \dfrac{180}{25} = 7.2$ সেমি।

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল স্থির থাকলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ব্যস্তানুপাতে বদলায়।

উত্তর: গ) 7.2 সেমি

15. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 1, \sqrt{2}, \ldots$ ধারাটির কোন পদ $8\sqrt{2}$ হবে?

ক) ৯ তম পদ     খ) ১০ তম পদ     গ) ১১ তম পদ     ঘ) ১২ তম পদ

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

ধরি, $n$ তম পদ $= 8\sqrt{2}$। তাহলে $ar^{n-1} = 8\sqrt{2}$।

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$ বা, $(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 16$

$16 = (\sqrt{2})^8$, তাই $n - 1 = 8$ এবং $n = 9$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: পদগুলো $\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, 8, 8\sqrt{2}$; $8\sqrt{2}$ নবম পদ ✓।

উত্তর: ক) ৯ তম পদ