38th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times a \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}a = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

ব্যাখ্যা: এই সূত্রটি অনেক প্রশ্নেই লাগে; $a = 2$ বসালে ক্ষেত্রফল $\sqrt{3}$, যা সহজে মনে রাখা যায়।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

2. মি. রেজা তার সম্পদের $12\%$ স্ত্রীকে, $58\%$ ছেলেকে এবং অবশিষ্ট $720{,}000$ টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত?

ক) 24,00,000     খ) 20,00,000     গ) 16,00,000     ঘ) 12,00,000

সমাধান:

স্ত্রী ও ছেলে পেয়েছে $12\% + 58\% = 70\%$।

মেয়ে পেয়েছে $100\% - 70\% = 30\%$।

$30\% = 720000$ টাকা হলে $1\% = \dfrac{720000}{30} = 24000$ টাকা।

মোট সম্পদ $100\% = 24000 \times 100 = 24{,}00{,}000$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24{,}00{,}000$ এর $30\% = 7{,}20{,}000$ ✓।

উত্তর: ক) 24,00,000

3. $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হলে, $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

ক) $3\sqrt{2}$     খ) $18\sqrt{3}$     গ) $12\sqrt{3}$     ঘ) 8

সমাধান:

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$x + \dfrac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$= (2\sqrt{3})^3 - 3 \times 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: $(2\sqrt{3})^3 = 8 \times 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$; এটি মনে রাখলে বিয়োগে ভুল হয় না।

উত্তর: খ) $18\sqrt{3}$

4. $\log_x \left(\dfrac{1}{8}\right) = -2$ হলে $x$ = কত?

ক) 2     খ) $\sqrt{2}$     গ) $2\sqrt{2}$     ঘ) 4

সমাধান:

লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x^{-2} = \dfrac{1}{8}$।

বা, $\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{8}$ বা, $x^2 = 8$

$x = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ (ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 2\sqrt{2}$ হলে $x^2 = 8$ এবং $x^{-2} = \dfrac{1}{8}$ ✓।

উত্তর: গ) $2\sqrt{2}$

5. $2^x + 2^{1-x} = 3$ হলে, $x$ = কত?

ক) $(1, 2)$     খ) $(0, 2)$     গ) $(1, 3)$     ঘ) $(0, 1)$

সমাধান:

ধরি, $2^x = p$। তাহলে $2^{1-x} = \dfrac{2}{2^x} = \dfrac{2}{p}$।

সমীকরণ: $p + \dfrac{2}{p} = 3$ বা, $p^2 + 2 = 3p$ বা, $p^2 - 3p + 2 = 0$

বা, $(p - 1)(p - 2) = 0$, অতএব $p = 1$ অথবা $p = 2$।

$2^x = 1$ হলে $x = 0$ এবং $2^x = 2$ হলে $x = 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 0$ হলে $1 + 2 = 3$ ✓ এবং $x = 1$ হলে $2 + 1 = 3$ ✓।

উত্তর: ঘ) $(0, 1)$

6. একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

ক) $60°$     খ) $85°$     গ) $30°$     ঘ) $25°$

সমাধান:

ধরি, কোণটি $x$, তাহলে পূরক কোণ $= 90° - x$।

শর্তমতে, $x = \dfrac{90° - x}{2}$ বা, $2x = 90° - x$ বা, $3x = 90°$

অতএব $x = 30°$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $30°$ এর পূরক $60°$ এবং $60°$ এর অর্ধেক $30°$ ✓।

উত্তর: গ) $30°$

7. $\triangle ABC$ এ $\angle B = 90°$ যদি $AC = 2AB$ হয়, তবে $\angle C$ এর মান কত?

ক) $45°$     খ) $22.5°$     গ) $30°$     ঘ) $60°$

সমাধান:

$\angle B = 90°$ হওয়ায় $AC$ অতিভুজ, $AB$ লম্ব।

$\sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{2AB} = \dfrac{1}{2}$

$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, অতএব $\angle C = 30°$।

ব্যাখ্যা: যে সমকোণী ত্রিভুজে একটি বাহু অতিভুজের অর্ধেক, তার বিপরীত কোণ সবসময় $30°$।

উত্তর: গ) $30°$

8. $4$ জন মহিলা ও $6$ জন পুরুষের মধ্য থেকে $4$ সদস্য বিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে $1$ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদায় উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক) 210     খ) 304     গ) 84     ঘ) 120

সমাধান:

মোট সদস্য $= 4 + 6 = 10$ জন।

নির্দিষ্ট $1$ জন পুরুষ সবসময় থাকবেন, তাই বাকি $10 - 1 = 9$ জন থেকে $4 - 1 = 3$ জন বাছাই করতে হবে।

উপায় $= {}^9C_3 = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

ব্যাখ্যা: নির্দিষ্ট একজন সবসময় থাকলে মোট থেকে তাকে বাদ দিয়ে হিসাব করতে হয়; ${}^{10}C_4 = 210$ ভুল উত্তর।

উত্তর: গ) 84

9. $30$ থেকে $40$ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা $5$ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) $\dfrac{5}{11}$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $\dfrac{3}{5}$     ঘ) $\dfrac{6}{11}$

সমাধান:

$30$ থেকে $40$ পর্যন্ত মোট সংখ্যা $= 40 - 30 + 1 = 11$ টি।

মৌলিক সংখ্যা: $31, 37$ (২টি)।

$5$ এর গুণিতক: $30, 35, 40$ (৩টি)।

দুটি ঘটনার কোনো সাধারণ সংখ্যা নেই, তাই অনুকূল ফলাফল $= 2 + 3 = 5$।

সম্ভাবনা $= \dfrac{5}{11}$।

ব্যাখ্যা: পরীক্ষা: $32, 34, 36, 38, 40$ জোড়, $33 = 3 \times 11$, $39 = 3 \times 13$ তাই মৌলিক শুধু $31$ ও $37$।

উত্তর: ক) $\dfrac{5}{11}$

10. টাকায় $5$ টি মার্বেল বিক্রয় করায় $12\%$ ক্ষতি হয়। $10\%$ লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

ক) 5     খ) 4     গ) 6     ঘ) 8

সমাধান:

$12\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 100 - 12 = 88$ হলে ক্রয়মূল্য $100$।

$10\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য হবে $110$।

$5$ টির বিক্রয়মূল্য $1$ টাকা হলে ক্রয়মূল্য $= \dfrac{100}{88} = \dfrac{25}{22}$ টাকা।

$10\%$ লাভে $5$ টির বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{25}{22} \times \dfrac{110}{100} = \dfrac{5}{4}$ টাকা।

$\dfrac{5}{4}$ টাকায় বিক্রি করতে হবে $5$ টি, তাই $1$ টাকায় $= 5 \times \dfrac{4}{5} = 4$ টি।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: বিক্রয়ের সংখ্যা ও মূল্য ব্যস্তানুপাতিক। $5 \times \dfrac{88}{110} = 4$।

উত্তর: খ) 4

11. বাস্তব সংখ্যায় $|2x - 3| \le 1$ অসমতাটির সমাধান ?

ক) $1 < x < 2$     খ) $x \le 1$     গ) $1 \le x \le 2$     ঘ) $-1 \le x \le 2$

সমাধান:

$|2x - 3| \le 1$ মানে $-1 \le 2x - 3 \le 1$।

সব পক্ষে $3$ যোগ করে: $2 \le 2x \le 4$।

$2$ দিয়ে ভাগ করে: $1 \le x \le 2$।

ব্যাখ্যা: সমান চিহ্ন ($\le$) থাকায় প্রান্তবিন্দু $1$ ও $2$ সমাধানের অন্তর্ভুক্ত; তাই ক) ($<$) ভুল।

উত্তর: গ) $1 \le x \le 2$

12. একটি সমান্তর ধারার অনুক্রমে $5$ তম পদটি $18$ এবং প্রথম $5$ টি পদের যোগফল $75$ হলে প্রথম পদটি কত?

ক) 2     খ) 10     গ) 8     ঘ) 12

সমাধান:

ধরি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$। পঞ্চম পদ: $a + 4d = 18$।

প্রথম $5$ টি পদের সমষ্টি $= \dfrac{5}{2}(a + l) = \dfrac{5}{2}(a + 18)$

$\dfrac{5}{2}(a + 18) = 75$ বা, $a + 18 = 30$, অতএব $a = 12$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $d = \dfrac{18 - 12}{4} = 1.5$; পদগুলো $12, 13.5, 15, 16.5, 18$ এবং যোগফল $75$ ✓।

উত্তর: ঘ) 12

13. দুইটি সংখ্যার অনুপাত $2 : 3$ এবং গ.সা.গু. $4$ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক) 6     খ) 12     গ) 8     ঘ) 16

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা দুটি $2x$ ও $3x$।

$2x$ ও $3x$ এর গ.সা.গু. $= x$; দেওয়া আছে $x = 4$।

বৃহত্তম সংখ্যা $= 3x = 3 \times 4 = 12$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $8$ ও $12$; গ.সা.গু. $4$ এবং অনুপাত $2 : 3$ ✓।

উত্তর: খ) 12

14. কোন আসল $3$ বছরে মুনাফা আসলে $5500$ টাকা হয়। মুনাফা-আসলের $\dfrac{3}{8}$ অংশ হলে মুনাফার হার কত?

ক) 10%     খ) 12.5%     গ) 15%     ঘ) 12%

সমাধান:

ধরি, আসল $P$। মুনাফা $= \dfrac{3}{8}P$।

মুনাফা-আসল $= P + \dfrac{3}{8}P = \dfrac{11}{8}P = 5500$, তাই $P = \dfrac{5500 \times 8}{11} = 4000$ টাকা।

মুনাফা $= 5500 - 4000 = 1500$ টাকা।

হার $= \dfrac{1500 \times 100}{4000 \times 3} = 12.5\%$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $3$ বছরে মুনাফা আসলের $\dfrac{3}{8}$ অংশ হলে $1$ বছরে $\dfrac{1}{8}$ অংশ, অর্থাৎ $\dfrac{1}{8} \times 100 = 12.5\%$।

উত্তর: খ) 12.5%

15. সেট $A = \{x : x$ Fibonacci সংখ্যা এবং $x^2 < 64\}$ হলে $P(A)$ এর উপাদান কয়টি?

ক) 128     খ) 32     গ) 64     ঘ) 256

সমাধান:

ফিবোনাচ্চি ধারা: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ (প্রতিটি পদ আগের দুই পদের যোগফল)।

$x^2 < 64$ শর্তে $x = 8$ বাদ যায় ($8^2 = 64$, ছোট নয়)।

সেটে একই সংখ্যা দুবার ধরা হয় না, তাই $A = \{0, 1, 2, 3, 5\}$ এবং $n(A) = 5$।

$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $= 2^5 = 32$।

ব্যাখ্যা: $n(A) = n$ হলে শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা $2^n$; এখানে $2^5 = 32$।

উত্তর: খ) 32