37th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

তিনটি বাহুর মান সব আলাদা, তাই ত্রিভুজটি সমবাহু বা সমদ্বিবাহু নয়।

বৃহত্তম বাহু $17$ এর বর্গ $= 289$।

অপর দুই বাহুর বর্গের যোগফল $= 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$।

$17^2 = 15^2 + 8^2$ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী (পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য)।

ব্যাখ্যা: $8, 15, 17$ একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী; চিনে রাখলে হিসাব ছাড়াই উত্তর দেওয়া যায়।

উত্তর: গ) সমকোণী

2. $x^2 - 3x + 1 = 0$ হলে $\left(x^2 - \dfrac{1}{x^2}\right)$ এর মান কত?

ক) $5\sqrt{3}$     খ) $3\sqrt{5}$     গ) $4\sqrt{5}$     ঘ) $6\sqrt{5}$

সমাধান:

$x^2 + 1 = 3x$; $x$ দিয়ে ভাগ করে $x + \dfrac{1}{x} = 3$।

$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$, তাই $x - \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ (বড় বীজের জন্য)।

$x^2 - \dfrac{1}{x^2} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3 \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

ব্যাখ্যা: ছোট বীজ ধরলে $x - \dfrac{1}{x} = -\sqrt{5}$ হয় এবং মান $-3\sqrt{5}$; অপশনে ধনাত্মক মান আছে বলে $3\sqrt{5}$ ই উত্তর।

উত্তর: খ) $3\sqrt{5}$

3. $x^2 - 5x + 6 < 0$ হলে সমাধান কোনটি?

ক) $2 < x < 3$     খ) $-3 < x < -2$     গ) $x < 2$     ঘ) $x < 3$

সমাধান:

$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 3x - 2x + 6 = (x - 3)(x - 2)$

$(x - 3)(x - 2) < 0$ হতে হলে দুটি উৎপাদকের চিহ্ন বিপরীত হতে হবে।

$x > 3$ হলে দুটিই ধনাত্মক এবং $x < 2$ হলে দুটিই ঋণাত্মক; গুণফল ধনাত্মক হয়।

$2 < x < 3$ হলে $x - 3 < 0$ ও $x - 2 > 0$, গুণফল ঋণাত্মক ✓।

ব্যাখ্যা: দ্বিঘাত রাশি ঋণাত্মক হয় দুই বীজের মাঝখানে (যদি $x^2$ এর সহগ ধনাত্মক হয়); বীজ দুটি $2$ ও $3$।

উত্তর: ক) $2 < x < 3$

4. $A = \{x \mid x$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$, $B = \{x \mid x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 < 25\}$, $C = \{x \mid x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x^2 = 25\}$ হলে $A \cap B \cap C =$ ?

ক) $\{1, 2, 3, 4\}$     খ) $\{2, 3, 4\}$     গ) $\{2, 3, 4, 5\}$     ঘ) $\emptyset$

সমাধান:

$A$: যেসব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ $25$ এর চেয়ে ছোট: $A = \{1, 2, 3, 4\}$।

$B$: যেসব মৌলিক সংখ্যার বর্গ $25$ এর চেয়ে ছোট: $B = \{2, 3\}$।

$C$: যে মৌলিক সংখ্যার বর্গ $25$: $C = \{5\}$।

তিনটি সেটের কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই $A \cap B \cap C = \emptyset$।

ব্যাখ্যা: $A \cap B = \{2, 3\}$ এবং $C = \{5\}$ এর সাথে ছেদ করলেই ফাঁকা সেট পাওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) $\emptyset$

5. $10\%$ মুনাফায় $3000$ টাকা এবং $8\%$ মুনাফায় $2000$ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হারে মুনাফা পাওয়া যাবে?

ক) 9%     খ) 9.2%     গ) 8%     ঘ) 8.2%

সমাধান:

$10\%$ হারে $3000$ টাকার মুনাফা $= 3000 \times 0.10 = 300$ টাকা।

$8\%$ হারে $2000$ টাকার মুনাফা $= 2000 \times 0.08 = 160$ টাকা।

মোট মূলধন $= 3000 + 2000 = 5000$ টাকা, মোট মুনাফা $= 300 + 160 = 460$ টাকা।

শতকরা মুনাফা $= \dfrac{460}{5000} \times 100 = 9.2\%$

ব্যাখ্যা: ভরযুক্ত গড়: $\dfrac{3 \times 10 + 2 \times 8}{3 + 2} = \dfrac{46}{5} = 9.2\%$।

উত্তর: খ) 9.2%

6. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা অংক দ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে $54$ বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল $12$ হলে সংখ্যাটি কত?

ক) 57     খ) 75     গ) 39     ঘ) 93

সমাধান:

ধরি, দশকের অঙ্ক $a$ ও এককের অঙ্ক $b$। সংখ্যাটি $10a + b$ এবং স্থান বিনিময়ে হয় $10b + a$।

শর্তমতে, $(10b + a) - (10a + b) = 54$ বা, $9(b - a) = 54$, তাই $b - a = 6$।

$a + b = 12$ ও $b - a = 6$ যোগ করে $2b = 18$, $b = 9$ এবং $a = 3$।

সংখ্যাটি $39$।

ব্যাখ্যা: অপশন যাচাই: $39 \to 93$, বৃদ্ধি $93 - 39 = 54$ ✓ এবং অঙ্ক যোগফল $3 + 9 = 12$ ✓।

উত্তর: গ) 39

7. একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর $10$ এবং $6$ তম পদটি $52$ হলে $15$ তম পদটি ?

ক) 40     খ) 142     গ) 148     ঘ) 150

সমাধান:

$n$ তম পদ $= a + (n - 1)d$। ষষ্ঠ পদ: $a + 5 \times 10 = 52$ বা, $a = 2$।

$15$ তম পদ $= a + 14d = 2 + 14 \times 10 = 2 + 140 = 142$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $15$ তম পদ $= 6$ তম পদ $+ 9d = 52 + 90 = 142$।

উত্তর: খ) 142

8. একটি থলিতে $6$ টি নীল বল, $8$ টি সাদা বল ও $10$ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে, সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) $\dfrac{2}{4}$     খ) 3     গ) $\dfrac{2}{3}$     ঘ) 4

সমাধান:

মোট বল $= 6 + 8 + 10 = 24$ টি।

সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা $= \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$।

সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা $= 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$।

ব্যাখ্যা: সাদা নয় এমন বল $= 6 + 10 = 16$ টি, সম্ভাবনা $= \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$; সম্ভাবনা কখনো $1$ এর বেশি হতে পারে না, তাই ৩ ও ৪ অপশন আগেই বাদ।

উত্তর: গ) $\dfrac{2}{3}$

9. একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি হয় $20$ এবং ষষ্ঠ (৬-তম) পদটি $160$ হলে প্রথম পদটি কত?

ক) 6     খ) 10     গ) 8     ঘ) 5

সমাধান:

প্রথম পদ $a$, সাধারণ অনুপাত $r$ হলে, তৃতীয় পদ $ar^2 = 20$ ...(i) এবং ষষ্ঠ পদ $ar^5 = 160$ ...(ii)

(ii) কে (i) দিয়ে ভাগ করে: $r^3 = \dfrac{160}{20} = 8$, অতএব $r = 2$।

(i) এ বসিয়ে: $a \times 4 = 20$, অতএব $a = 5$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: পদগুলো $5, 10, 20, 40, 80, 160$; তৃতীয় $20$ ও ষষ্ঠ $160$ ✓।

উত্তর: ঘ) 5

10. $\log_x \left(\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{4}{9}$     খ) $\dfrac{9}{4}$     গ) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     ঘ) $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

সমাধান:

লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী $x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}$।

বা, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{3}{2}$ বা, $\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}$

উভয় পক্ষকে বর্গ করে $x = \dfrac{4}{9}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = \dfrac{4}{9}$ হলে $x^{-1/2} = \left(\dfrac{9}{4}\right)^{1/2} = \dfrac{3}{2}$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{4}{9}$

11. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $15$ মি. এবং প্রস্থ $10$ মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক) $35\sqrt{3}$     খ) $40\sqrt{5}$     গ) $45\sqrt{5}$     ঘ) $50\sqrt{5}$

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= x$ হলে, পিথাগোরাসের সূত্রে $x^2 + 10^2 = 15^2$।

$x^2 = 225 - 100 = 125$, অতএব $x = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $= 10 \times 5\sqrt{5} = 50\sqrt{5}$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: আনুমানিক যাচাই: $5\sqrt{5} \approx 11.18$ এবং $10 \times 11.18 = 111.8$; $50\sqrt{5} \approx 111.8$ ✓।

উত্তর: ঘ) $50\sqrt{5}$

12. $261$ টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে $\dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{5} : \dfrac{1}{9}$ অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?

ক) 45     খ) 81     গ) 90     ঘ) 135

সমাধান:

ভগ্নাংশের অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় আনতে হর $3, 5, 9$ এর ল.সা.গু. $= 45$ দিয়ে গুণ করি।

$\dfrac{1}{3} \times 45 : \dfrac{1}{5} \times 45 : \dfrac{1}{9} \times 45 = 15 : 9 : 5$

অনুপাতের যোগফল $= 15 + 9 + 5 = 29$।

প্রথম ভাই পাবে $261 \times \dfrac{15}{29} = 9 \times 15 = 135$ টি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $261 \div 29 = 9$; তিন ভাই পায় $135$, $81$, $45$ এবং $135 + 81 + 45 = 261$ ✓।

উত্তর: ঘ) 135

13. $13$ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য $24$ সে.মি হলে, কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা এর লম্ব দূরত্ব কত সে.মি?

ক) 3     খ) 4     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধজ্যা $= \dfrac{24}{2} = 12$ সেমি।

লম্ব দূরত্ব $= \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।

ব্যাখ্যা: $5, 12, 13$ পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী, তাই উত্তর সরাসরি $5$।

উত্তর: গ) 5

14. $10$ টি জিনিসের মধ্যে $2$ টি এক জাতীয় এবং বাকী গুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিস গুলো থেকে প্রতিবার $5$ টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক) 170     খ) 182     গ) 190     ঘ) 192

সমাধান:

$10$ টির মধ্যে $2$ টি অভিন্ন, বাকি $8$ টি ভিন্ন।

অভিন্ন জিনিসের $0$ টি নিলে: ${}^8C_5 = 56$ উপায়।

অভিন্ন জিনিসের $1$ টি নিলে: ${}^8C_4 = 70$ উপায়।

অভিন্ন জিনিসের $2$ টিই নিলে: ${}^8C_3 = 56$ উপায়।

মোট উপায় $= 56 + 70 + 56 = 182$।

ব্যাখ্যা: বিকল্প (বইয়ের পদ্ধতি): $2$ টি অভিন্নকে একটি ধরে মোট $9$ ভিন্ন জিনিস থেকে ${}^9C_5 = 126$ এবং $2$ টিই নিলে ${}^8C_3 = 56$; যোগ করে $182$।

উত্তর: খ) 182

15. $100$ টাকায় $10$ টি ডিম কিনে, $100$ টাকায় $8$ টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক) 16%     খ) 20%     গ) 25%     ঘ) 28%

সমাধান:

১টি ডিমের ক্রয়মূল্য $= \dfrac{100}{10} = 10$ টাকা।

১টি ডিমের বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{100}{8} = 12.5$ টাকা।

লাভ $= 12.5 - 10 = 2.5$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \dfrac{2.5}{10} \times 100 = 25\%$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $\dfrac{10 - 8}{8} \times 100 = 25\%$ (কেনা সংখ্যা $-$ বেচা সংখ্যা, ভাগ বেচা সংখ্যা)।

উত্তর: গ) 25%