36th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$A = \{2, 3, 5\}$ (পাঁচ বা তার কম মৌলিক সংখ্যা)।

$A$ এর উপাদান সংখ্যা $n = 3$।

শক্তি সেট $P(A)$ এর সদস্য সংখ্যা $= 2^n = 2^3 = 8$।

ব্যাখ্যা: শক্তি সেটে ফাঁকা সেট ও $A$ নিজেও থাকে, তাই $2^3 = 8$টি উপসেট: $\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{5\}, \{2,3\}, \{2,5\}, \{3,5\}, \{2,3,5\}$।

উত্তর: ক) 8

2. দুটি সংখ্যার গুণফল $3380$ এবং গ.সা.গু. $13$ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?

ক) 260     খ) 780     গ) 160     ঘ) 490

সমাধান:

সূত্র: দুটি সংখ্যার গুণফল $=$ গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.

ল.সা.গু. $= \dfrac{3380}{13} = 260$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $13 \times 260 = 3380$ ✓।

উত্তর: ক) 260

3. $350$ টাকা দরে $3$ কেজি মিষ্টি কিনে $4$ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে?

ক) 14 টাকা     খ) 42 টাকা     গ) 12 টাকা     ঘ) 105 টাকা

সমাধান:

$3$ কেজি মিষ্টির দাম $= 350 \times 3 = 1050$ টাকা।

$100$ টাকায় ভ্যাট $4$ টাকা হলে $1050$ টাকায় ভ্যাট $= \dfrac{4 \times 1050}{100} = 42$ টাকা।

ব্যাখ্যা: ভ্যাট $4\%$ ধরলে $1050$ এর $4\% = 42$ টাকা।

উত্তর: খ) 42 টাকা

4. যদি তেলের মূল্য $25\%$ বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?

ক) 16%     খ) 20%     গ) 25%     ঘ) 24%

সমাধান:

ধরি, তেলের আগের দাম $100$ টাকা। $25\%$ বাড়লে নতুন দাম $= 125$ টাকা।

ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে ব্যবহার কমাতে হবে: $\dfrac{125 - 100}{125} \times 100 = \dfrac{25}{125} \times 100 = 20\%$

ব্যাখ্যা: সূত্র: দাম $x\%$ বাড়লে ব্যবহার কমাতে হয় $\dfrac{x}{100 + x} \times 100 = \dfrac{25}{125} \times 100 = 20\%$।

উত্তর: খ) 20%

5. $12$ টি পুস্তক থেকে $5$ টি কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যেখানে $2$ টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক) 252     খ) 792     গ) 224     ঘ) 120

সমাধান:

$2$ টি পুস্তক সবসময় থাকবে, তাই সেগুলো বাছাই করার প্রয়োজন নেই।

বাকি $12 - 2 = 10$ টি থেকে $5 - 2 = 3$ টি বাছাই করতে হবে।

উপায় $= {}^{10}C_3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

ব্যাখ্যা: বাকি আসনগুলো পূরণের হিসাবই এখানে মূল কথা; ${}^{12}C_5 = 792$ ভুল উত্তর, কারণ সেখানে বাধ্যতামূলক শর্ত ধরা হয়নি।

উত্তর: ঘ) 120

6. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক) 24     খ) 8     গ) 16     ঘ) 32

সমাধান:

ধরি, বর্গের বাহু $a$। কর্ণ $= \sqrt{2}\,a = 4\sqrt{2}$।

অতএব $a = 4$ একক।

ক্ষেত্রফল $= a^2 = 4^2 = 16$ বর্গ একক।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: ক্ষেত্রফল $= \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{(4\sqrt{2})^2}{2} = \dfrac{32}{2} = 16$।

উত্তর: গ) 16

7. আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট $5$ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) 1     খ) $\dfrac{5}{7}$     গ) $\dfrac{2}{7}$     ঘ) $\dfrac{1}{7}$

সমাধান:

একটি সপ্তাহে মোট $7$ দিন, তার মধ্যে $5$ দিন বৃষ্টি হয়েছে।

বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা $= \dfrac{5}{7}$।

বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা $= 1 - \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{7}$।

ব্যাখ্যা: বৃষ্টিহীন দিন $7 - 5 = 2$ টি, তাই সম্ভাবনা $\dfrac{2}{7}$।

উত্তর: গ) $\dfrac{2}{7}$

8. $1 + 3 + 5 + \cdots + (2x - 1)$ কত?

ক) $x(x - 1)$     খ) $\dfrac{x(x + 1)}{2}$     গ) $x(x + 1)$     ঘ) $x^2$

সমাধান:

ধারাটির প্রথম পদ $a = 1$, সাধারণ অন্তর $d = 2$, শেষ পদ $l = 2x - 1$।

পদ সংখ্যা $n = \dfrac{l - a}{d} + 1 = \dfrac{2x - 2}{2} + 1 = x$

সমষ্টি $= \dfrac{n}{2}(a + l) = \dfrac{x}{2}(1 + 2x - 1) = \dfrac{x}{2} \times 2x = x^2$

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় $n^2$: যেমন $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$।

উত্তর: ঘ) $x^2$

9. $\log_{\sqrt{3}} 81$ কত?

ক) 4     খ) $27\sqrt{3}$     গ) 8     ঘ) $\dfrac{1}{8}$

সমাধান:

$81 = 3^4 = \left(\sqrt{3}\right)^8$

$\log_{\sqrt{3}} \left(\sqrt{3}\right)^8 = 8 \times \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 8 \times 1 = 8$

ব্যাখ্যা: পরিবর্তন সূত্রে: $\log_{\sqrt{3}} 81 = \dfrac{\log_3 81}{\log_3 \sqrt{3}} = \dfrac{4}{1/2} = 8$।

উত্তর: গ) 8

10. যদি $(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$ হয় তবে $x$ = কত?

ক) 0     খ) 1     গ) -1     ঘ) 4

সমাধান:

$25 = 5^2$, তাই বামপক্ষ $= (5^2)^{2x+3} = 5^{4x+6}$।

$5^{4x+6} = 5^{3x+6}$; ভিত্তি এক হওয়ায় ঘাত সমান: $4x + 6 = 3x + 6$।

অতএব $x = 0$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 0$ হলে $25^3 = 15625$ এবং $5^6 = 15625$ ✓।

উত্তর: ক) 0

11. $x - \dfrac{1}{x} = 1$ হলে $x^3 - \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

সূত্র: $x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)$

$= 1^3 + 3 \times 1 = 1 + 3 = 4$

ব্যাখ্যা: এই সূত্রে $x \cdot \dfrac{1}{x} = 1$ ধরা হয়েছে, তাই কেবল প্রদত্ত মান বসালেই চলে।

উত্তর: ঘ) 4

12. $a - [a - \{a - (a - \overline{a - 1})\}] =$ কত?

ক) 1     খ) $-1$     গ) $a - 1$     ঘ) $a + 1$

সমাধান:

ভিনকুলামসহ সবচেয়ে ভেতরের অংশ: $\overline{a - 1} = (a - 1)$

$(a - (a - 1)) = a - a + 1 = 1$

$\{a - 1\}$

$[a - (a - 1)] = a - a + 1 = 1$

$a - 1 = a - 1$

ব্যাখ্যা: বন্ধনী খোলার সময় ভেতর থেকে বাইরের দিকে এগোলে চিহ্নের ভুল কম হয়।

উত্তর: গ) $a - 1$

13. $\triangle ABC$ এ $\angle A = 40°$, $\angle B = 70°$ হলে $\triangle ABC$ কি ধরনের ত্রিভুজ?

ক) সমকোণী     খ) স্থূলকোণী     গ) সমদ্বিবাহু     ঘ) সমবাহু

সমাধান:

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180°$।

$\angle C = 180° - (40° + 70°) = 70°$

$\angle B = \angle C = 70°$, অর্থাৎ দুটি কোণ সমান।

যে ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান, তার বিপরীত বাহু দুটিও সমান; তাই এটি সমদ্বিবাহু।

ব্যাখ্যা: কোনো কোণই $90°$ বা বড় নয় ($40°, 70°, 70°$), তাই সমকোণী বা স্থূলকোণী নয়; তিনটি কোণ সমান ($60°$) না হওয়ায় সমবাহুও নয়।

উত্তর: গ) সমদ্বিবাহু

14. $x^2 + y^2 = 185$, $x - y = 3$ এর একটি সমাধান হলো-

ক) $(7, 4)$     খ) $(9, 6)$     গ) $(10, 7)$     ঘ) $(11, 8)$

সমাধান:

$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$ থেকে $185 = 9 + 2xy$, অতএব $2xy = 176$।

$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 9 + 352 = 361$, তাই $x + y = 19$।

$x - y = 3$ ও $x + y = 19$ যোগ করে $2x = 22$, $x = 11$ এবং $y = 8$।

ব্যাখ্যা: অপশন যাচাই: $(11, 8)$ এ $11 - 8 = 3$ এবং $121 + 64 = 185$ ✓।

উত্তর: ঘ) $(11, 8)$

15. যদি $(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?

ক) 0     খ) 1     গ) -1     ঘ) 4

সমাধান:

$25 = 5^2$, তাই $5^{4x+6} = 5^{3x+6}$।

ঘাত সমান করে: $4x + 6 = 3x + 6$ বা, $x = 0$।

ব্যাখ্যা: এটি আগের ১০ নম্বর প্রশ্নেরই পুনরাবৃত্তি।

উত্তর: ক) 0

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে ১০ নম্বর ও ১৫ নম্বর প্রশ্ন হুবহু একই ছাপা হয়েছে এবং উত্তর উভয় ক্ষেত্রেই (ক)।

16. চিত্র অনুসারে $O$ কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে $\triangle ABC$ অন্তর্লিখিত $\angle y = 112°$ হলে $\angle x$ = কত?

ক) $68°$     খ) $34°$     গ) $45°$     ঘ) $39°$

সমাধান:

$O$ বৃত্তের কেন্দ্র, তাই $OB = OC$ (ব্যাসার্ধ) এবং $\triangle BOC$ সমদ্বিবাহু; এর ভূমিসংলগ্ন কোণ দুটি $x$ করে।

ত্রিভুজের কোণসমষ্টি: $x + x + y = 180°$

বা, $2x = 180° - 112° = 68°$, অতএব $x = 34°$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $34° + 34° + 112° = 180°$ ✓।

উত্তর: খ) $34°$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই কপিতে চিত্রের কোণ-চিহ্ন স্পষ্ট নয়। বইয়ের সমাধান অনুযায়ী $y = \angle BOC$ (কেন্দ্রস্থ কোণ) এবং $x = \angle OBC = \angle OCB$ ধরে সমাধান করা হয়েছে, যা উত্তর-তালিকার (খ) $34°$ এর সাথে মেলে।