35th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

আমের রস $= 60 \times \dfrac{2}{3} = 40$ লিটার এবং কমলার রস $= 60 \times \dfrac{1}{3} = 20$ লিটার।

কমলার রস $x$ লিটার বাড়ালে, $40 : (20 + x) = 1 : 2$

বা, $\dfrac{40}{20 + x} = \dfrac{1}{2}$ বা, $20 + x = 80$, অতএব $x = 60$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: কমলার রস হবে $20 + 60 = 80$ লিটার, তাই আম $:$ কমলা $= 40 : 80 = 1 : 2$ ✓।

উত্তর: গ) 60 লি.

2. কলার দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে একটি কলার দাম কত?

ক) 1.50 টাকা     খ) 2.50 টাকা     গ) 3.00 টাকা     ঘ) 1.2 টাকা

সমাধান:

ধরি, আগে প্রতিটি কলার দাম ছিল $p$ টাকা। এখন দাম $= 0.8p$ টাকা।

আগে $12$ টাকায় পেত $\dfrac{12}{p}$ টি, এখন পায় $\dfrac{12}{0.8p} = \dfrac{15}{p}$ টি।

শর্তমতে, $\dfrac{15}{p} - \dfrac{12}{p} = 2$ বা, $\dfrac{3}{p} = 2$, অতএব $p = 1.5$ টাকা।

বর্তমান দাম $= 0.8 \times 1.5 = 1.2$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: আগে $12 \div 1.5 = 8$ টি, এখন $12 \div 1.2 = 10$ টি; পার্থক্য $2$ ✓।

উত্তর: ঘ) 1.2 টাকা

3. ৫০ জন লোকের মধ্যে ৩৫ জন ইংরেজি, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন, বাংলা ভাষায় কত জন কথা বলতে পারেন?

ক) 10 জন     খ) 15 জন     গ) 40 জন     ঘ) 30 জন

সমাধান:

ইংরেজি পারে $35$ জন, তার মধ্যে উভয় ভাষা পারে $25$ জন; তাই শুধু ইংরেজি পারে $35 - 25 = 10$ জন।

প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষা পারে, তাই শুধু বাংলা পারে $50 - 35 = 15$ জন।

মোট বাংলা পারে $=$ শুধু বাংলা $+$ উভয় $= 15 + 25 = 40$ জন।

ব্যাখ্যা: সেট সূত্রে: $n(E \cup B) = n(E) + n(B) - n(E \cap B)$ থেকে $50 = 35 + n(B) - 25$, তাই $n(B) = 40$।

উত্তর: গ) 40 জন

4. ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর ৭০। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রী এর গড় নম্বর ৭৫ হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

ক) 62.5     খ) 65.5     গ) 2500     ঘ) 2600

সমাধান:

$100$ জনের মোট নম্বর $= 100 \times 70 = 7000$।

$60$ জন ছাত্রীর মোট নম্বর $= 60 \times 75 = 4500$।

$40$ জন ছাত্রের মোট নম্বর $= 7000 - 4500 = 2500$।

ছাত্রদের গড় $= \dfrac{2500}{40} = 62.5$।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে "ছাত্র" মানে ৪০ জন ছেলে; ২৫০০ হলো তাদের মোট নম্বর, গড় নয়।

উত্তর: ক) 62.5

5. CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুন?

ক) 2     খ) 3     গ) 8     ঘ) 5

সমাধান:

CALCUTTA এ মোট $8$ টি বর্ণ; $C$ আছে $2$ টি, $A$ আছে $2$ টি, $T$ আছে $2$ টি। বিন্যাস সংখ্যা $= \dfrac{8!}{2! \times 2! \times 2!} = \dfrac{40320}{8} = 5040$

AMERICA তে মোট $7$ টি বর্ণ; $A$ আছে $2$ টি। বিন্যাস সংখ্যা $= \dfrac{7!}{2!} = \dfrac{5040}{2} = 2520$

অনুপাত $= \dfrac{5040}{2520} = 2$ গুণ।

ব্যাখ্যা: $8! = 8 \times 7!$, তাই অনুপাত $= \dfrac{8 \times 7!/8}{7!/2} = 2$; দুই পক্ষের সাধারণ গুণনীয়ক কাটাকাটি হয়ে যায়।

উত্তর: ক) 2

6. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. $11$ এবং ল.সা.গু. $7700$। একটি সংখ্যা $275$ হলে, অপর সংখ্যা কত?

ক) 318     খ) 283     গ) 308     ঘ) 279

সমাধান:

সূত্র: দুটি সংখ্যার গুণফল $=$ গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.

অপর সংখ্যা $= \dfrac{11 \times 7700}{275}$

$= \dfrac{84700}{275} = 308$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $308 \div 11 = 28$ এবং $275 \div 11 = 25$; $25$ ও $28$ সহমৌলিক, ল.সা.গু. $= 11 \times 25 \times 28 = 7700$ ✓।

উত্তর: গ) 308

7. $x - y = 2$ এবং $xy = 24$ হলে, $x$ এর ধনাত্মক মানটি-

ক) 3     খ) 4     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 2^2 + 4 \times 24 = 4 + 96 = 100$

$x + y = \pm 10$; ধনাত্মক ধরলে $x + y = 10$।

$x + y = 10$ ও $x - y = 2$ যোগ করে $2x = 12$, অতএব $x = 6$ (তখন $y = 4$)।

ব্যাখ্যা: আরেকটি সমাধান $x + y = -10$ থেকে $x = -4$, $y = -6$ আসে; প্রশ্নে ধনাত্মক মান চাওয়ায় $x = 6$।

উত্তর: ঘ) 6

8. $\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x + 1} = 2$ হলে, $x$ এর মান কত?

ক) 1     খ) 2     গ) 3     ঘ) 4

সমাধান:

$\dfrac{3(x + 1) + 4x}{x(x + 1)} = 2$ বা, $7x + 3 = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$

বা, $2x^2 - 5x - 3 = 0$ বা, $2x^2 - 6x + x - 3 = 0$

বা, $2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$ বা, $(x - 3)(2x + 1) = 0$

$x = 3$ অথবা $x = -\dfrac{1}{2}$; অপশনে শুধু $x = 3$ আছে।

ব্যাখ্যা: অপশন যাচাই: $x = 3$ হলে $\dfrac{3}{3} + \dfrac{4}{4} = 1 + 1 = 2$ ✓।

উত্তর: গ) 3

9. $\log_3 \dfrac{1}{9}$ এর মান কত?

ক) 2     খ) -2     গ) 3     ঘ) -3

সমাধান:

$\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$

$\log_3 3^{-2} = -2 \log_3 3 = -2 \times 1 = -2$

ব্যাখ্যা: $\dfrac{1}{9} < 1$ হওয়ায় লগ ঋণাত্মক হবে; তাই ধনাত্মক অপশন ক) ও গ) আগেই বাদ দেওয়া যায়।

উত্তর: খ) $-2$

10. ১৪ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়ক সহ ১১ জনের একটি ক্রিকেট দল কত ভাবে বাছাই করা যায়?

ক) 728     খ) 286     গ) 364     ঘ) 1001

সমাধান:

অধিনায়ক নির্দিষ্ট, তাই তাকে দলে রাখতে হবে।

বাকি $14 - 1 = 13$ জন থেকে $11 - 1 = 10$ জন বাছাই করতে হবে।

উপায় $= {}^{13}C_{10} = {}^{13}C_3 = \dfrac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$

ব্যাখ্যা: ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ সূত্রে ${}^{13}C_{10}$ কে ${}^{13}C_3$ করে হিসাব সহজ করা হয়েছে।

উত্তর: খ) 286

11. $2$ সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের $4$ টি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

ক) $4\pi - 8$     খ) $2\pi - 4$     গ) $4\pi + 8$     ঘ) $2\pi + 4$

সমাধান:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$ বর্গ সেমি।

অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ $=$ বৃত্তের ব্যাস $= 4$ সেমি।

বর্গের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{d^2}{2}$ (যেখানে $d$ কর্ণ) $= \dfrac{4^2}{2} = 8$ বর্গ সেমি।

আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $= 4\pi - 8$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: বর্গের বাহু $a$ হলে কর্ণ $\sqrt{2}\,a = 4$, তাই $a^2 = 8$; একই ফল।

উত্তর: ক) $4\pi - 8$

12. $\log_a x = 1$, $\log_a y = 2$ এবং $\log_a z = 3$ হলে $\log_a \dfrac{x^3 y^2}{z}$ এর মান কত?

ক) 1     খ) 2     গ) 4     ঘ) 5

সমাধান:

লগের সূত্র: $\log_a \dfrac{x^3 y^2}{z} = 3\log_a x + 2\log_a y - \log_a z$

$= 3 \times 1 + 2 \times 2 - 3 = 3 + 4 - 3 = 4$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $x = a$, $y = a^2$, $z = a^3$ ধরে $\dfrac{a^3 \cdot a^4}{a^3} = a^4$, তাই $\log_a a^4 = 4$।

উত্তর: গ) 4

13. $|x - 3| < 5$ হলে-

ক) $2 < x < 8$     খ) $-2 < x < 8$     গ) $-8 < x < -2$     ঘ) $-4 < x < -2$

সমাধান:

$|x - 3| < 5$ মানে $-5 < x - 3 < 5$।

সব পক্ষে $3$ যোগ করে: $-5 + 3 < x < 5 + 3$ অর্থাৎ $-2 < x < 8$।

ব্যাখ্যা: অর্থ: $x$ সংখ্যারেখায় $3$ থেকে $5$ এককের কম দূরত্বে থাকবে।

উত্তর: খ) $-2 < x < 8$

14. একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি $-48$ এবং পঞ্চম পদটি $\dfrac{3}{4}$ হলে, সাধারন অনুপাত কত?

ক) $\dfrac{1}{2}$     খ) $-\dfrac{1}{2}$     গ) $\dfrac{1}{4}$     ঘ) $-\dfrac{1}{4}$

সমাধান:

প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $q$ হলে, $n$ তম পদ $= aq^{n-1}$।

দ্বিতীয় পদ $aq = -48$ এবং পঞ্চম পদ $aq^4 = \dfrac{3}{4}$।

ভাগ করে: $\dfrac{aq^4}{aq} = q^3 = \dfrac{3/4}{-48} = -\dfrac{1}{64}$

$q^3 = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^3$, অতএব $q = -\dfrac{1}{4}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $a = \dfrac{-48}{-1/4} = 192$; পদগুলো $192, -48, 12, -3, \dfrac{3}{4}$ ✓।

উত্তর: ঘ) $-\dfrac{1}{4}$

15. $x^{-3} - 0.001 = 0$ হলে, $x^2$ এর মান কত?

ক) 100     খ) $\dfrac{1}{10}$     গ) 10     ঘ) $\dfrac{1}{100}$

সমাধান:

$x^{-3} = 0.001 = \dfrac{1}{1000}$ বা, $\dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{1000}$

অতএব $x^3 = 1000 = 10^3$, তাই $x = 10$।

$x^2 = 10^2 = 100$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $10^{-3} = 0.001$ ✓।

উত্তর: ক) 100

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় একটি ধাপে $\dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{100}$ লেখা হয়েছে, যা মুদ্রণ ভুল। $0.001 = \dfrac{1}{1000}$ থেকে $x^3 = 1000$ এবং $x = 10$ পাওয়া যায়; শেষ উত্তর $100$ ঠিক আছে।