34th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

$0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$ এবং $0.1 = \dfrac{1}{10}$

প্রশ্নমতে, $\dfrac{x}{9} - \dfrac{x}{10} = 1$ বা, $\dfrac{10x - 9x}{90} = 1$

বা, $\dfrac{x}{90} = 1$, অতএব $x = 90$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $90$ এর $\dfrac{1}{9} = 10$ এবং $90$ এর $\dfrac{1}{10} = 9$; পার্থক্য $10 - 9 = 1$ ✓।

উত্তর: গ) 90

2. $\dfrac{5^{n+2} + 35 \times 5^{n-1}}{4 \times 5^n} =$ কত?

ক) 4     খ) 8     গ) 5     ঘ) 7

সমাধান:

$5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^n$

$35 \times 5^{n-1} = 35 \times \dfrac{5^n}{5} = 7 \cdot 5^n$

লব $= 5^n(25 + 7) = 32 \cdot 5^n$

$\dfrac{32 \cdot 5^n}{4 \cdot 5^n} = \dfrac{32}{4} = 8$

ব্যাখ্যা: $n = 1$ বসিয়ে যাচাই: $\dfrac{5^3 + 35}{4 \times 5} = \dfrac{125 + 35}{20} = 8$ ✓।

উত্তর: খ) 8

3. $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \emptyset$ হলে $A \cup B$ কত?

ক) $\{1, 2, 3\}$     খ) $\{1, 2, \emptyset\}$     গ) $\{2, 3, \emptyset\}$     ঘ) $\emptyset$

সমাধান:

$A \cup B$ হলো $A$ বা $B$ এর যেকোনো একটিতে থাকা সব উপাদানের সেট।

$B = \emptyset$ তে কোনো উপাদান নেই।

তাই $A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \emptyset = \{1, 2, 3\}$।

ব্যাখ্যা: ফাঁকা সেটের সাথে মিলন করলে সেট একই থাকে ($A \cup \emptyset = A$); আর ছেদ করলে ফাঁকা সেট পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $\{1, 2, 3\}$

4. $x + y = 2$, $x^2 + y^2 = 4$ হলে, $x^3 + y^3 =$ কত?

ক) 8     খ) 9     গ) 16     ঘ) 25

সমাধান:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ থেকে $4 = 4 - 2xy$, অতএব $xy = 0$।

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 2^3 - 3 \times 0 \times 2$

$= 8 - 0 = 8$

ব্যাখ্যা: $xy = 0$ হওয়ায় $x = 0$, $y = 2$ (অথবা বিপরীত); তখন $0 + 8 = 8$ ✓।

উত্তর: ক) 8

5. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

ক) 6     খ) 3     গ) 5     ঘ) 4

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা তিনটি $x - 1$, $x$, $x + 1$।

গুণফল $= (x - 1) \cdot x \cdot (x + 1) = x(x^2 - 1)$ এবং যোগফল $= 3x$।

শর্তমতে, $x(x^2 - 1) = 5 \times 3x$ বা, $x^2 - 1 = 15$ ($x \ne 0$), অতএব $x = 4$।

সংখ্যা তিনটি $3, 4, 5$ এবং গড় $= \dfrac{3 + 4 + 5}{3} = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times 4 \times 5 = 60$ এবং $5 \times (3 + 4 + 5) = 60$ ✓। পরপর তিন সংখ্যার গড় সবসময় মাঝের সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) 4

6. একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $132$ সেন্টিমিটার ও $1386$ বর্গ সেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 66 সেন্টিমিটার     খ) 42 সেন্টিমিটার     গ) 21 সেন্টিমিটার     ঘ) 22 সেন্টিমিটার

সমাধান:

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

ক্ষেত্রফল $\div$ পরিধি: $\dfrac{\pi r^2}{2\pi r} = \dfrac{r}{2} = \dfrac{1386}{132}$

$r = \dfrac{1386 \times 2}{132} = \dfrac{2772}{132} = 21$ সেমি।

বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস) $= 2r = 2 \times 21 = 42$ সেমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: পরিধি $= 2 \times \dfrac{22}{7} \times 21 = 132$ ✓ এবং ক্ষেত্রফল $= \dfrac{22}{7} \times 441 = 1386$ ✓।

উত্তর: খ) 42 সেন্টিমিটার

7. একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণীতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক) 70     খ) 85     গ) 75     ঘ) 100

সমাধান:

ধরি, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা $x$ জন। প্রত্যেকে দিয়েছে $(x + 25)$ পয়সা।

মোট চাঁদা $= x(x + 25)$ পয়সা $= 75 \times 100 = 7500$ পয়সা।

বা, $x^2 + 25x - 7500 = 0$ বা, $x^2 + 100x - 75x - 7500 = 0$

বা, $(x + 100)(x - 75) = 0$

$x = -100$ গ্রহণযোগ্য নয়, তাই $x = 75$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $75 \times (75 + 25) = 75 \times 100 = 7500$ পয়সা $= 75$ টাকা ✓।

উত্তর: গ) 75

8. মামুন $240$ টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটির কলমের মূল্য $1$ টাকা কম পড়ত। সে কতগুলি কলম কিনেছিল?

ক) 13 টি     খ) 14 টি     গ) 15 টি     ঘ) 16 টি

সমাধান:

ধরি, মামুন $x$ টি কলম কিনেছিল। প্রতিটির মূল্য $= \dfrac{240}{x}$ টাকা।

একটি কলম বেশি পেলে প্রতিটির মূল্য $= \dfrac{240}{x + 1}$ টাকা।

প্রশ্নমতে, $\dfrac{240}{x} - \dfrac{240}{x + 1} = 1$ বা, $\dfrac{240}{x(x + 1)} = 1$

বা, $x^2 + x - 240 = 0$ বা, $(x + 16)(x - 15) = 0$

$x = -16$ গ্রহণযোগ্য নয়, তাই $x = 15$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $15$ টি হলে প্রতিটি $16$ টাকা এবং $16$ টি হলে প্রতিটি $15$ টাকা; পার্থক্য $1$ ✓।

উত্তর: গ) 15 টি

9. একটি পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি -

ক) 4 সমকোণ     খ) 6 সমকোণ     গ) 8 সমকোণ     ঘ) 10 সমকোণ

সমাধান:

$n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি $= (n - 2) \times 180°$।

পঞ্চভুজের $n = 5$, তাই সমষ্টি $= 3 \times 180° = 540°$।

এক সমকোণ $= 90°$, তাই $540° \div 90° = 6$ সমকোণ।

ব্যাখ্যা: $(2n - 4)$ সমকোণ সূত্রে: $2 \times 5 - 4 = 6$ সমকোণ।

উত্তর: খ) 6 সমকোণ

10. ঘড়িতে এখন ৮টা বাজে ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি হলো-

ক) $150°$     খ) $60°$     গ) $90°$     ঘ) $120°$

সমাধান:

ঘড়িতে ১২টি ঘর, প্রতি ঘরে $30°$ ($360° \div 12$)।

৮টায় মিনিটের কাঁটা $12$ এ এবং ঘন্টার কাঁটা $8$ এ থাকে।

$12$ থেকে $8$ পর্যন্ত ঘর সংখ্যা $= 4$ (উল্টো দিক থেকে গুনলে), তাই কোণ $= 4 \times 30° = 120°$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: $\left|30H - \dfrac{11}{2}M\right| = |240 - 0| = 240°$, ছোট কোণ $= 360° - 240° = 120°$।

উত্তর: ঘ) $120°$

11. ১৭ দিন আগে আব্দুর রহিম বলেছিল যে তার জন্মদিন আগামীকাল। আজ ২৩ তারিখ হলে তার জন্মদিন কোন তারিখে?

ক) 7     খ) 8     গ) 9     ঘ) 10

সমাধান:

আজ $23$ তারিখ হলে $17$ দিন আগে ছিল $23 - 17 = 6$ তারিখ।

সেদিন সে বলেছিল জন্মদিন আগামীকাল, তাই জন্মদিন $6 + 1 = 7$ তারিখ।

ব্যাখ্যা: এখানে ধরা হয়েছে সবকিছু একই মাসের মধ্যে ঘটেছে।

উত্তর: ক) 7

12. $0.03$, $0.12$, $0.48$, শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

ক) 0.96     খ) 1.48     গ) 1.92     ঘ) 1.50

সমাধান:

পদগুলোর অনুপাত: $\dfrac{0.12}{0.03} = 4$ এবং $\dfrac{0.48}{0.12} = 4$।

ধারাটির সাধারণ অনুপাত $4$, অর্থাৎ প্রতিটি পদকে $4$ দিয়ে গুণ করা হচ্ছে।

পরবর্তী পদ $= 0.48 \times 4 = 1.92$।

ব্যাখ্যা: এটি গুণোত্তর ধারা; যোগের ধারা ভেবে $0.48 + 0.36 = 0.84$ ধরলে ভুল হবে, কারণ পার্থক্য সমান নয় ($0.09$, $0.36$)।

উত্তর: গ) 1.92

13. $20$ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমন ভাবে কেটে দু-ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

ক) 6     খ) 7     গ) 8     ঘ) 10

সমাধান:

ধরি, বড় অংশ $= x$ ফুট। তাহলে ছোট অংশ $= \dfrac{2x}{3}$ ফুট।

শর্তমতে, $x + \dfrac{2x}{3} = 20$ বা, $\dfrac{5x}{3} = 20$, অতএব $x = 12$।

ছোট অংশ $= \dfrac{2 \times 12}{3} = 8$ ফুট।

ব্যাখ্যা: অনুপাতে: বড় $:$ ছোট $= 3 : 2$, তাই ছোট অংশ $= \dfrac{2}{5} \times 20 = 8$।

উত্তর: গ) 8

14. একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল $192$ বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে এবং প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক) 225 বর্গমিটার     খ) 188 বর্গমিটার     গ) 169 বর্গমিটার     ঘ) 196 বর্গমিটার

সমাধান:

ধরি, দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার; $xy = 192$, তাই $y = \dfrac{192}{x}$।

শর্তমতে, $(x - 4)\left(\dfrac{192}{x} + 4\right) = 192$ বা, $(x - 4)(192 + 4x) = 192x$

বা, $4x^2 - 16x - 768 = 0$ বা, $x^2 - 4x - 192 = 0$ বা, $(x - 16)(x + 12) = 0$

$x = 16$ (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়), $y = \dfrac{192}{16} = 12$।

পরিসীমা $= 2(16 + 12) = 56$ মি.; বর্গের বাহু $= \dfrac{56}{4} = 14$ মি.।

বর্গের ক্ষেত্রফল $= 14^2 = 196$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(16 - 4)(12 + 4) = 12 \times 16 = 192$ ✓।

উত্তর: ঘ) 196 বর্গমিটার

15. বিষমবাহু $\triangle ABC$ এর বাহুগুলির মান এমন ভাবে নির্ধারিত যে, $AD$ মধ্যমা দ্বারা গঠিত $\triangle ABD$ এর ক্ষেত্রফল $x$ বর্গমিটার। $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল কত?

ক) $x^2$ বর্গমিটার     খ) $2x$ বর্গমিটার     গ) $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$ বর্গমিটার     ঘ) $\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3}\right)^3$ বর্গ মিটার

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে (কারণ উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা এক এবং ভূমি $BD = DC$)।

$\triangle ABD = \triangle ADC = x$ বর্গমিটার।

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC = x + x = 2x$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজটি বিষমবাহু হলেও এই সম্পর্ক বদলায় না; মধ্যমার বৈশিষ্ট্য সব ত্রিভুজেই খাটে।

উত্তর: খ) $2x$ বর্গমিটার