33rd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

তিনজনের বয়সের সমষ্টি $= 24 \times 3 = 72$ বছর।

একজনের বয়স সর্বোচ্চ হবে যদি অপর দুজনের বয়স সর্বনিম্ন হয়, অর্থাৎ প্রত্যেকে $21$ বছর।

অপর দুজনের বয়সের সমষ্টি $= 21 \times 2 = 42$ বছর।

সর্বোচ্চ বয়স $= 72 - 42 = 30$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $30 + 21 + 21 = 72$ এবং গড় $= \dfrac{72}{3} = 24$ ✓।

উত্তর: খ) 30

2. $\left(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4}\right)^6 =$ কত?

ক) 12     খ) 48     গ) 86     ঘ) 144

সমাধান:

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$ এবং $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$

$\left(3^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{3}}\right)^6 = 3^{\frac{6}{3}} \times 4^{\frac{6}{3}} = 3^2 \times 4^2$

$= 9 \times 16 = 144$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{12}$, তাই $\left(12^{\frac{1}{3}}\right)^6 = 12^2 = 144$।

উত্তর: ঘ) 144

3. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি ছোট, কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি বড়, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক) 10 সে.মি     খ) 8 সে.মি     গ) 4 সে.মি     ঘ) 6 সে.মি

সমাধান:

ধরি, ভূমি $= x$ সেমি, তাহলে লম্ব $= (x - 2)$ সেমি এবং অতিভুজ $= (x + 2)$ সেমি।

পিথাগোরাসের সূত্র: $x^2 + (x - 2)^2 = (x + 2)^2$

বা, $x^2 + x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$ বা, $x^2 - 8x = 0$

বা, $x(x - 8) = 0$, $x = 8$ ($x = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়)।

অতিভুজ $= 8 + 2 = 10$ সেমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ভূমি $8$, লম্ব $6$, অতিভুজ $10$ এবং $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓ (পরিচিত $6$-$8$-$10$ ত্রয়ী)।

উত্তর: ক) 10 সে.মি

4. $M$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $x$ এবং $n$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $y$ হলে সব সংখ্যার গড় কত?

ক) $\dfrac{x + y}{mn}$     খ) $\dfrac{x + y}{m + n}$     গ) $\dfrac{mx + ny}{m + n}$     ঘ) $\dfrac{mx + ny}{mn}$

সমাধান:

$m$ সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি $= mx$।

$n$ সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি $= ny$।

মোট সংখ্যা $= m + n$, মোট সমষ্টি $= mx + ny$।

সব সংখ্যার গড় $= \dfrac{mx + ny}{m + n}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $m = n$ হলে গড় হয় $\dfrac{x + y}{2}$, যা সহজবোধ্য ভাবেই সঠিক।

উত্তর: গ) $\dfrac{mx + ny}{m + n}$

5. যদি $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{x-5}$ হয়, তবে $x$ এর মান কত?

ক) 8     খ) 3     গ) 5     ঘ) 4

সমাধান:

$\dfrac{b}{a} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}$, তাই ডানপক্ষ $= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-(x-5)} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{5-x}$

ভিত্তি এক হওয়ায় ঘাত সমান: $x - 3 = 5 - x$

বা, $2x = 8$, অতএব $x = 4$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 4$ হলে বামপক্ষ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^1$ এবং ডানপক্ষ $\left(\dfrac{b}{a}\right)^{-1} = \dfrac{a}{b}$ ✓।

উত্তর: ঘ) 4

6. $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}} =$ কত?

ক) $a$     খ) $1$     গ) $a^{\frac{1}{3}}$     ঘ) $a^3$

সমাধান:

ভেতরের মূল: $\sqrt[3]{a^3} = a$

বাইরের মূল: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}} = \left(a^3\right)^{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$।

উত্তর: গ) $a^{\frac{1}{3}}$

7. $4^x + 4^x + 4^x + 4^x$ এর মান নিচের কোনটি?

ক) $16^x$     খ) $4^{4x}$     গ) $2^{2x+2}$     ঘ) $2^{8x}$

সমাধান:

চারটি সমান পদের যোগফল: $4^x + 4^x + 4^x + 4^x = 4 \cdot 4^x$

$4 = 2^2$ এবং $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

$= 2^2 \cdot 2^{2x} = 2^{2x+2}$

ব্যাখ্যা: ভুল করে $4^x \times 4^x \times \cdots$ না করে মনে রাখুন: যোগ হলে সহগ ($4$ গুণ) হয়, ঘাত বাড়ে না।

উত্তর: গ) $2^{2x+2}$

8. যদি সেট $A = \{5, 15, 20, 30\}$ এবং $B = \{3, 5, 15, 20\}$ হয়, তবে নিচের কোনটি $A \cap B$ নির্দেশ করবে?

ক) $\{3, 18, 30\}$     খ) $\{3, 5, 15, 18, 20, 30\}$     গ) $\{3, 15, 30\}$     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

$A \cap B$ হলো যেসব উপাদান $A$ ও $B$ উভয় সেটেই আছে।

$A \cap B = \{5, 15, 20, 30\} \cap \{3, 5, 15, 20\} = \{5, 15, 20\}$

এই সেটটি কোনো অপশনেই নেই।

ব্যাখ্যা: $30$ কেবল $A$ তে এবং $3$ কেবল $B$ তে আছে, তাই দুটিই ছেদ থেকে বাদ যায়।

উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

9. রকিব সাহেব $3{,}73{,}899$ টাকা ব্যাংকে রাখলেন। $7\dfrac{1}{2}$ বছর পর তিনি আসল টাকার $1\dfrac{1}{4}$ অংশ সুদ পেলেন। ব্যাংকের সুদের হার কত?

ক) $12\dfrac{1}{2}\%$     খ) $16\dfrac{2}{3}\%$     গ) $8\dfrac{1}{3}\%$     ঘ) $11\dfrac{1}{9}\%$

সমাধান:

ধরি, আসল $P = 373899$ টাকা, সময় $t = 7\dfrac{1}{2} = 7.5$ বছর।

মোট সুদ $I = P \times 1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}P$

সুদের হার $r = \dfrac{I \times 100}{P \times t} = \dfrac{\frac{5}{4}P \times 100}{P \times 7.5} = \dfrac{125}{7.5}$

$= \dfrac{125}{7.5} = 16\dfrac{2}{3}\%$

ব্যাখ্যা: আসল টাকার অঙ্কটি এখানে অপ্রাসঙ্গিক, কারণ সুদের হার নির্ভর করে শুধু সুদ ও আসলের অনুপাত এবং সময়ের উপর।

উত্তর: খ) $16\dfrac{2}{3}\%$

10. নিচের কোনটি $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ এর সমান?

ক) $\sqrt{2}$     খ) $\dfrac{1}{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$     গ) $\dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}$     ঘ) $\dfrac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

সমাধান:

$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

$= \dfrac{5 - 3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

ব্যাখ্যা: সংখ্যা দিয়ে যাচাই: $\sqrt{5} - \sqrt{3} \approx 0.504$ এবং $\dfrac{2}{3.968} \approx 0.504$ ✓; $\sqrt{2} \approx 1.414$ তাই (ক) ভুল।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

11. ৫ জন তাঁত শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় বুনতে পারে। একই ধরনের ৭টি কাপড় বুনতে ৭ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?

ক) 5 দিন     খ) $\dfrac{25}{89}$ দিন     গ) $\dfrac{49}{25}$ দিন     ঘ) 7 দিন

সমাধান:

$5$ জন শ্রমিক $5$ দিনে $5$ টি কাপড় বোনে, তাই $1$ জন শ্রমিক $5$ দিনে $1$ টি কাপড় বোনে।

$7$ জন শ্রমিক $5$ দিনে $7$ টি কাপড় বুনবে।

অতএব সময় লাগবে $5$ দিন।

ব্যাখ্যা: সূত্র: $\dfrac{M_1 D_1}{W_1} = \dfrac{M_2 D_2}{W_2}$ থেকে $\dfrac{5 \times 5}{5} = \dfrac{7 \times D}{7}$, তাই $D = 5$।

উত্তর: ক) 5 দিন

12. $36 \cdot 2^{3x-8} = 3^2$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{7}{3}$     খ) 3     গ) $\dfrac{8}{3}$     ঘ) 2

সমাধান:

$36 \cdot 2^{3x-8} = 9$ বা, $2^{3x-8} = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{4} = 2^{-2}$, তাই $2^{3x-8} = 2^{-2}$

ভিত্তি সমান হওয়ায় $3x - 8 = -2$ বা, $3x = 6$, অতএব $x = 2$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 2$ হলে $2^{3 \times 2 - 8} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ এবং $36 \times \dfrac{1}{4} = 9 = 3^2$ ✓।

উত্তর: ঘ) 2

13. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমান $35°$ ও $55°$। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক) সমকোণী     খ) সমবাহু     গ) সমদ্বিবাহু     ঘ) স্থূলকোণী

সমাধান:

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180°$।

তৃতীয় কোণ $= 180° - (35° + 55°) = 180° - 90° = 90°$।

একটি কোণ $90°$ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: দুই কোণের যোগফল $90°$ হলে তৃতীয় কোণ নিশ্চিতভাবে সমকোণ।

উত্তর: ক) সমকোণী

14. $(x - y, 3) = (0, x + 2y)$ হলে $(x, y) =$ কত?

ক) $(1, 1)$     খ) $(1, 3)$     গ) $(-1, -1)$     ঘ) $(-3, 1)$

সমাধান:

ক্রমজোড় সমান হলে অনুরূপ উপাদানগুলো সমান: $x - y = 0$ ...(i) এবং $x + 2y = 3$ ...(ii)

(i) থেকে $x = y$। (ii) এ বসিয়ে: $y + 2y = 3$ বা, $3y = 3$, অতএব $y = 1$।

$x = y = 1$।

তাই $(x, y) = (1, 1)$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(x - y, 3) = (0, 3)$ এবং $(0, x + 2y) = (0, 3)$ ✓।

উত্তর: ক) $(1, 1)$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় $x = 1$, $y = 1$ পাওয়ার পর শেষ লাইনে ভুল করে $(1, 3)$ ছাপা হয়েছে। সঠিক মান $(1, 1)$ এবং এটি উত্তর-তালিকার (ক) এর সাথে মেলে।

15. $\dfrac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল $\dfrac{y}{x}$ হবে?

ক) $\dfrac{x^2 - y^2}{xy}$     খ) $\dfrac{2x^2 - y^2}{xy}$     গ) $\dfrac{y^2 - x^2}{xy}$     ঘ) $\dfrac{x^2 - 2y^2}{xy}$

সমাধান:

ধরি, যোগ করতে হবে $A$। তাহলে $\dfrac{x}{y} + A = \dfrac{y}{x}$

$A = \dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{y^2 - x^2}{xy}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 1$, $y = 2$ হলে $A = \dfrac{4 - 1}{2} = 1.5$ এবং $\dfrac{1}{2} + 1.5 = 2 = \dfrac{y}{x}$ ✓।

উত্তর: গ) $\dfrac{y^2 - x^2}{xy}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় (ক) দেওয়া আছে, কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেই $\dfrac{y^2 - x^2}{xy}$ এসেছে, যা অপশন (গ)। (ক) হলো এর বিপরীত চিহ্নের রাশি, তাই তালিকার চিহ্ন ভুল বলে মনে হয়। সঠিক উত্তর (গ)।

16. একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের $\dfrac{2}{3}$ অংশ। ঘরটির পরিসীমা $40$ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত?

ক) 60 বর্গ মিটার     খ) 96 বর্গ মিটার     গ) 72 বর্গ মিটার     ঘ) 64 বর্গ মিটার

সমাধান:

ধরি, দৈর্ঘ্য $= 3x$ মিটার, তাহলে প্রস্থ $= \dfrac{2}{3} \times 3x = 2x$ মিটার।

পরিসীমা $= 2(3x + 2x) = 10x = 40$, অতএব $x = 4$।

দৈর্ঘ্য $= 12$ মি., প্রস্থ $= 8$ মি.।

ক্ষেত্রফল $= 12 \times 8 = 96$ বর্গ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $2(12 + 8) = 40$ ✓ এবং $8 = \dfrac{2}{3} \times 12$ ✓।

উত্তর: খ) 96 বর্গ মিটার

17. $3$ সে.মি, $4$ সে.মি ও $5$ সে.মি বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক) 7.5 সে.মি     খ) 6.5 সে.মি     গ) 6 সে.মি     ঘ) 7 সে.মি

সমাধান:

তিনটি ঘনকের আয়তন: $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$ ঘন সেমি।

মোট আয়তন $= 27 + 64 + 125 = 216$ ঘন সেমি।

নতুন ঘনকের বাহু $a$ হলে $a^3 = 216$, অতএব $a = \sqrt[3]{216} = 6$ সেমি।

ব্যাখ্যা: গলালে আয়তন একই থাকে; $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$ একটি সুন্দর সংখ্যা-সম্পর্ক।

উত্তর: গ) 6 সে.মি

18. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $8$ সে.মি ও $9$ সে.মি। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক) 24 সে.মি     খ) 18 সে.মি     গ) 36 সে.মি     ঘ) 12 সে.মি

সমাধান:

রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 9 = 36$ বর্গ সেমি।

বর্গের বাহু $a$ হলে $a^2 = 36$, অতএব $a = 6$ সেমি।

বর্গের পরিসীমা $= 4a = 4 \times 6 = 24$ সেমি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: বাহু $6$ এর বর্গের ক্ষেত্রফল $36$ ✓।

উত্তর: ক) 24 সে.মি