32nd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড়।

দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সবসময় বিজোড়; তাই $xy$ ও $xy + 2$ বিজোড়।

$x + y$ জোড় হলে $x + y + 1$ বিজোড়।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: $x = 3$, $y = 5$ হলে $x + y = 8$ (জোড়), $xy = 15$ (বিজোড়), $xy + 2 = 17$ (বিজোড়), $x + y + 1 = 9$ (বিজোড়)।

উত্তর: ঘ) $x + y$

2. $7$ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 98 বর্গ সেমি     খ) 89 বর্গ সেমি     গ) 196 বর্গ সেমি     ঘ) 146 বর্গ সেমি

সমাধান:

বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান: কর্ণ $= 2 \times 7 = 14$ সেমি।

বর্গের বাহু $a$ হলে কর্ণ $= \sqrt{2}\,a$, তাই $\sqrt{2}\,a = 14$ বা, $2a^2 = 196$।

ক্ষেত্রফল $a^2 = \dfrac{196}{2} = 98$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: কর্ণ $d$ হলে বর্গের ক্ষেত্রফল = $\dfrac{d^2}{2} = \dfrac{14^2}{2} = 98$।

উত্তর: ক) 98 বর্গ সেমি

3. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

ক) $180°$     খ) $150°$     গ) $270°$     ঘ) $360°$

সমাধান:

ত্রিভুজের শীর্ষকোণ $A, B, C$ এবং তাদের বহিঃস্থ কোণ $x, y, z$।

$x = 180° - A$, $y = 180° - B$, $z = 180° - C$

$x + y + z = 540° - (A + B + C) = 540° - 180° = 360°$

ব্যাখ্যা: যেকোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি সবসময় $360°$।

উত্তর: ঘ) $360°$

4. $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ ধারাটির দশম পদ কত?

ক) 45     খ) 55     গ) 62     ঘ) 65

সমাধান:

পদগুলোর পার্থক্য: $2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ (প্রতিবার ১ করে বাড়ছে)।

$n$ তম পদ $= \dfrac{n(n+1)}{2}$, তাই দশম পদ $= \dfrac{10 \times 11}{2} = 55$।

ব্যাখ্যা: ধাপে ধাপে: $21 + 7 = 28$, $28 + 8 = 36$, $36 + 9 = 45$, $45 + 10 = 55$।

উত্তর: খ) 55

5. $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} =$ কত?

ক) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$     খ) $3 - \sqrt{2}$     গ) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$     ঘ) $\sqrt{3} + 2$

সমাধান:

হর মূলদীকরণের জন্য $(\sqrt{6} - 2)$ দিয়ে লব ও হরকে গুণ করি:

$\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \dfrac{\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{6 - 4}$

$= \dfrac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: বামপক্ষ $\approx \dfrac{1.414}{4.449} = 0.318$ এবং ডানপক্ষ $1.732 - 1.414 = 0.318$ ✓।

উত্তর: গ) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

6. $x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক) $4xy$     খ) $2xy$     গ) $6xy$     ঘ) $8xy$

সমাধান:

রাশিটি: $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16$

$(x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$

দুটি তুলনা করলে দেখা যায়, $2xy$ যোগ করলেই পূর্ণবর্গ হয়।

ব্যাখ্যা: পূর্ণবর্গ হতে হলে $x$ ও $y$ এর গুণফলের পদ $2xy$ থাকা দরকার; রাশিতে সেটিই নেই।

উত্তর: খ) $2xy$

7. টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক) 50%     খ) 20%     গ) 30%     ঘ) 33%

সমাধান:

১টি লেবুর ক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{3}$ টাকা, বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{2}$ টাকা।

লাভ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \dfrac{1/6}{1/3} \times 100 = 50\%$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $\dfrac{3 - 2}{2} \times 100 = 50\%$।

উত্তর: ক) 50%

8. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 3 গুণ     খ) 9 গুণ     গ) 12 গুণ     ঘ) 16 গুণ

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r$ হলে ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ এবং ব্যাস $= 2r$।

ব্যাস $3$ গুণ হলে ব্যাসার্ধ হয় $3r$।

নতুন ক্ষেত্রফল $= \pi (3r)^2 = 9\pi r^2 = 9 \times$ (আগের ক্ষেত্রফল)।

ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক, তাই ব্যাস $k$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল $k^2$ গুণ হয়।

উত্তর: খ) 9 গুণ

9. একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?

ক) $180°$     খ) $270°$     গ) $360°$     ঘ) $540°$

সমাধান:

১ মিনিট $= 60$ সেকেন্ডে চাকা ঘোরে $90$ বার।

১ সেকেন্ডে ঘোরে $\dfrac{90}{60} = \dfrac{3}{2}$ বার।

১ বার ঘুরলে চাকা $360°$ ঘোরে, তাই $\dfrac{3}{2}$ বারে ঘোরে $360° \times \dfrac{3}{2} = 540°$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $\dfrac{360° \times 90}{60} = 540°$।

উত্তর: ঘ) $540°$

10. $ABCD$ চতুর্ভুজে $AB \parallel CD$, $AC = BD$ এবং $\angle A = 90°$ হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

ক) সামান্তরিক     খ) রম্বস     গ) ট্রাপিজিয়াম     ঘ) আয়তক্ষেত্র

সমাধান:

$AB \parallel CD$ এবং $\angle A = 90°$ হওয়ায় $AD \perp AB$ ও $AD \perp CD$।

$A$ কে মূলবিন্দু ধরে $B = (b, 0)$, $D = (0, d)$, $C = (c, d)$ নিলে $AC^2 = c^2 + d^2$ এবং $BD^2 = b^2 + d^2$।

$AC = BD$ থেকে $c = b$, অর্থাৎ $ABDC$ এর বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং এক কোণ সমকোণ।

অতএব চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র।

ব্যাখ্যা: বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং কর্ণ সমান হলে চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র হয়।

উত্তর: ঘ) আয়তক্ষেত্র

11. কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

ক) $\dfrac{5}{6}$     খ) $\dfrac{12}{15}$     গ) $\dfrac{11}{18}$     ঘ) $\dfrac{17}{21}$

সমাধান:

দশমিক মান: $\dfrac{5}{6} \approx 0.833$; $\dfrac{12}{15} = 0.8$; $\dfrac{11}{18} \approx 0.611$; $\dfrac{17}{21} \approx 0.810$

ক্ষুদ্রতম $= \dfrac{11}{18}$।

ব্যাখ্যা: আড়গুণন দিয়ে: $\dfrac{11}{18}$ বনাম $\dfrac{12}{15}$: $11 \times 15 = 165 < 12 \times 18 = 216$, তাই $\dfrac{11}{18}$ ছোট।

উত্তর: গ) $\dfrac{11}{18}$

12. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল $120$ হলে তাদের মোট যোগফল কত?

ক) 9     খ) 14     গ) 15     ঘ) 10

সমাধান:

$120 = 4 \times 5 \times 6$ এবং $4, 5, 6$ পরপর তিনটি সংখ্যা।

যোগফল $= 4 + 5 + 6 = 15$।

ব্যাখ্যা: $\sqrt[3]{120} \approx 4.9$, তাই মাঝের সংখ্যা $5$ ধরে পরীক্ষা করাই দ্রুততম পথ।

উত্তর: গ) 15

13. $0.4\dot{7}$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করলে কত হবে?

ক) $\dfrac{47}{90}$     খ) $\dfrac{43}{90}$     গ) $\dfrac{43}{99}$     ঘ) $\dfrac{47}{99}$

সমাধান:

মিশ্র আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ: ($7$ আবৃত্ত, $4$ অনাবৃত্ত)।

সূত্র: আবৃত্ত দশমিকে লব = (সম্পূর্ণ সংখ্যা) − (অনাবৃত্ত অংশ), আর হর = আবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা অনুযায়ী ৯ এবং অনাবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা অনুযায়ী ০ (এখানে হর ৯০)।

$0.4\dot{7} = \dfrac{47 - 4}{90} = \dfrac{43}{90}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{43}{90} = 0.4777\ldots$ ✓।

উত্তর: খ) $\dfrac{43}{90}$

14. $x^2 - y^2 + 2y - 1$ এর একটি উৎপাদক-

ক) $x^2 + y^2 + 1$     খ) $x - y$     গ) $x + y - 1$     ঘ) $x - y - 1$

সমাধান:

$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

$= x^2 - (y - 1)^2$

$= (x + y - 1)(x - y + 1)$

ব্যাখ্যা: শেষ তিন পদকে $-(y - 1)^2$ হিসেবে দেখতে পারলেই $a^2 - b^2$ সূত্র খাটে।

উত্তর: গ) $x + y - 1$

15. $\log_2 8 =$ কত?

ক) 4     খ) 3     গ) 2     ঘ) 1

সমাধান:

$8 = 2^3$

$\log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3 \times 1 = 3$

ব্যাখ্যা: প্রশ্ন করা হয়: $2$ এর কত ঘাত $8$ হয়? উত্তর $3$।

উত্তর: খ) 3

16. $x^3 + x^2 y$, $x^2 y + x y^2$ এর ল.সা.গু. কোনটি?

ক) $xy$     খ) $x + y$     গ) $xy(x + y)$     ঘ) $x^2 y(x + y)$

সমাধান:

প্রথম রাশি: $x^3 + x^2 y = x^2(x + y)$

দ্বিতীয় রাশি: $x^2 y + x y^2 = xy(x + y)$

ল.সা.গু. $=$ প্রতিটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল $= x^2 y (x + y)$

ব্যাখ্যা: গ.সা.গু. হতো সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল: $x(x + y)$; প্রশ্নে ল.সা.গু. চাওয়া হয়েছে।

উত্তর: ঘ) $x^2 y(x + y)$

17. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা $4$ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা $32$ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত?

ক) 6 মিটার     খ) 10 মিটার     গ) 18 মিটার     ঘ) 12 মিটার

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ $= x$ মিটার, দৈর্ঘ্য $= (x + 4)$ মিটার।

পরিসীমা: $2(x + 4 + x) = 32$ বা, $2x + 4 = 16$

বা, $2x = 12$, অতএব $x = 6$।

দৈর্ঘ্য $= 6 + 4 = 10$ মিটার।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: দৈর্ঘ্য $+$ প্রস্থ $= 16$ এবং পার্থক্য $= 4$; দৈর্ঘ্য $= \dfrac{16 + 4}{2} = 10$।

উত্তর: খ) 10 মিটার

18. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য $2$ মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল $3\sqrt{3}$ বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 1 মিটার     খ) 2 মিটার     গ) 3 মিটার     ঘ) 4 মিটার

সমাধান:

ধরি, বাহু $= a$ মিটার। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$।

শর্তমতে, $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a + 2)^2 - \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 3\sqrt{3}$

বা, $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(4a + 4) = 3\sqrt{3}$ বা, $\sqrt{3}(a + 1) = 3\sqrt{3}$

বা, $a + 1 = 3$, অতএব $a = 2$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $a = 2$ হলে আগের ক্ষেত্রফল $\sqrt{3}$ এবং নতুন (বাহু $4$) ক্ষেত্রফল $4\sqrt{3}$; পার্থক্য $3\sqrt{3}$ ✓।

উত্তর: খ) 2 মিটার

19. $x - \dfrac{1}{x} = 7$ হলে, $x^3 - \left(\dfrac{1}{x}\right)^3$ এর মান কত?

ক) 334     খ) 154     গ) 364     ঘ) 512

সমাধান:

সূত্র: $x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)$

$= 7^3 + 3 \times 7 = 343 + 21 = 364$

ব্যাখ্যা: মনে রাখুন: ঘনের ক্ষেত্রে সূত্র $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$ এবং এখানে $ab = x \cdot \dfrac{1}{x} = 1$।

উত্তর: গ) 364

20. সেট $A = \{x \in N : x^2 > 8,\ x^3 < 30\}$ হলে $x$ এর সঠিক মান কোনটি?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 5

সমাধান:

$x = 2$ হলে $2^2 = 4 > 8$ সত্য নয়।

$x = 3$ হলে $3^2 = 9 > 8$ সত্য এবং $3^3 = 27 < 30$ সত্য।

$x = 4$ হলে $4^3 = 64 < 30$ সত্য নয়; $x = 5$ এর ক্ষেত্রেও নয়।

তাই শর্ত দুটি একসাথে মেলে শুধু $x = 3$ এর জন্য।

ব্যাখ্যা: $x^3 < 30$ থেকে $x \le 3$ এবং $x^2 > 8$ থেকে $x \ge 3$, অর্থাৎ $x = 3$।

উত্তর: খ) 3