31st BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

দশমিক মান: $\dfrac{2}{11} \approx 0.1818$; $\dfrac{3}{11} \approx 0.2727$; $\dfrac{2}{13} \approx 0.1538$; $\dfrac{8}{15} \approx 0.5333$

তুলনা: $0.1538 < 0.1818 < 0.2727 < 0.5333$

ব্যাখ্যা: দ্রুত পথ: লব সমান হলে হর বড় যার, ভগ্নাংশ ছোট তার। $\dfrac{2}{11}$ ও $\dfrac{2}{13}$ এর মধ্যে $\dfrac{2}{13}$ ছোট; বাকি দুটি স্পষ্টতই বড়।

উত্তর: গ) $\dfrac{2}{13}$

2. যদি $\dfrac{Q}{P} = \dfrac{1}{4}$ হয়, তবে $\dfrac{P + Q}{P - Q}$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{5}{3}$     খ) $\dfrac{2}{3}$     গ) $\dfrac{3}{5}$     ঘ) $\dfrac{5}{7}$

সমাধান:

$\dfrac{Q}{P} = \dfrac{1}{4}$ থেকে $\dfrac{P}{Q} = 4$।

লব ও হরকে $Q$ দিয়ে ভাগ করে: $\dfrac{P + Q}{P - Q} = \dfrac{\frac{P}{Q} + 1}{\frac{P}{Q} - 1} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}$

ব্যাখ্যা: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: $P = 4$, $Q = 1$ ধরলে $\dfrac{5}{3}$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{5}{3}$

3. রহিম, করিম এবং গাজী তিন জনে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে $15$, $6$ এবং $10$ দিনে। তাহারা একত্রে তিন জনে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

ক) 21 দিনে     খ) 18 দিনে     গ) 7 দিনে     ঘ) 15 দিনে

সমাধান:

তিনজন মিলে ১ দিনে করে $\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10}$ অংশ।

$= \dfrac{2 + 5 + 3}{30} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$ অংশ।

তাই কাজটি শেষ হবে $3$ দিনে।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3$ দিনে রহিম করে $\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$, করিম $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, গাজী $\dfrac{3}{10}$; যোগ করলে $\dfrac{2 + 5 + 3}{10} = 1$ ✓।

উত্তর: কোনো অপশনই সঠিক নয়; সঠিক উত্তর 3 দিন

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর ($3$ দিন) নেই। বইয়ের উত্তরমালাতেও এটিকে "নোট" হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে।

4. কোনো সংখ্যার $40\%$ এর সাথে $42$ যোগ করলে ফলাফল হবে ঐ সংখ্যাটি। উহা কত?

ক) 70     খ) 80     গ) 90     ঘ) 75

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $x \times 40\% + 42 = x$

বা, $x - \dfrac{40x}{100} = 42$ বা, $\dfrac{60x}{100} = 42$

বা, $x = \dfrac{42 \times 100}{60} = 70$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $70$ এর $40\% = 28$ এবং $28 + 42 = 70$ ✓।

উত্তর: ক) 70

5. কোনো সংখ্যার $60\%$ থেকে $60$ বিয়োগ করলে ফলাফল হবে $60$। তবে সংখ্যাটি কত?

ক) 250     খ) 100     গ) 200     ঘ) 300

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $\dfrac{60x}{100} - 60 = 60$ বা, $\dfrac{60x}{100} = 120$

বা, $60x = 12000$, অতএব $x = 200$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $200$ এর $60\% = 120$ এবং $120 - 60 = 60$ ✓।

উত্তর: গ) 200

6. $\log_2 \dfrac{1}{32}$ এর মান-

ক) $\dfrac{1}{25}$     খ) $-5$     গ) $\dfrac{1}{5}$     ঘ) $-\dfrac{1}{5}$

সমাধান:

$\dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$\log_2 2^{-5} = -5 \log_2 2 = -5 \times 1 = -5$

ব্যাখ্যা: যেকোনো সংখ্যার ভিত্তিতে নিজের লগ $1$ এবং ভগ্নাংশের লগ ঋণাত্মক হয় (এখানে $\dfrac{1}{32} < 1$)।

উত্তর: খ) $-5$

7. যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে $4$ cm এবং $6$ cm হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 6 বর্গসেমি     খ) 8 বর্গসেমি     গ) 12 বর্গসেমি     ঘ) 24 বর্গসেমি

সমাধান:

রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

$= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে; চারটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করলেও $12$ পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) 12 বর্গসেমি

8. $(4x^2 - 16)$ এবং $6x^2 + 24x + 24$ এর গ.সা.গু.

ক) $x + 2$     খ) $x + 4$     গ) $x - 2$     ঘ) $2(x + 2)$

সমাধান:

প্রথম রাশি: $4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 4(x + 2)(x - 2)$

দ্বিতীয় রাশি: $6x^2 + 24x + 24 = 6(x^2 + 4x + 4) = 6(x + 2)^2$

সংখ্যার গ.সা.গু. $= 2$ ($4$ ও $6$ এর) এবং সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক $(x + 2)$।

গ.সা.গু. $= 2(x + 2)$

ব্যাখ্যা: সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. ($4$ ও $6$ এর $= 2$) ভুলে গেলে ক) পাওয়া যায়, তাই সহগ নিয়ে সতর্ক থাকতে হবে।

উত্তর: ঘ) $2(x + 2)$

9. $x^3 - x^2$ কে $x - 2$ দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে-

ক) 2     খ) 4     গ) -6     ঘ) -8

সমাধান:

ভাগশেষ উপপাদ্য: $f(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $= f(a)$।

এখানে $f(x) = x^3 - x^2$ এবং $a = 2$।

$f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x^3 - x^2 = (x - 2)(x^2 + x + 2) + 4$ ✓।

উত্তর: খ) 4

10. যদি $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 51$ হয়, তবে $a - \dfrac{1}{a}$ এর মান কত?

ক) $\pm 9$     খ) $\pm 7$     গ) $\pm 5$     ঘ) $\pm 3$

সমাধান:

$\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \dfrac{1}{a^2} - 2 = 51 - 2 = 49$

$a - \dfrac{1}{a} = \pm 7$

ব্যাখ্যা: বর্গমূল নেওয়ার সময় $\pm$ ভুলে গেলে চলবে না; অপশনে $\pm$ চিহ্ন সেই ইঙ্গিতই দেয়।

উত্তর: খ) $\pm 7$

11. দুইটি সংখ্যার যোগফল $48$ এবং তাদের গুণফল $432$ তবে বড় সংখ্যাটি কত?

ক) 36     খ) 37     গ) 38     ঘ) 40

সমাধান:

ধরি, একটি সংখ্যা $x$, অপরটি $(48 - x)$।

শর্তমতে, $x(48 - x) = 432$ বা, $x^2 - 48x + 432 = 0$

বা, $x^2 - 36x - 12x + 432 = 0$ বা, $(x - 36)(x - 12) = 0$

$x = 36$ অথবা $x = 12$।

সংখ্যা দুটি $36$ ও $12$; বড় সংখ্যা $36$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $36 + 12 = 48$ এবং $36 \times 12 = 432$ ✓।

উত্তর: ক) 36

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ে মূল প্রশ্নের গুণফল অংশটি অস্পষ্ট ছাপা ("৪ ও ২"), কিন্তু বইয়ের সমাধানে গুণফল $432$ ধরা হয়েছে এবং উত্তর $36$ মেলে। আমরাও তাই $432$ ধরে সমাধান করেছি।

12. $f(x) = x^3 - 2x + 10$ হলে $f(0)$ কত?

ক) 1     খ) 5     গ) 8     ঘ) 10

সমাধান:

$f(0) = 0^3 - 2 \times 0 + 10$

$= 0 - 0 + 10 = 10$

ব্যাখ্যা: বহুপদীতে $x = 0$ বসালে শুধু ধ্রুবক পদটিই থাকে।

উত্তর: ঘ) 10

13. যদি দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে $20$ এবং $96$ হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?

ক) $\dfrac{1}{8}$     খ) $\dfrac{1}{6}$     গ) $\dfrac{3}{4}$     ঘ) $\dfrac{5}{24}$

সমাধান:

সংখ্যা দুটি $a$ ও $b$ হলে, $a + b = 20$ এবং $ab = 96$।

ব্যস্তানুপাতিক যোগফল $= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a + b}{ab}$

$= \dfrac{20}{96} = \dfrac{5}{24}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: সংখ্যা দুটি $12$ ও $8$ ($12 + 8 = 20$, $12 \times 8 = 96$); $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2 + 3}{24} = \dfrac{5}{24}$ ✓।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{5}{24}$

14. $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 100$ বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাঙ্ক কত?

ক) $(0, 0)$     খ) $(4, -3)$     গ) $(-4, 3)$     ঘ) $(10, 10)$

সমাধান:

বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, যেখানে কেন্দ্র $(a, b)$।

প্রদত্ত সমীকরণ: $(x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = 10^2$

অতএব কেন্দ্র $(4, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $10$।

ব্যাখ্যা: সমীকরণের চিহ্ন উল্টো করে কেন্দ্র লিখতে হয়: $(x - 4)$ থেকে $+4$, $(y + 3)$ থেকে $-3$।

উত্তর: খ) $(4, -3)$

15. একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $20$ m, $21$ m এবং $29$ m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক) 200 বর্গমিটার     খ) 210 বর্গমিটার     গ) 290 বর্গমিটার     ঘ) 300 বর্গমিটার

সমাধান:

পরিসীমার অর্ধেক $s = \dfrac{20 + 21 + 29}{2} = 35$

হেরনের সূত্র: ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

$= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6} = \sqrt{44100} = 210$ বর্গ মিটার।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী; ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 20 \times 21 = 210$।

উত্তর: খ) 210 বর্গমিটার

16. $0, 1, 2$ এবং $3$ দ্বারা গঠিত চার অংকের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল-

ক) 3147     খ) 2287     গ) 2987     ঘ) 2187

সমাধান:

বৃহত্তম সংখ্যা বানাতে বড় অঙ্ক আগে বসাই: $3210$।

ক্ষুদ্রতম চার অঙ্কের সংখ্যা বানাতে প্রথমে শূন্য বসানো যাবে না: $1023$।

বিয়োগফল $= 3210 - 1023 = 2187$।

ব্যাখ্যা: ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় প্রথম অঙ্ক $0$ হলে সেটি চার অঙ্কের সংখ্যা থাকে না ($0123 = 123$); তাই সর্বনিম্ন অশূন্য অঙ্ক $1$ আগে বসে, তারপর $0, 2, 3$।

উত্তর: ঘ) 2187

17. যদি $(64)^{\frac{2}{3}} + (625)^{\frac{1}{2}} = 3k$ হয়, তবে $k$ এর মান-

ক) $9\dfrac{2}{3}$     খ) $11\dfrac{1}{3}$     গ) $12\dfrac{2}{3}$     ঘ) $13\dfrac{2}{3}$

সমাধান:

$(64)^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16$

$(625)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{625} = 25$

$16 + 25 = 3k$ বা, $41 = 3k$

অতএব $k = \dfrac{41}{3} = 13\dfrac{2}{3}$

ব্যাখ্যা: $64 = 4^3$ এবং $625 = 25^2$ চিনে রাখলে ঘাতের হিসাব এক লাইনে হয়ে যায়।

উত্তর: ঘ) $13\dfrac{2}{3}$

18. $3x - 7y + 10 = 0$ এবং $y - 2x - 3 = 0$ এর সমাধান-

ক) $x = 1, y = -1$     খ) $x = 1, y = 1$     গ) $x = -1, y = -1$     ঘ) $x = -1, y = 1$

সমাধান:

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে $y = 2x + 3$।

প্রথম সমীকরণে বসিয়ে: $3x - 7(2x + 3) + 10 = 0$

বা, $3x - 14x - 21 + 10 = 0$ বা, $-11x = 11$, অতএব $x = -1$।

$y = 2(-1) + 3 = 1$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: প্রথমে $3(-1) - 7(1) + 10 = -3 - 7 + 10 = 0$ ✓; দ্বিতীয়ে $1 + 2 - 3 = 0$ ✓।

উত্তর: ঘ) $x = -1, y = 1$

19. যদি $a + b = 2$, $ab = 1$ হয়, তবে $a$ এবং $b$ এর মান যথাক্রমে-

ক) $(0, 2)$     খ) $(1, 1)$     গ) $(-1, 3)$     ঘ) $(-3, -4)$

সমাধান:

$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 2^2 - 4 \times 1 = 0$

অতএব $a - b = 0$, অর্থাৎ $a = b$।

$a + b = 2$ থেকে $2a = 2$, তাই $a = 1$ এবং $b = 1$।

ব্যাখ্যা: অপশন যাচাই: শুধু $(1, 1)$ এ $a + b = 2$ ও $ab = 1$ দুটিই মেলে; $(0, 2)$ এ গুণফল $0$, $(-1, 3)$ এ যোগফল $2$ কিন্তু গুণফল $-3$।

উত্তর: খ) $(1, 1)$

20. $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + x^2$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}$     খ) $\dfrac{x(x+1)}{2}$     গ) $x$     ঘ) $\left\{\dfrac{x(x+1)}{2}\right\}^2$

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।

এখানে $n = x$, তাই সমষ্টি $= \dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 3$ হলে $1 + 4 + 9 = 14$ এবং $\dfrac{3 \times 4 \times 7}{6} = 14$ ✓। (ঘ) হলো ঘনের সমষ্টির সূত্র: $1^3 + 2^3 + \cdots + x^3$।

উত্তর: ক) $\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}$