30th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$, $24 = 2^3 \times 3$

ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3^2 = 72$

যোগফল $72$ হলে সংখ্যাটি $= 72 - 2 = 70$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $70 + 2 = 72$ এবং $72$ কে $12$, $18$, $24$ দিয়ে ভাগ করলে নিঃশেষে বিভাজ্য ($6$, $4$, $3$)।

উত্তর: খ) 70

2. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

ক) 91     খ) 87     গ) 63     ঘ) 59

সমাধান:

$91 = 7 \times 13$ (মৌলিক নয়)

$87 = 3 \times 29$ (মৌলিক নয়)

$63 = 3 \times 3 \times 7$ (মৌলিক নয়)

$59$ কে $2, 3, 5, 7$ কোনোটি দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাই $59$ মৌলিক।

ব্যাখ্যা: $\sqrt{59} < 8$, তাই $7$ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা দিয়ে পরীক্ষা করাই যথেষ্ট।

উত্তর: ঘ) 59

3. নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

ক) $0.3$     খ) $\sqrt{0.3}$     গ) $\dfrac{1}{3}$     ঘ) $\dfrac{2}{5}$

সমাধান:

দশমিক মান: $0.3$; $\sqrt{0.3} \approx 0.5477$; $\dfrac{1}{3} \approx 0.3333$; $\dfrac{2}{5} = 0.4$

তুলনা: $0.3 < 0.3333 < 0.4 < 0.5477$

ক্ষুদ্রতম $= 0.3$।

ব্যাখ্যা: $0.3 = \dfrac{3}{10}$ আর $\dfrac{1}{3} = \dfrac{3.33}{10}$, তাই $0.3$ ছোট; আর $0 < x < 1$ হলে $\sqrt{x} > x$ হয়, তাই বর্গমূলযুক্ত সংখ্যাটি বড়।

উত্তর: ক) $0.3$

4. একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড়, ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

ক) 340     খ) 341     গ) 342     ঘ) 344

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $x - 301 = 381 - x$

বা, $2x = 682$, অতএব $x = 341$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: সংখ্যাটি দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝে থাকে, তাই গড় নিলেই হয়: $\dfrac{301 + 381}{2} = 341$।

উত্তর: খ) 341

5. ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারে?

ক) 25 দিনে     খ) 30 দিনে     গ) 35 দিনে     ঘ) 40 দিনে

সমাধান:

ক ও খ মিলে ১ দিনে করে $\dfrac{1}{12}$ অংশ।

ক একা ১ দিনে করে $\dfrac{1}{20}$ অংশ।

খ একা ১ দিনে করে $\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{5 - 3}{60} = \dfrac{1}{30}$ অংশ।

তাই খ একা কাজটি করবে $30$ দিনে।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট সূত্র: $\dfrac{mn}{n - m} = \dfrac{20 \times 12}{20 - 12} = 30$।

উত্তর: খ) 30 দিনে

6. $f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9$; $k$ এর মান কত হলে $f(3) = 0$ হবে?

ক) 1     খ) -1     গ) 2     ঘ) 0

সমাধান:

$f(3) = 3^3 + k \cdot 3^2 - 6 \times 3 - 9 = 0$

বা, $27 + 9k - 18 - 9 = 0$

বা, $9k = 0$, অতএব $k = 0$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $k = 0$ হলে $f(x) = x^3 - 6x - 9$ এবং $f(3) = 27 - 18 - 9 = 0$ ✓।

উত্তর: ঘ) 0

7. $x > y$ এবং $z < 0$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) $xz > yz$     খ) $\dfrac{x}{z} > \dfrac{y}{z}$     গ) $\dfrac{z}{x} < \dfrac{z}{y}$     ঘ) $xz < yz$

সমাধান:

অসমতার নিয়ম: উভয় পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়।

$x > y$ কে $z$ ($< 0$) দিয়ে গুণ করলে $xz < yz$ হয়।

একই কারণে $\dfrac{x}{z} < \dfrac{y}{z}$ হয়, তাই (ক) ও (খ) ভুল।

ব্যাখ্যা: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: $x = 3$, $y = 2$, $z = -1$ হলে $xz = -3$, $yz = -2$ এবং $-3 < -2$। (গ) তে $\dfrac{z}{x} = -\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{z}{y} = -\dfrac{1}{2}$ এবং $-\dfrac{1}{3} > -\dfrac{1}{2}$, তাই (গ) ভুল।

উত্তর: ঘ) $xz < yz$

8. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১২৫০ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 30 মি.     খ) 40 মি.     গ) 50 মি.     ঘ) 60 মি.

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ $= x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য $= 2x$ মিটার।

ক্ষেত্রফল: $2x \times x = 1250$ বা, $x^2 = 625$, অতএব $x = 25$।

দৈর্ঘ্য $= 2x = 2 \times 25 = 50$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $50 \times 25 = 1250$ ✓।

উত্তর: গ) 50 মি.

9. নিম্নের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

ক) $ax^2 + bx + c = 0$     খ) $y^2 = ax$     গ) $x^2 + y^2 = 16$     ঘ) $y^2 = 2x + 7$

সমাধান:

কেন্দ্র $(a, b)$ ও ব্যাসার্ধ $r$ হলে বৃত্তের সমীকরণ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$।

কেন্দ্র মূলবিন্দুতে হলে সমীকরণ $x^2 + y^2 = r^2$।

$x^2 + y^2 = 16$ এ $r = 4$, তাই এটি বৃত্তের সমীকরণ।

(ক) দ্বিঘাত সমীকরণ, (খ) ও (ঘ) পরাবৃত্তের সমীকরণ।

ব্যাখ্যা: বৃত্তের সমীকরণে $x^2$ ও $y^2$ এর সহগ সমান এবং $xy$ পদ থাকে না।

উত্তর: গ) $x^2 + y^2 = 16$

10. $a - \dfrac{1}{a} = 3$ হলে $a^3 + \dfrac{1}{a^3}$ এর মান কত?

ক) 9     খ) 18     গ) 27     ঘ) 36

সমাধান:

বইয়ের উদ্দেশ্য অনুযায়ী প্রশ্নটি হওয়া উচিত $a + \dfrac{1}{a} = 3$।

তখন $a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 - 3\left(a + \dfrac{1}{a}\right)$

$= 3^3 - 3 \times 3 = 27 - 9 = 18$

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে যেমন আছে ($a - \dfrac{1}{a} = 3$) তেমন ধরলে: $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 = 9 + 4 = 13$ এবং $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 11$, তাই $a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \pm\sqrt{13} \times 10 \approx \pm 36.06$, যা কোনো অপশনের সাথেই মেলে না।

উত্তর: খ) 18 (সংশোধিত প্রশ্নে)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে চিহ্নের ভুল আছে। $a - \dfrac{1}{a} = 3$ ধরলে $a^3 + \dfrac{1}{a^3}$ এর মান অপশনে নেই। প্রশ্নটি $a + \dfrac{1}{a} = 3$ হলে উত্তর $18$ (অপশন খ), যা বইয়ের কী-এর সাথে মেলে। আর $a - \dfrac{1}{a} = 3$ ধরে $a^3 - \dfrac{1}{a^3}$ চাইলে উত্তর হতো $27 + 9 = 36$ (অপশন ঘ)।

11. $\log_a\left(\dfrac{m}{n}\right) =$ কত?

ক) $\log_a m - \log_a n$     খ) $\log_a m + \log_a n$     গ) $\log_a m \times \log_a n$     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

লগারিদমের ভাগের সূত্র: $\log_a \dfrac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$।

ব্যাখ্যা: গুণের সূত্র: $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$; ভাগের ক্ষেত্রে যোগ হয়ে যায় বিয়োগ।

উত্তর: ক) $\log_a m - \log_a n$

12. $a + b = 7$ এবং $a^2 + b^2 = 25$ হলে নিচের কোনটি $ab$ এর মান হবে?

ক) 12     খ) 10     গ) 6     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

$7^2 = 25 + 2ab$ বা, $49 - 25 = 2ab$

$2ab = 24$, অতএব $ab = 12$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $ab = \dfrac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = \dfrac{49 - 25}{2} = 12$।

উত্তর: ক) 12

13. দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কী বলে?

ক) সন্নিহিত কোণ     খ) সরল কোণ     গ) পুরক কোণ     ঘ) সম্পূরক কোণ

সমাধান:

দুটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ ($180°$) হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ ($90°$) হলে তাদের পুরক কোণ বলে।

ব্যাখ্যা: মনে রাখার উপায়: সম্পূরক $= 180°$, পুরক $= 90°$ (প্রথম অক্ষর "সম" মানে বেশি, "পু" মানে কম)।

উত্তর: ঘ) সম্পূরক কোণ

14. বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা-কে কী বলা হয়?

ক) ব্যাস     খ) ব্যাসার্ধ     গ) বৃত্তচাপ     ঘ) পরিধি

সমাধান:

বৃত্তের যে জ্যা কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস বলে।

ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এবং এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

ব্যাখ্যা: ব্যাসার্ধ জ্যা নয়, কারণ এর একটি প্রান্ত কেন্দ্রে ও অন্যটি বৃত্তের উপর থাকে।

উত্তর: ক) ব্যাস

15. ৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

ক) 8     খ) 14     গ) 16     ঘ) 12

সমাধান:

চতুর্থ সমানুপাতিক $x$ হলে, $3 : 9 = 4 : x$

বা, $\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{x}$ বা, $3x = 36$

অতএব $x = 12$।

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a, b, c$ এর চতুর্থ সমানুপাতিক $= \dfrac{b \times c}{a} = \dfrac{9 \times 4}{3} = 12$।

উত্তর: ঘ) 12

16. $13\dfrac{3}{4}\%$ এর সমান-

ক) $\dfrac{11}{80}$     খ) $\dfrac{11}{20}$     গ) $\dfrac{1}{9}$     ঘ) $\dfrac{1}{8}$

সমাধান:

$13\dfrac{3}{4}\% = \dfrac{55}{4}\%$

$= \dfrac{55}{4 \times 100} = \dfrac{55}{400}$

$= \dfrac{11}{80}$ (৫ দিয়ে ভাগ করে)।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{11}{80} = 0.1375 = 13.75\%$ ✓।

উত্তর: ক) $\dfrac{11}{80}$

17. $3x^3 + 2x^2 - 21x - 20$ রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

ক) $x + 2$     খ) $x - 2$     গ) $x + 1$     ঘ) $x - 1$

সমাধান:

ধরি, $f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 21x - 20$।

$f(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 21(-1) - 20 = -3 + 2 + 21 - 20 = 0$

$f(-1) = 0$ হওয়ায় উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $(x + 1)$ একটি উৎপাদক।

ব্যাখ্যা: অন্য অপশন পরীক্ষা: $f(-2) = -24 + 8 + 42 - 20 = 6 \ne 0$, $f(2) = 24 + 8 - 42 - 20 = -30 \ne 0$, $f(1) = 3 + 2 - 21 - 20 = -36 \ne 0$।

উত্তর: গ) $x + 1$

18. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব হবে?

ক) $6 : 5 : 4$     খ) $3 : 4 : 5$     গ) $12 : 8 : 4$     ঘ) $6 : 4 : 3$

সমাধান:

সমকোণী ত্রিভুজ হতে হলে বৃহত্তম বাহুর বর্গ $=$ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি (পিথাগোরাসের সূত্র) হতে হবে।

ক) $4^2 + 5^2 = 41 \ne 6^2 = 36$

খ) $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓

গ) $4^2 + 8^2 = 80 \ne 12^2 = 144$ (তাছাড়া $4 + 8 = 12$ হওয়ায় ত্রিভুজই হয় না)

ঘ) $3^2 + 4^2 = 25 \ne 6^2 = 36$

ব্যাখ্যা: $3 : 4 : 5$ হলো সবচেয়ে পরিচিত পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী; অপশন যাচাইয়ে এটি আগে খুঁজলে সময় বাঁচে।

উত্তর: খ) $3 : 4 : 5$

19. একটি মিনারের পাদদেশ হতে $20$ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ $30°$ হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

ক) $20\sqrt{3}$ মিটার     খ) $\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ মিটার     গ) $20$ মিটার     ঘ) $10\sqrt{3}$ মিটার

সমাধান:

ধরি, মিনারের উচ্চতা $h$ মিটার। সমকোণী ত্রিভুজে $\tan 30° = \dfrac{h}{20}$।

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{20}$ বা, $h\sqrt{3} = 20$

অতএব $h = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11.55$ মিটার।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: উন্নতি কোণ $30°$ হলে উচ্চতা $=$ দূরত্ব $\div \sqrt{3}$।

উত্তর: খ) $\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ মিটার

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় (ক) $20\sqrt{3}$ দেওয়া আছে, কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেই $h = \dfrac{20}{\sqrt{3}}$ এসেছে, যা অপশন (খ)। $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ থেকে এটিই সঠিক; তালিকার চিহ্নটি ভুল বলে মনে হয়।

20. দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?

ক) একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান     খ) একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান     গ) একটির দুই বাহু ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান     ঘ) একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান

সমাধান:

ক) তিন বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম (বাহু-বাহু-বাহু), তাই এটি যথেষ্ট।

খ) তিন কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হয়, কিন্তু আকার (মাপ) আলাদা হতে পারে; যেমন $3, 4, 5$ বাহুর ও $6, 8, 10$ বাহুর ত্রিভুজের কোণ সমান, অথচ সর্বসম নয়। তাই এটি যথেষ্ট নয়।

ঘ) দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম (বাহু-কোণ-বাহু), তাই যথেষ্ট।

ব্যাখ্যা: সর্বসমতার শর্ত: বাহু-বাহু-বাহু, বাহু-কোণ-বাহু, কোণ-বাহু-কোণ, এবং সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ-বাহু। শুধু কোণ-কোণ-কোণ সর্বসমতার শর্ত নয়।

উত্তর: খ) একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান