29th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

এককের ঘরে $9$ আছে এমন সংখ্যা: $19, 29, 39, 49, 59$।

$39 = 3 \times 13$ এবং $49 = 7 \times 7$, তাই এ দুটি মৌলিক নয়।

মৌলিক সংখ্যা: $19, 29, 59$।

সমষ্টি $= 19 + 29 + 59 = 107$।

ব্যাখ্যা: এককের ঘরে $9$ থাকা সংখ্যাগুলো একে একে পরীক্ষা করলেই হয়; $3$ ও $7$ দিয়ে ভাগ করে দেখা যথেষ্ট।

উত্তর: ঘ) 107

2. ৪০ সংখ্যাটি $a$ হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে?

ক) $a + 11 = 40$     খ) $a + 40 = 11$     গ) $a = 40 + 11$     ঘ) $a = 40 + 1$

সমাধান:

"$40$ সংখ্যাটি $a$ হতে $11$ কম" মানে $a$ থেকে $11$ বিয়োগ করলে $40$ হয়।

$40 = a - 11$

অতএব $a = 40 + 11$ (পক্ষান্তর করে)।

ব্যাখ্যা: যেটি ছোট সেটিকে বাঁ পাশে রেখে লিখলে: ছোট $=$ বড় $-$ পার্থক্য।

উত্তর: গ) $a = 40 + 11$

3. পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

ক) 9     খ) 10     গ) 1     ঘ) -1

সমাধান:

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $= 10000$।

চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা $= 9999$।

অন্তর $= 10000 - 9999 = 1$।

ব্যাখ্যা: পরপর দুটি সংখ্যার অন্তর সবসময় $1$; এখানে দুটি সংখ্যা পাশাপাশি আছে।

উত্তর: গ) 1

4. $1.1$, $.01$ ও $.0011$ এর সমষ্টি কত?

ক) 0.01111     খ) 1.1111     গ) 11.1101     ঘ) 1.10111

সমাধান:

দশমিকের স্থান মিলিয়ে সাজাই:

$1.1000$

$0.0100$

$+\; 0.0011$

যোগফল $= 1.1111$

ব্যাখ্যা: দশমিক বিন্দু বরাবর সাজিয়ে যোগ করলে ভুল হওয়ার সুযোগ থাকে না।

উত্তর: খ) 1.1111

5. $1.16$ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

ক) $1\dfrac{1}{6}$     খ) $1\dfrac{8}{85}$     গ) $1\dfrac{16}{99}$     ঘ) $1\dfrac{4}{25}$

সমাধান:

$1.16 = 1 + \dfrac{16}{100}$

$\dfrac{16}{100} = \dfrac{4}{25}$ ($4$ দিয়ে ভাগ করে)।

তাই $1.16 = 1\dfrac{4}{25}$ (মিশ্র ভগ্নাংশ) $= \dfrac{29}{25}$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{29}{25} = 1.16$ ✓।

উত্তর: ঘ) $1\dfrac{4}{25}$

6. ৪টি ১ টাকার নোট ও ৮টি ২ টাকার নোট একত্রে ৮টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ?

ক) $\dfrac{1}{4}$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $\dfrac{1}{8}$     ঘ) $\dfrac{1}{16}$

সমাধান:

$4$ টি ১ টাকার নোট $= 4 \times 1 = 4$ টাকা।

$8$ টি ২ টাকার নোট $= 8 \times 2 = 16$ টাকা।

মোট $= 4 + 16 = 20$ টাকা।

$8$ টি ৫ টাকার নোট $= 8 \times 5 = 40$ টাকা।

অংশ $= \dfrac{20}{40} = \dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: কত অংশ বের করতে ছোট মোটকে বড় মোট দিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: খ) $\dfrac{1}{2}$

7. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল হবে-

ক) 9     খ) 12     গ) 14     ঘ) 15

সমাধান:

$120$ কে উৎপাদকে ভাঙি: $120 = 4 \times 5 \times 6$।

$4, 5, 6$ পরপর তিনটি সংখ্যা এবং এদের গুণফল $120$।

যোগফল $= 4 + 5 + 6 = 15$।

ব্যাখ্যা: পরপর তিন সংখ্যার মাঝেরটি $120$ এর ঘনমূলের কাছাকাছি হয় ($\sqrt[3]{120} \approx 4.9$), তাই মাঝেরটি $5$ ধরে পরীক্ষা করা যায়।

উত্তর: ঘ) 15

8. Which of the following integers has the most divisors?

ক) 88     খ) 91     গ) 95     ঘ) 99

সমাধান:

$88 = 2^3 \times 11$, ভাজক সংখ্যা $= (3 + 1)(1 + 1) = 8$

$91 = 7 \times 13$, ভাজক সংখ্যা $= 2 \times 2 = 4$

$95 = 5 \times 19$, ভাজক সংখ্যা $= 2 \times 2 = 4$

$99 = 3^2 \times 11$, ভাজক সংখ্যা $= (2 + 1)(1 + 1) = 6$

সবচেয়ে বেশি ভাজক $88$ এর ($8$ টি)।

ব্যাখ্যা: ভাজক সংখ্যার সূত্র: $N = p^a q^b$ হলে ভাজক $= (a + 1)(b + 1)$।

উত্তর: ক) 88

9. Successive discounts of 20% and 15% are equal to a single discount of-

ক) 30%     খ) 32%     গ) 34%     ঘ) 35%

সমাধান:

ধরি, মূল দাম $= 100$ টাকা।

প্রথম $20\%$ ছাড়ের পর দাম $= 80$ টাকা।

দ্বিতীয় $15\%$ ছাড়ের পর দাম $= 80 \times \dfrac{85}{100} = 68$ টাকা।

মোট ছাড় $= 100 - 68 = 32$ টাকা, অর্থাৎ $32\%$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট সূত্র: $20 + 15 - \dfrac{20 \times 15}{100} = 35 - 3 = 32\%$।

উত্তর: খ) 32%

10. City B is 5 miles east of City A. City C is 10 miles southeast of City B. Which of the following is the closest to the distance from City A to City C?

ক) 11 miles     খ) 12 miles     গ) 13 miles     ঘ) 14 miles

সমাধান:

$A$ কে মূলবিন্দু $(0, 0)$ ধরি। তাহলে $B = (5, 0)$।

দক্ষিণ-পূর্ব মানে পূর্ব ও দক্ষিণের মাঝের $45°$ দিক। $B$ থেকে $10$ মাইল গেলে পূর্ব দিকে $10\cos 45° = 5\sqrt{2}$ এবং দক্ষিণ দিকে $5\sqrt{2}$ সরে যাই।

$C = (5 + 5\sqrt{2},\; -5\sqrt{2})$

$AC^2 = (5 + 5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 25 + 50\sqrt{2} + 50 + 50 = 125 + 50\sqrt{2}$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ ধরলে $AC^2 \approx 125 + 70.7 = 195.7$, তাই $AC \approx 13.99 \approx 14$ মাইল।

ব্যাখ্যা: বিকল্প: কোসাইন সূত্রে $\angle ABC = 135°$ হওয়ায় $AC^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \times 5 \times 10 \cos 135° = 125 + 50\sqrt{2}$, একই ফল।

উত্তর: ঘ) 14 miles