27th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$n = 50$ হলে সমষ্টি $= \dfrac{50 \times 51 \times 101}{6}$

$= \dfrac{257550}{6} = 42925$

ব্যাখ্যা: হিসাব সহজ করতে: $\dfrac{50}{6} \times 51 = 50 \times 8.5 = 425$, তারপর $425 \times 101 = 42925$।

উত্তর: খ) 42925

2. ৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক) 45%     খ) 48.50%     গ) 52.75%     ঘ) 56.25%

সমাধান:

১টির ক্রয়মূল্য $= \dfrac{4}{5}$ টাকা।

১টির বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{5}{4}$ টাকা।

লাভ $= \dfrac{5}{4} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{25 - 16}{20} = \dfrac{9}{20}$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \dfrac{9/20}{4/5} \times 100 = \dfrac{9}{16} \times 100 = 56.25\%$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $\dfrac{5 \times 5 - 4 \times 4}{4 \times 4} \times 100 = \dfrac{9}{16} \times 100 = 56.25\%$।

উত্তর: ঘ) 56.25%

3. একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২৫% বাড়ালো, অতপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২৫% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায়-

ক) 45% কমানো হয়েছে     খ) 6.25% কমানো হয়েছে     গ) 5% বাড়ানো হয়েছে     ঘ) 6.25% বাড়ানো হয়েছে

সমাধান:

ধরি, প্রথম মূল্য $= 100$ টাকা।

$25\%$ বাড়ালে মূল্য $= 125$ টাকা।

$125$ এর $25\%$ কমালে মূল্য $= 125 \times \dfrac{75}{100} = 93.75$ টাকা।

মূল্য কমেছে $100 - 93.75 = 6.25$ টাকা, অর্থাৎ $6.25\%$।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $x\%$ বাড়ার পর $x\%$ কমলে নিট পরিবর্তন সবসময় $\dfrac{x^2}{100}\%$ কমা: $\dfrac{25^2}{100} = 6.25\%$।

উত্তর: খ) 6.25% কমানো হয়েছে

4. যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১২ দিনে করতে পারে, অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কত দিনে শেষ হবে?

ক) 7 দিন     খ) 9 দিন     গ) 10 দিন     ঘ) 12 দিন

সমাধান:

অতিরিক্ত $3$ জন নিলে মোট লোক $= 9 + 3 = 12$ জন।

$9$ জন কাজটি করে $12$ দিনে।

$1$ জন করে $9 \times 12 = 108$ দিনে।

$12$ জন করে $\dfrac{108}{12} = 9$ দিনে।

ব্যাখ্যা: লোক সংখ্যা ও দিন ব্যস্তানুপাতে থাকে: $9 \times 12 = 12 \times x$, তাই $x = 9$।

উত্তর: খ) 9 দিন

5. শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র-ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্রছাত্রী যাওয়ায় প্রতিজনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেলো। বাসে কত জন ছাত্রছাত্রী গিয়েছিল?

ক) 40 জন     খ) 48 জন     গ) 50 জন     ঘ) 60 জন

সমাধান:

ধরি, শুরুতে ছাত্র-ছাত্রী ছিল $x$ জন। তখন জনপ্রতি ভাড়া $= \dfrac{2400}{x}$ টাকা।

$10$ জন বাড়লে জনপ্রতি ভাড়া $= \dfrac{2400}{x + 10}$ টাকা।

শর্তমতে, $\dfrac{2400}{x} - \dfrac{2400}{x + 10} = 8$

বা, $\dfrac{24000}{x(x + 10)} = 8$ বা, $x^2 + 10x = 3000$

বা, $x^2 + 10x - 3000 = 0$ বা, $(x + 60)(x - 50) = 0$

$x$ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = 50$।

অতিরিক্ত $10$ জনসহ বাসে গিয়েছিল $50 + 10 = 60$ জন।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{2400}{50} = 48$ টাকা এবং $\dfrac{2400}{60} = 40$ টাকা; পার্থক্য $8$ ✓।

উত্তর: ঘ) 60 জন

6. পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?

ক) 38 বছর     খ) 41 বছর     গ) 45 বছর     ঘ) 48 বছর

সমাধান:

তিনজনের বয়সের সমষ্টি $= 37 \times 3 = 111$ বছর।

পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি $= 35 \times 2 = 70$ বছর।

মাতার বয়স $= 111 - 70 = 41$ বছর।

ব্যাখ্যা: গড় থেকে সমষ্টি বের করে বিয়োগ করলেই অজানা বয়স মেলে।

উত্তর: খ) 41 বছর

7. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 4     খ) 9     গ) 12     ঘ) 16

সমাধান:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$, অর্থাৎ ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক।

ব্যাস $3$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে $3^2 = 9$ গুণ।

ব্যাখ্যা: ব্যাস ও ব্যাসার্ধ একই অনুপাতে বাড়ে, তাই ব্যাসার্ধ $3$ গুণ হলেও ক্ষেত্রফল $9$ গুণ।

উত্তর: খ) 9

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: "তিনগুণ বৃদ্ধি" কথাটি কিছুটা দ্ব্যর্থক। এখানে বইয়ের উত্তর অনুযায়ী ধরা হয়েছে ব্যাস তিনগুণ হয়ে যাচ্ছে, তাই ক্ষেত্রফল $9$ গুণ। কঠোর অর্থে "তিনগুণ বাড়ালে" ব্যাস $4$ গুণ হয়ে ক্ষেত্রফল $16$ গুণ হতো, কিন্তু প্রচলিত কী $9$।

8. যদি $(x - y)^2 = 14$ এবং $xy = 2$ হয়, তবে $x^2 + y^2 =$ কত?

ক) 12     খ) 14     গ) 16     ঘ) 18

সমাধান:

$x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$

$= 14 + 2 \times 2 = 14 + 4 = 18$

ব্যাখ্যা: বর্গের সূত্র $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ থেকে সরাসরি $x^2 + y^2$ পাওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) 18

9. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

ক) 36     খ) 48     গ) 56     ঘ) 72

সমাধান:

ধরি, সমান দুই বাহুর প্রতিটি $x$ সে.মি।

পিথাগোরাসের সূত্র: $x^2 + x^2 = 12^2$ বা, $2x^2 = 144$, অতএব $x^2 = 72$।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times x \times x = \dfrac{1}{2} \times 72 = 36$ বর্গ সে.মি।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: অতিভুজ $c$ হলে ক্ষেত্রফল $= \dfrac{c^2}{4} = \dfrac{144}{4} = 36$।

উত্তর: ক) 36

10. ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে-

ক) 8     খ) 12     গ) 18     ঘ) 140

সমাধান:

$60$ থেকে $80$ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা: $61, 67, 71, 73, 79$।

ক্ষুদ্রতম $= 61$, বৃহত্তম $= 79$।

অন্তর $= 79 - 61 = 18$।

ব্যাখ্যা: জোড় সংখ্যা এবং $3$, $5$, $7$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো বাদ দিলে ঐ পাঁচটি মৌলিক সংখ্যা থাকে।

উত্তর: গ) 18

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় (ঘ) দেওয়া আছে, কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেই অন্তর $18$ পাওয়া গেছে, যা (গ) অপশন। তাই সঠিক উত্তর (গ) $18$; তালিকার চিহ্নটি ভুল বলে মনে হয়।