26th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

পদগুলোর পার্থক্য: $2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ অর্থাৎ প্রতিবার ১ বেশি যোগ হয়।

$n$ তম পদ $= \dfrac{n(n+1)}{2}$ (ত্রিভুজাকার সংখ্যা)।

দশম পদ $= \dfrac{10 \times 11}{2} = 55$

ব্যাখ্যা: ধাপে ধাপে লিখলে: $21 + 7 = 28$, $28 + 8 = 36$, $36 + 9 = 45$, $45 + 10 = 55$।

উত্তর: খ) 55

2. পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বৎসর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বৎসর। পুত্রের বয়স কত?

ক) 9 বছর     খ) 14 বছর     গ) 15 বছর     ঘ) 18 বছর

সমাধান:

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি $= 36 \times 3 = 108$ বছর।

পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি $= 45 \times 2 = 90$ বছর।

পুত্রের বয়স $= 108 - 90 = 18$ বছর।

ব্যাখ্যা: গড় থেকে সমষ্টি বের করে বিয়োগ করাই এ ধরনের প্রশ্নের সহজ পথ।

উত্তর: ঘ) 18 বছর

3. একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত $5 : 1$। দুধের পরিমাণ যদি পানির পরিমাণ অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয়, তবে পানির পরিমাণ কত?

ক) 2 লিটার     খ) 4 লিটার     গ) 6 লিটার     ঘ) 8 লিটার

সমাধান:

ধরি, পানি $= x$ লিটার, তাহলে দুধ $= 5x$ লিটার।

শর্তমতে, $5x - x = 8$ বা, $4x = 8$, অতএব $x = 2$।

তাই পানির পরিমাণ $2$ লিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: দুধ $= 10$ লিটার, পানি $= 2$ লিটার; পার্থক্য $= 8$ ✓ এবং অনুপাত $10 : 2 = 5 : 1$ ✓।

উত্তর: ক) 2 লিটার

4. টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত টাকা লাভ হবে?

ক) 50%     খ) 30%     গ) 33%     ঘ) 31%

সমাধান:

১টি লেবুর ক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{3}$ টাকা।

১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{2}$ টাকা।

লাভ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \dfrac{1/6}{1/3} \times 100 = \dfrac{1}{2} \times 100 = 50\%$

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: $\dfrac{3 - 2}{2} \times 100 = 50\%$ (কেনা সংখ্যা ও বেচা সংখ্যার পার্থক্য ÷ বেচা সংখ্যা)।

উত্তর: ক) 50%

5. যদি ১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে ৭২০ টাকা আয় করে, তবে ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে-

ক) 5 দিনে     খ) 4 দিনে     গ) 6 দিনে     ঘ) 3 দিনে

সমাধান:

কাজের পরিমাণ (শ্রমিক $\times$ দিন) স্থির থাকলে আয়ও স্থির: $12 \times 3 = 36$ শ্রমিক-দিন।

$9$ জন শ্রমিক লাগবে $\dfrac{36}{9} = 4$ দিন।

ব্যাখ্যা: শ্রমিক কমলে দিন বাড়ে (ব্যস্তানুপাত)। ১২ থেকে ৯ হলে দিন $\dfrac{12}{9}$ গুণ হয়: $3 \times \dfrac{12}{9} = 4$।

উত্তর: খ) 4 দিনে

6. $(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4$ এর মান কত?

ক) 30     খ) 60     গ) 225     ঘ) 15

সমাধান:

$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})^4 = (\sqrt{15})^4$

$= (15)^2 = 225$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $(\sqrt{3})^4 \times (\sqrt{5})^4 = 9 \times 25 = 225$।

উত্তর: গ) 225

7. $a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{3}$ হলে, $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ এর মান কত?

ক) 3     খ) 4     গ) 2     ঘ) 1

সমাধান:

$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 - 2$

$= (\sqrt{3})^2 - 2 = 3 - 2 = 1$

ব্যাখ্যা: সূত্রটি মনে রাখলে এক লাইনেই উত্তর মেলে।

উত্তর: ঘ) 1

8. লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘন্টায় ১৮ কি.মি ও ৬ কি.মি। নদী পথে ৪৮ কি.মি অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-

ক) 10 ঘন্টা     খ) 5 ঘন্টা     গ) 6 ঘন্টা     ঘ) 8 ঘন্টা

সমাধান:

স্রোতের অনুকূলে বেগ $= 18 + 6 = 24$ কি.মি/ঘণ্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে বেগ $= 18 - 6 = 12$ কি.মি/ঘণ্টা।

যেতে সময় $= \dfrac{48}{24} = 2$ ঘণ্টা।

ফিরতে সময় $= \dfrac{48}{12} = 4$ ঘণ্টা।

মোট সময় $= 2 + 4 = 6$ ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাওয়া ও ফেরা দুটি আলাদা বেগে হয়, তাই গড় বেগ ধরে হিসাব না করে সময় আলাদা করে যোগ করতে হয়।

উত্তর: গ) 6 ঘন্টা

9. কোনো সংখ্যার $\dfrac{1}{2}$ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির $\dfrac{2}{3}$ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

ক) 53     খ) 63     গ) 35     ঘ) 36

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $\dfrac{x}{2} + 6 = \dfrac{2x}{3}$

উভয় পক্ষকে $6$ দিয়ে গুণ করে: $3x + 36 = 4x$

অতএব $x = 36$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{36}{2} + 6 = 24$ এবং $36$ এর $\dfrac{2}{3} = 24$ ✓।

উত্তর: ঘ) 36

10. ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক) 5     খ) 3     গ) 7     ঘ) 4

সমাধান:

$43$ থেকে $60$ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো একে একে পরীক্ষা করি।

$43$ মৌলিক, $44$ জোড়, $45$ এ ৫ এর ভাগ, $46$ জোড়, $47$ মৌলিক, $48$ জোড়, $49 = 7^2$, $50$ জোড়, $51 = 3 \times 17$, $52$ জোড়, $53$ মৌলিক, $54$ জোড়, $55$ এ ৫ এর ভাগ, $56$ জোড়, $57 = 3 \times 19$, $58$ জোড়, $59$ মৌলিক, $60$ জোড়।

মৌলিক সংখ্যা: $43, 47, 53, 59$, মোট $4$ টি।

ব্যাখ্যা: বিজোড় সংখ্যাগুলোকে $3, 5, 7$ দিয়ে ভাগ করে দেখলেই চলে, কারণ $\sqrt{60} < 8$।

উত্তর: ঘ) 4

11. যদি $P$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে $\sqrt{P}$ কি?

ক) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা     খ) একটি পূর্ণ সংখ্যা     গ) একটি মূলদ সংখ্যা     ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা

সমাধান:

মৌলিক সংখ্যা কখনো পূর্ণবর্গ হয় না (কারণ এর উৎপাদক কেবল $1$ ও নিজে)।

পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।

তাই $\sqrt{P}$ সর্বদা অমূলদ, যেমন $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$।

ব্যাখ্যা: $P = 2, 3, 5, 7, \ldots$ যেকোনো মান ধরলেও বর্গমূল অমূলদ হয়।

উত্তর: ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা

12. ক এবং খ একত্রে মিলে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, খ একা কাজটি করতে পারবে-

ক) 25 দিনে     খ) 30 দিনে     গ) 35 দিনে     ঘ) 40 দিনে

সমাধান:

ক ও খ মিলে ১ দিনে করে $\dfrac{1}{12}$ অংশ।

ক একা ১ দিনে করে $\dfrac{1}{20}$ অংশ।

খ একা ১ দিনে করে $\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{5 - 3}{60} = \dfrac{1}{30}$ অংশ।

তাই খ একা সম্পূর্ণ কাজ করবে $30$ দিনে।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট সূত্র: $\dfrac{mn}{n - m} = \dfrac{20 \times 12}{20 - 12} = 30$।

উত্তর: খ) 30 দিনে

13. ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-

ক) 9 টি     খ) 10 টি     গ) 11 টি     ঘ) 12 টি

সমাধান:

$72 = 2^3 \times 3^2$

মোট ভাজক সংখ্যা $= (3 + 1)(2 + 1) = 4 \times 3 = 12$

ব্যাখ্যা: ঘাতগুলোর সাথে ১ যোগ করে গুণ করলেই মোট ভাজক সংখ্যা পাওয়া যায়।

উত্তর: ঘ) 12 টি

14. দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর ৪৭-

ক) 21 ও 22     খ) 22 ও 23     গ) 23 ও 24     ঘ) 24 ও 25

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা দুটি $n$ ও $n + 1$।

$(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 = 47$ বা, $2n = 46$, অতএব $n = 23$।

সংখ্যা দুটি $23$ ও $24$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $24^2 - 23^2 = 576 - 529 = 47$ ✓। ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর $=$ সংখ্যা দুটির যোগফল।

উত্তর: গ) 23 ও 24

15. $x + y = 8$, $x - y = 6$ হলে, $x^2 + y^2$ এর মান কত?

ক) 40     খ) 60     গ) 50     ঘ) 80

সমাধান:

সূত্র: $x^2 + y^2 = \dfrac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2}$

$= \dfrac{64 + 36}{2} = \dfrac{100}{2} = 50$

ব্যাখ্যা: যাচাই: যোগ করে $2x = 14$, $x = 7$; বিয়োগ করে $2y = 2$, $y = 1$; $49 + 1 = 50$ ✓।

উত্তর: গ) 50

16. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 156 ব.ফুট     খ) 164 ব.ফুট     গ) 128 ব.ফুট     ঘ) 218 ব.ফুট

সমাধান:

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $= \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128}$ ফুট।

কর্ণের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= (\sqrt{128})^2 = 128$ বর্গফুট।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: কর্ণের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল সবসময় মূল বর্গের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ: $2 \times 64 = 128$।

উত্তর: গ) 128 ব.ফুট

17. $x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে-

ক) $-2xy$     খ) $8xy$     গ) $6xy$     ঘ) $2xy$

সমাধান:

রাশিটি: $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16$

আমরা জানি, $(x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$

দুটি তুলনা করলে দেখা যায়, $2xy$ যোগ করলেই পূর্ণবর্গ হয়।

ব্যাখ্যা: পূর্ণবর্গ রাশির মধ্যপদ থাকতে হবে $2 \times$ (প্রথম) $\times$ (দ্বিতীয়); এখানে $x$ ও $y$ এর গুণফলের পদটি নেই, তাই সেটিই যোগ করতে হবে।

উত্তর: ঘ) $2xy$

18. $x^2 - y^2 + 2y - 1$ এর একটি উৎপাদক-

ক) $x + y + 1$     খ) $x - y$     গ) $x + y - 1$     ঘ) $x - y - 1$

সমাধান:

$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

$= x^2 - (y - 1)^2$

$= (x + y - 1)(x - y + 1)$

ব্যাখ্যা: শেষ পদ তিনটিকে $-(y - 1)^2$ হিসেবে দেখতে পারলেই $a^2 - b^2$ সূত্র খাটে।

উত্তর: গ) $x + y - 1$

19. ১৩ সে.মি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি?

ক) 24 সে.মি     খ) 18 সে.মি     গ) 16 সে.মি     ঘ) 12 সে.মি

সমাধান:

কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

জ্যা এর অর্ধেক $= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ সে.মি।

পুরো জ্যা $= 2 \times 12 = 24$ সে.মি।

ব্যাখ্যা: $5, 12, 13$ একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী, তাই হিসাব ছাড়াই অর্ধজ্যা $12$ বলে দেওয়া যায়।

উত্তর: ক) 24 সে.মি

20. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

ক) 3     খ) $\dfrac{22}{7}$     গ) $\dfrac{25}{9}$     ঘ) 5 (প্রায়)

সমাধান:

পরিধি $= 2\pi r$, ব্যাস $= 2r$

অনুপাত $= \dfrac{2\pi r}{2r} = \pi \approx \dfrac{22}{7}$

ব্যাখ্যা: এখানে অপশনের মধ্যে $\dfrac{22}{7}$ই $\pi$ এর সবচেয়ে কাছের মান ($3.1428\ldots$)।

উত্তর: খ) $\dfrac{22}{7}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: $\pi$ এর সঠিক মান অমূলদ, তাই $\dfrac{22}{7}$ একটি আসন্ন (প্রায়) মান। অপশনগুলোর মধ্যে এটিই সবচেয়ে উপযুক্ত।