25th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ $\dfrac{p}{q}$ ($q \ne 0$) আকারে লেখা যায়, সেটি মূলদ।

যে স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়, তার বর্গমূল অমূলদ।

$2$ পূর্ণবর্গ নয়, তাই $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$ অসীম অনাবর্তক দশমিক, অর্থাৎ অমূলদ।

ব্যাখ্যা: $\sqrt{2}$ হলো সবচেয়ে পরিচিত অমূলদ সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা

2. ১ মিটার কত ইঞ্চির সমান?

ক) 39.47 ইঞ্চি     খ) 37.39 ইঞ্চি     গ) 39.37 ইঞ্চি     ঘ) 37.49 ইঞ্চি

সমাধান:

$1$ মিটার $= 39.37$ ইঞ্চি (প্রায়)।

মনে রাখার উপায়: $1$ ইঞ্চি $= 2.54$ সেমি, তাই $\dfrac{100}{2.54} \approx 39.37$।

ব্যাখ্যা: পরিমাপের রূপান্তর প্রশ্ন বারবার আসে, তাই $39.37$ মুখস্থ রাখা ভালো।

উত্তর: গ) 39.37 ইঞ্চি

3. $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{3}$ হলে, $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ এর মান কত?

ক) 2     খ) 4     গ) 0     ঘ) 6

সমাধান:

সূত্র: $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$

$= (\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3}$

$= 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$

ব্যাখ্যা: $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$, তাই দুই পদ কাটাকাটি হয়ে যায়।

উত্তর: গ) 0

4. ৩ দিনে একটি কাজের $\dfrac{1}{27}$ অংশ শেষ হলে ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে?

ক) 81 দিন     খ) 9 দিন     গ) 243 দিন     ঘ) 27 দিন

সমাধান:

$\dfrac{1}{27}$ অংশ কাজ করতে সময় লাগে $3$ দিন।

সম্পূর্ণ ($1$ অংশ) কাজ করতে লাগবে $3 \times 27 = 81$ দিন।

তিন গুণ কাজ করতে লাগবে $81 \times 3 = 243$ দিন।

ব্যাখ্যা: এখানে কাজ ও সময় সরল সম্পর্কে থাকে: কাজ যত গুণ, সময়ও তত গুণ।

উত্তর: গ) 243 দিন

5. $x^2 - 11x + 30$ এবং $x^3 - 4x^2 - 2x - 15$ এর গ.সা.গু. কত?

ক) $x - 5$     খ) $x - 6$     গ) $x^2 + x + 3$     ঘ) $x^2 - x + 3$

সমাধান:

প্রথম রাশি: $x^2 - 11x + 30 = x^2 - 5x - 6x + 30 = (x - 5)(x - 6)$

দ্বিতীয় রাশিতে $x = 5$ বসালে: $125 - 100 - 10 - 15 = 0$, তাই $(x - 5)$ একটি উৎপাদক।

$x = 6$ বসালে: $216 - 144 - 12 - 15 = 45 \ne 0$, তাই $(x - 6)$ উৎপাদক নয়।

ভাগ করে পাই: $x^3 - 4x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x^2 + x + 3)$

সাধারণ উৎপাদক শুধু $(x - 5)$।

ব্যাখ্যা: যে মান বসালে রাশি শূন্য হয়, সেই মান দিয়ে উৎপাদক বের করাই দ্রুততম পথ (উৎপাদক উপপাদ্য)।

উত্তর: ক) $x - 5$

6. $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 =$ কত?

ক) 4650     খ) 4750     গ) 4850     ঘ) 4950

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n+1)}{2}$

$n = 99$ হলে যোগফল $= \dfrac{99 \times 100}{2} = 99 \times 50 = 4950$

ব্যাখ্যা: বিকল্প: $(1 + 99) = 100$, $(2 + 98) = 100$ এভাবে $49$ জোড়ায় $4900$ এবং মাঝের সংখ্যা $50$; মোট $4950$।

উত্তর: ঘ) 4950

7. $\log 2 + \log 4 + \log 8 + \cdots$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক) $45\log 2$     খ) $55\log 2$     গ) $65\log 2$     ঘ) $75\log 2$

সমাধান:

$\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2$, $\log 8 = \log 2^3 = 3\log 2$, ...

ধারাটি: $\log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + \cdots = (1 + 2 + 3 + \cdots)\log 2$

প্রথম $10$ পদের সমষ্টি $= \dfrac{10 \times 11}{2}\log 2 = 55\log 2$

ব্যাখ্যা: প্রতিটি পদকে $\log 2$ এর গুণিতক হিসেবে লিখলেই সংখ্যার যোগফল দাঁড়ায়।

উত্তর: খ) $55\log 2$

8. একটি ৪৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে $30°$ কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

ক) 14 মি.     খ) 16 মি.     গ) 18 মি.     ঘ) 20 মি.

সমাধান:

ধরি, খুঁটিটি ভূমি থেকে $h$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছে। তাহলে ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $= (48 - h)$ মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজে: $\sin 30° = \dfrac{h}{48 - h}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{48 - h}$ বা, $48 - h = 2h$

বা, $3h = 48$, অতএব $h = 16$ মিটার।

ব্যাখ্যা: শর্ট কাট: ভাঙা অংশ $=$ উচ্চতার দ্বিগুণ (কারণ $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$), তাই মোট দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ: $48 \div 3 = 16$।

উত্তর: খ) 16 মি.

9. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল $512$ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ক) 98 মিটার     খ) 96 মিটার     গ) 94 মিটার     ঘ) 92 মিটার

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ $= x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য $= 2x$ মিটার।

ক্ষেত্রফল: $2x \times x = 512$ বা, $x^2 = 256$, অতএব $x = 16$।

প্রস্থ $= 16$ মি., দৈর্ঘ্য $= 32$ মি.।

পরিসীমা $= 2(16 + 32) = 96$ মিটার।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $16 \times 32 = 512$ ✓

উত্তর: খ) 96 মিটার

10. $y = 3x + 2$, $y = -3x + 2$, $y = -2$ দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি কোনটি হবে?

ক) একটি সমকোণী ত্রিভুজ     খ) একটি সমবাহু ত্রিভুজ     গ) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ     ঘ) একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ

সমাধান:

প্রথম দুটি রেখা $y$-অক্ষকে একই বিন্দুতে ছেদ করে: $x = 0$ হলে $y = 2$, শীর্ষবিন্দু $(0, 2)$।

$y = -2$ রেখার সাথে ছেদবিন্দু: $3x + 2 = -2$ হলে $x = -\dfrac{4}{3}$; $-3x + 2 = -2$ হলে $x = \dfrac{4}{3}$।

ত্রিভুজের শীর্ষ $(0, 2)$ এবং ভূমির দুই প্রান্ত $\left(-\dfrac{4}{3}, -2\right)$, $\left(\dfrac{4}{3}, -2\right)$।

$y$-অক্ষের দুই পাশে প্রতিসম, তাই দুই বাহু সমান; ভূমি $\dfrac{8}{3}$, আর বাহু $\sqrt{\dfrac{16}{9} + 16} = \dfrac{4\sqrt{10}}{3}$ (ভূমির সমান নয়)।

ব্যাখ্যা: দুই রেখার ঢাল $3$ ও $-3$ (বিপরীত), এবং দুটি রেখা $y$-অক্ষে একই বিন্দুতে মেলে বলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

উত্তর: গ) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ