24th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

প্রদত্ত প্রশ্নে সম্ভবত বর্গ চিহ্ন ভুলবশত ছাপা হয়েছে। ধারাটি $1 + 3 + 5 + \cdots + 31$ ধরলে অপশনের সঙ্গে মেলে।

ধারাটি সমান্তর ধারা: প্রথম পদ $a = 1$, সাধারণ অন্তর $d = 2$, শেষ পদ $l = 31$।

পদসংখ্যা $n = \dfrac{31 - 1}{2} + 1 = 16$

যোগফল $= \dfrac{n(a + l)}{2} = \dfrac{16 \times 32}{2} = 256$

ব্যাখ্যা: প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল $= n^2$। এখানে $n = 16$, তাই $16^2 = 256$।

উত্তর: খ) $256$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রশ্নে সংখ্যাগুলোর ওপর বর্গ ($1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + 31^2$) ছাপা থাকলে যোগফল হয় $5456$, যা কোনো অপশনেই নেই। তাই ধারাটি $1 + 3 + 5 + \cdots + 31$ ধরা হয়েছে, যা অপশন (খ) $256$ এবং বইয়ের উত্তর-চিহ্নের সঙ্গে মেলে।

2. চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তবে চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগে কমালেন?

ক) 20%     খ) 16%     গ) 18%     ঘ) 15%

সমাধান:

আগের দাম $100$ হলে নতুন দাম $125$।

$125$ টাকায় $25$ টাকার চাল কমাতে হবে।

$100$ টাকায় কমাতে হবে $\dfrac{25 \times 100}{125} = 20$ টাকার।

ব্যাখ্যা: সূত্র: শতকরা হ্রাস $= \dfrac{x}{100 + x} \times 100$, এখানে $x = 25$।

উত্তর: ক) 20%

3. এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল। ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল?

ক) 1280 টাকা     খ) 1281 টাকা     গ) 1310 টাকা     ঘ) 1311 টাকা

সমাধান:

প্রথম বিক্রয়মূল্য $= 1200 \times \dfrac{115}{100} = 1380$ টাকা। এটিই ক্রেতার ক্রয়মূল্য।

ক্রেতার ৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= 1380 \times \dfrac{95}{100} = 1311$ টাকা।

ব্যাখ্যা: দুটি ধাপে প্রতিটি ধাপে আগের বিক্রয়মূল্যকে ক্রয়মূল্য ধরে নতুন শতকরা হিসাব করতে হয়।

উত্তর: ঘ) 1311 টাকা

4. এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির $\dfrac{3}{7}$ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের $\dfrac{5}{12}$ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকটে ১০০০ টাকা রয়েছে। তার সম্পত্তির মূল্য কত?

ক) 2000 টাকা     খ) 2300 টাকা     গ) 2500 টাকা     ঘ) 3000 টাকা

সমাধান:

প্রথম ব্যয়ের পর অবশিষ্ট $= 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$ অংশ।

দ্বিতীয় ব্যয় $= \dfrac{4}{7} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{21}$ অংশ।

শেষে অবশিষ্ট $= \dfrac{4}{7} - \dfrac{5}{21} = \dfrac{12 - 5}{21} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$ অংশ।

$\dfrac{1}{3}$ অংশ $= 1000$ টাকা, তাই মোট সম্পত্তি $= 3000$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3000$ এর $\dfrac{3}{7}$ নিলে সঠিক পূর্ণসংখ্যা আসে না, তাই অবশিষ্ট দিয়ে হিসাব করা ভালো: $\dfrac{1}{3}$ অংশ $= 1000$।

উত্তর: ঘ) 3000 টাকা

5. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬, ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 16 বর্গমিটার     খ) 15 বর্গমিটার     গ) 17 বর্গমিটার     ঘ) 14 বর্গমিটার

সমাধান:

অর্ধ-পরিসীমা $s = \dfrac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

হিরনের সূত্র: ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$= \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} \approx 14.70$ বর্গমিটার।

নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় $15$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: $14.70$ এর নিকটতম পূর্ণসংখ্যা $15$ (কারণ দশমিক অংশ $0.5$ এর বেশি)।

উত্তর: খ) 15 বর্গমিটার

6. $x + y = 7$ এবং $xy = 10$ হলে $(x - y)^2$ এর মান কত?

ক) 3     খ) 6     গ) 9     ঘ) 12

সমাধান:

$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$

$= 7^2 - 4 \times 10 = 49 - 40 = 9$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 5, y = 2$ হলে $x + y = 7$, $xy = 10$ এবং $(5 - 2)^2 = 9$।

উত্তর: গ) $9$

7. কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

ক) $\dfrac{77}{143}$     খ) $\dfrac{102}{289}$     গ) $\dfrac{113}{355}$     ঘ) $\dfrac{143}{1001}$

সমাধান:

লঘিষ্ঠ আকারে থাকার অর্থ লব ও হরের গ.সা.গু. $= 1$।

ক) $77 = 7 \times 11$, $143 = 11 \times 13$; সাধারণ উৎপাদক $11$, তাই $\dfrac{77}{143} = \dfrac{7}{13}$ (লঘিষ্ঠ নয়)।

খ) $102 = 2 \times 3 \times 17$, $289 = 17^2$; সাধারণ উৎপাদক $17$, তাই $\dfrac{102}{289} = \dfrac{6}{17}$ (লঘিষ্ঠ নয়)।

ঘ) $1001 = 7 \times 11 \times 13 = 143 \times 7$, তাই $\dfrac{143}{1001} = \dfrac{1}{7}$ (লঘিষ্ঠ নয়)।

গ) $113$ মৌলিক সংখ্যা এবং $355 = 5 \times 71$; কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই লঘিষ্ঠ আকারে আছে।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ আকারে আছে কিনা বোঝার জন্য লব ও হরের গ.সা.গু. বের করতে হয়।

উত্তর: গ) $\dfrac{113}{355}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় প্রশ্নটিকে "সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ কোনটি" ধরে দশমিক মান দিয়ে তুলনা করা হয়েছে এবং $\dfrac{143}{1001}$ এর মান ভুল ($0.382$) লেখা হয়েছে (সঠিক মান $0.143$)। প্রশ্ন আসলে "লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত" ভগ্নাংশ জানতে চায়, তাই আমরা গ.সা.গু. পদ্ধতিতে সমাধান করেছি। উত্তর (গ) বইয়ের চিহ্নের সঙ্গে মেলে।

8. $9, 36, 81, 144, \ldots$ এর পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক) 169     খ) 225     গ) 256     ঘ) 272

সমাধান:

সংখ্যাগুলোকে বর্গ আকারে লিখি: $9 = 3^2$, $36 = 6^2$, $81 = 9^2$, $144 = 12^2$

ভিত্তিগুলো $3, 6, 9, 12$ প্রতিবার $3$ করে বাড়ছে, তাই পরের ভিত্তি $15$।

পরবর্তী সংখ্যা $= 15^2 = 225$

ব্যাখ্যা: ধারাটি $(3n)^2 = 9n^2$ এর রূপ: $9 \times 1^2, 9 \times 2^2, 9 \times 3^2, 9 \times 4^2, 9 \times 5^2 = 225$।

উত্তর: খ) $225$

9. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে, উহার পরিসীমা কত?

ক) 70 মি.     খ) 75 মি.     গ) 80 মি.     ঘ) 90 মি.

সমাধান:

ধরি প্রস্থ $x$ মিটার, তাহলে দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার।

ক্ষেত্রফল $= 3x \times x = 3x^2 = 300$, বা $x^2 = 100$, তাই $x = 10$

দৈর্ঘ্য $= 30$ মি.

পরিসীমা $= 2(30 + 10) = 80$ মিটার।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: দৈর্ঘ্য $= \sqrt{300 \times 3} = 30$ এবং প্রস্থ $= \sqrt{300 \div 3} = 10$।

উত্তর: গ) 80 মি.

10. $2x^2 + x - 15$ এর উৎপাদক কোনটি?

ক) $(x+3)(2x-5)$     খ) $(x-3)(2x-5)$     গ) $(x-3)(2x+5)$     ঘ) $(x+3)(2x+5)$

সমাধান:

মধ্যপদ বিভাজন: $2 \times (-15) = -30$; দুটি সংখ্যা যাদের গুণফল $-30$ ও যোগফল $+1$: $+6$ ও $-5$

$2x^2 + 6x - 5x - 15$

$= 2x(x + 3) - 5(x + 3)$

$= (x + 3)(2x - 5)$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(x + 3)(2x - 5) = 2x^2 - 5x + 6x - 15 = 2x^2 + x - 15$।

উত্তর: ক) $(x+3)(2x-5)$