24th BCS (Cancelled) Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ওমর খৈয়াম, আল খারিজমী ও উলুগ-বেগ তিনজনই গণিতশাস্ত্রবিদ ছিলেন।

ইবনে খালদুন ছিলেন একজন প্রখ্যাত সমাজ বিজ্ঞানী ও ঐতিহাসিক।

ব্যাখ্যা: ইবনে খালদুন "মুকাদ্দিমা" গ্রন্থের জন্য সমাজবিজ্ঞান ও ইতিহাসে বিখ্যাত।

উত্তর: গ) ইবনে খালদুন

2. ২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক) 11টি     খ) 9টি     গ) 8টি     ঘ) 10টি

সমাধান:

$2$ এবং $32$ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো: $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

মোট $10$ টি।

ব্যাখ্যা: এখানে $2$ ও $32$ প্রান্তবিন্দু বাদ গেছে; $2$ মৌলিক হলেও গণনায় আসেনি।

উত্তর: ঘ) 10টি

3. ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ...... এই সংখ্যা পরম্পরায় অষ্টম পদ কত?

ক) 21     খ) 13     গ) 19     ঘ) 16

সমাধান:

প্রতিটি পদ আগের দুটি পদের যোগফল (ফিবোনাচ্চি ধারা)।

$t_1 = 1$, $t_2 = 1$, $t_3 = 2$, $t_4 = 3$, $t_5 = 5$, $t_6 = 8$

$t_7 = 5 + 8 = 13$

$t_8 = 8 + 13 = 21$

ব্যাখ্যা: $13$ হলো সপ্তম পদ; অষ্টম পদ $21$।

উত্তর: ক) $21$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় (খ) $13$ ধরা হয়েছে, কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেই অষ্টম পদ $21$ পাওয়া যায়। $13$ হলো সপ্তম পদ, তাই উত্তর-চিহ্ন ভুল বলে মনে হয়। সঠিক উত্তর (ক) $21$।

4. টিপুর বোনের বয়স টিপুর বয়সের ও তার বাবার বয়সের মধ্য সমানুপাতী। টিপুর বয়স ১২ বৎসর, বাবার বয়স ৪৮ বৎসর হলে বোনের বয়স কত?

ক) 16 বৎসর     খ) 24 বৎসর     গ) 18 বৎসর     ঘ) 20 বৎসর

সমাধান:

দুটি সংখ্যার মধ্য সমানুপাতী (গুণোত্তর মধ্যক) $=$ সংখ্যা দুটির গুণফলের বর্গমূল।

(বোনের বয়স)$^2 = 12 \times 48 = 576$

বোনের বয়স $= \sqrt{576} = 24$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $12 : 24 = 24 : 48$ (উভয়ই $1 : 2$)।

উত্তর: খ) 24 বৎসর

5. $0.1$ এর বর্গমূল কত?

ক) 0.1     খ) 0.01     গ) 0.25     ঘ) কোনটিই নয়

সমাধান:

$\sqrt{0.1} \approx 0.3162$

ক) $0.1^2 = 0.01 \ne 0.1$; খ) $0.01^2 = 0.0001$; গ) $0.25^2 = 0.0625$। কোনোটির বর্গ $0.1$ নয়।

ব্যাখ্যা: $0.1$ এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা ($\approx 0.316$), যা অপশনের কোনোটিই নয়।

উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

6. ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?

ক) 13, 77, 91, 143     খ) 7, 22, 26, 91     গ) 26, 77, 143, 154     ঘ) 2, 7, 11, 13

সমাধান:

$2002 = 2 \times 7 \times 11 \times 13$

ক) $13$, $77 = 7 \times 11$, $91 = 7 \times 13$, $143 = 11 \times 13$; ল.সা.গু. $= 7 \times 11 \times 13 = 1001$ ($2$ এর উৎপাদক নেই), তাই $2002$ নয়।

খ) $22 = 2 \times 11$, $26 = 2 \times 13$, $7$, $91 = 7 \times 13$; ল.সা.গু. $= 2 \times 7 \times 11 \times 13 = 2002$ ✓

গ) $26 = 2 \times 13$, $77 = 7 \times 11$, $143 = 11 \times 13$, $154 = 2 \times 7 \times 11$; ল.সা.গু. $= 2002$ ✓

ঘ) $2, 7, 11, 13$ সবই মৌলিক; ল.সা.গু. $= 2 \times 7 \times 11 \times 13 = 2002$ ✓

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্টে প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে সবচেয়ে বড় ঘাতগুলো গুণ করলে ল.সা.গু. মেলে।

উত্তর: ক) $13, 77, 91, 143$

7. একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৮টি ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ে ঘণ্টায় ১৫ টাকা করে মজুরী পায়। দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরী কত?

ক) 11 টাকা     খ) 12 টাকা     গ) 12.50 টাকা     ঘ) 13 টাকা

সমাধান:

প্রথম $8$ ঘণ্টায় মজুরী $= 8 \times 10 = 80$ টাকা।

পরবর্তী $2$ ঘণ্টায় মজুরী $= 2 \times 15 = 30$ টাকা।

$10$ ঘণ্টায় মোট মজুরী $= 80 + 30 = 110$ টাকা।

ঘণ্টাপ্রতি গড় $= \dfrac{110}{10} = 11$ টাকা।

ব্যাখ্যা: গড় মজুরী = মোট মজুরী ÷ মোট ঘণ্টা।

উত্তর: ক) 11 টাকা

8. ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাশের হার কত?

ক) 25%     খ) 28%     গ) 30%     ঘ) 32%

সমাধান:

পাশ করেছে $= 60 - 42 = 18$ জন।

পাশের হার $= \dfrac{18}{60} \times 100 = 30\%$

ব্যাখ্যা: পাশের হার ও ফেলের হার মিলে $100\%$: ফেল $= \dfrac{42}{60} \times 100 = 70\%$, তাই পাশ $= 30\%$।

উত্তর: গ) 30%

9. কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

ক) $\dfrac{1}{11}$     খ) $\dfrac{3}{31}$     গ) $\dfrac{2}{21}$     ঘ) $\sqrt{0.02}$

সমাধান:

দশমিক মান: $\dfrac{1}{11} \approx 0.0909$; $\dfrac{3}{31} \approx 0.0968$; $\dfrac{2}{21} \approx 0.0952$; $\sqrt{0.02} \approx 0.1414$

তুলনা: $0.0909 < 0.0952 < 0.0968 < 0.1414$

ব্যাখ্যা: আড়গুণন দিয়েও যাচাই: $1 \times 21 = 21 < 2 \times 11 = 22$, তাই $\dfrac{1}{11} < \dfrac{2}{21}$।

উত্তর: ক) $\dfrac{1}{11}$

10. ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব ১৮৫ মাইল। চট্টগ্রাম থেকে একটি বাস ২ ঘণ্টায় প্রথম ৮৫ মাইল যাওয়ার পর পরবর্তী ১০০ মাইল কত সময়ে গেলে গড়ে ঘণ্টায় ৫০ মাইল যাওয়া যাবে?

ক) 100 মিনিট     খ) 102 মিনিট     গ) 110 মিনিট     ঘ) 112 মিনিট

সমাধান:

মোট দূরত্ব $= 185$ মাইল, গড় বেগ $= 50$ মাইল/ঘণ্টা।

মোট সময় লাগবে $= \dfrac{185}{50} = 3.7$ ঘণ্টা $= 3.7 \times 60 = 222$ মিনিট।

প্রথম $85$ মাইলে সময় গেছে $2$ ঘণ্টা $= 120$ মিনিট।

পরবর্তী $100$ মাইলে সময় লাগবে $= 222 - 120 = 102$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: গড় বেগ ঠিক রাখতে মোট সময় ঠিক করে ফেলে বাকি সময় বের করা সহজ।

উত্তর: খ) 102 মিনিট