23rd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

অংশগুলোর অনুপাত $A : B : C = 17 : 3 : 4$।

অনুপাতের যোগফল $= 17 + 3 + 4 = 24$

$B$ এর পরিমাণ $= 72 \times \dfrac{3}{24} = 9$ কেজি।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $A = 72 \times \dfrac{17}{24} = 51$ কেজি, $C = 72 \times \dfrac{4}{24} = 12$ কেজি; $51 + 9 + 12 = 72$।

উত্তর: ক) 9 কেজি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় অনুপাতের যোগফল "$19 + 3 + 8 = 24$" লেখা আছে, যা ফন্টজনিত ভুল পাঠ ($19 + 3 + 8 = 30$)। সঠিক যোগফল $17 + 3 + 4 = 24$। উত্তর একই ($9$ কেজি) থাকে।

2. একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড়বেগ কত?

ক) $\dfrac{5}{6}$     খ) $1\dfrac{2}{3}$     গ) $1\dfrac{7}{8}$     ঘ) $3\dfrac{3}{8}$

সমাধান:

মোট দূরত্ব $= 5 + 5 = 10$ মাইল।

মোট সময় $= 2 + 4 = 6$ ঘণ্টা।

গড় বেগ $= \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$ মাইল/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: যাওয়া ও ফিরে আসা মিলিয়ে হিসাব করলে মোট দূরত্ব দ্বিগুণ হয়। গড় বেগ কখনোই দুই বেগের গড় নয়: গড় বেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়।

উত্তর: খ) $1\dfrac{2}{3}$ মাইল/ঘণ্টা

3. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক) 24     খ) 36     গ) 48     ঘ) 50

সমাধান:

ভূমি $16$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে উচ্চতা টানলে প্রতি অংশ $8$ একক।

উচ্চতা $= \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ একক।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ বর্গ একক।

ব্যাখ্যা: এটি $6, 8, 10$ ত্রয়ী ($3 : 4 : 5$ এর দ্বিগুণ)।

উত্তর: গ) 48 বর্গ একক

4. ২০ সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কত ভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক) 20     খ) 190     গ) 380     ঘ) 760

সমাধান:

অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক দুটি আলাদা পদ। অধিনায়ক নির্বাচনের উপায় $= 20$।

অধিনায়ক নির্বাচিত হওয়ার পর সহ-অধিনায়ক নির্বাচনের উপায় $= 19$।

মোট উপায় $= 20 \times 19 = 380$ ($= {}^{20}P_2$)

ব্যাখ্যা: পদ আলাদা হওয়ায় ক্রম গুরুত্বপূর্ণ; তাই সমাবেশ (${}^{20}C_2 = 190$) নয়, বিন্যাস (${}^{20}P_2 = 380$) প্রযোজ্য।

উত্তর: গ) 380

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় (খ) $190$ ধরা হয়েছে (${}^{20}C_2$ দিয়ে)। কিন্তু অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক দুটি ভিন্ন পদ বলে আমাদের মতে সঠিক উত্তর $380$। পরীক্ষার্থীরা বইয়ের উত্তরটি মাথায় রাখতে পারেন, তবে যুক্তি অনুযায়ী $380$ সঠিক।

5. কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি হবে?

ক) 22     খ) 25     গ) 29     ঘ) 85

সমাধান:

সমান্তর প্রগমনে পরপর দুই পদের ব্যবধান (সাধারণ অন্তর) সমান।

সাধারণ অন্তর $d = 17 - 5 = 12$

তৃতীয় পদ $= 17 + 12 = 29$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $a_n = a + (n - 1)d$; $a_3 = 5 + 2 \times 12 = 29$।

উত্তর: গ) $29$

6. $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক) 55     খ) 80     গ) 68     ঘ) 89

সমাধান:

প্রতিটি পদ আগের দুটি পদের যোগফল: $1 + 2 = 3$, $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$, $5 + 8 = 13$, $8 + 13 = 21$, $13 + 21 = 34$

পরবর্তী পদ $= 21 + 34 = 55$

ব্যাখ্যা: এটি ফিবোনাচ্চি ধারা।

উত্তর: ক) $55$

7. $\dfrac{1}{2}$ এর শতকরা কত $\dfrac{3}{4}$ হবে?

ক) 120%     খ) 125%     গ) 180%     ঘ) 150%

সমাধান:

নির্ণেয় শতকরা $= \dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{2} \times 100\%$

$= \dfrac{3}{4} \times 2 \times 100\% = \dfrac{3}{2} \times 100\% = 150\%$

ব্যাখ্যা: যার সঙ্গে তুলনা (এখানে $\dfrac{1}{2}$) তাকে হরে বসিয়ে ভাগ করতে হয়।

উত্তর: ঘ) 150%

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে ভগ্নাংশটি $\dfrac{3}{8}$ এর মতো দেখায়, কিন্তু সেক্ষেত্রে উত্তর $75\%$ হতো, যা অপশনে নেই। $\dfrac{3}{4}$ ধরলে $150\%$ পাওয়া যায়, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (ঘ) এর সঙ্গে মেলে।

8. যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

ক) 20%     খ) 16%     গ) 11%     ঘ) 9%

সমাধান:

আগের দাম $100$ হলে নতুন দাম $125$।

$125$ টাকায় $25$ টাকার তেল কমাতে হবে।

$100$ টাকায় কমাতে হবে $\dfrac{25 \times 100}{125} = 20$ টাকার।

ব্যাখ্যা: সূত্র: শতকরা হ্রাস $= \dfrac{x}{100 + x} \times 100$, এখানে $x = 25$।

উত্তর: ক) 20%

9. $M$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $A$ এবং $N$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $B$ হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

ক) $\dfrac{A + B}{2}$     খ) $\dfrac{AM + BN}{A + B}$     গ) $\dfrac{AM + BN}{M + N}$     ঘ) $\dfrac{AM + BN}{A + B}$

সমাধান:

প্রথম $M$ টি সংখ্যার যোগফল $= M \times A = AM$

পরবর্তী $N$ টি সংখ্যার যোগফল $= N \times B = BN$

মোট সংখ্যা $= M + N$

সবগুলোর গড় $= \dfrac{AM + BN}{M + N}$

ব্যাখ্যা: ভরযুক্ত গড়ের এই সূত্রটি মনে রাখা দরকার: মোট যোগফল ÷ মোট সংখ্যা।

উত্তর: গ) $\dfrac{AM + BN}{M + N}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপায় (খ) ও (ঘ) অপশন একই রকম দেখা যায় এবং (গ) অপশনের হর অস্পষ্ট ($M + N$ হিসেবে পড়া হয়েছে)। সঠিক উত্তর $\dfrac{AM + BN}{M + N}$, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (গ) এর সঙ্গে মেলে।

10. কোনো স্কুলে ৭০% শিক্ষার্থী ইংরেজি এবং ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করেছে। কিন্তু ১০% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ৩০০ জন শিক্ষার্থী পাশ করে থাকে, তবে ঐ স্কুলে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

ক) 800 জন     খ) 500 জন     গ) 560 জন     ঘ) 760 জন

সমাধান:

কমপক্ষে একটিতে পাশ $= 100\% - 10\% = 90\%$

উভয় বিষয়ে পাশ $= 70\% + 80\% - 90\% = 60\%$

$60\%$ $= 300$ জন, তাই মোট শিক্ষার্থী $= \dfrac{300 \times 100}{60} = 500$ জন।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $500$ এর $60\% = 300$।

উত্তর: খ) 500 জন