22nd BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $x - 650 = 820 - x$

$2x = 820 + 650 = 1470$, তাই $x = 735$

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: সংখ্যাটি $650$ ও $820$ এর ঠিক মাঝখানে, অর্থাৎ গাণিতিক গড় $\dfrac{650 + 820}{2} = 735$।

উত্তর: খ) $735$

2. কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থী ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৬০%, উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

ক) 15%     খ) 10%     গ) 12%     ঘ) 11%

সমাধান:

কমপক্ষে একটিতে পাশ $= 80\% + 70\% - 60\% = 90\%$

উভয় বিষয়ে ফেল $= 100\% - 90\% = 10\%$

ব্যাখ্যা: ভেনচিত্রের সূত্র: $n(M \cup B) = n(M) + n(B) - n(M \cap B)$। এর বাইরের অংশই উভয় বিষয়ে ফেল।

উত্তর: খ) 10%

3. কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে?

ক) 35, 45, 63, 105, 315     খ) 35, 40, 65, 110, 315     গ) 35, 45, 70, 105, 315     ঘ) 35, 45, 63, 110, 315

সমাধান:

ভাগশেষ $31$ হলে ভাজক $31$ এর চেয়ে বড় হতে হবে এবং $346 - 31 = 315$ ভাজককে নিঃশেষে ভাগ করবে।

$315 = 3^2 \times 5 \times 7$। $315$ এর উৎপাদকগুলো: $1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315$

এদের মধ্যে $31$ এর চেয়ে বড় উৎপাদক: $35, 45, 63, 105, 315$

ব্যাখ্যা: ভাজক সবসময় ভাগশেষের চেয়ে বড় হয়, তাই $31$ এর ছোট উৎপাদকগুলো বাদ গেছে।

উত্তর: ক) $35, 45, 63, 105, 315$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপায় কিছু অপশনের সংখ্যা অস্পষ্ট। সঠিক উত্তর $35, 45, 63, 105, 315$, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (ক) এর সঙ্গে মেলে।

4. কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

ক) $0.3$     খ) $\sqrt{0.3}$     গ) $\dfrac{2}{5}$     ঘ) $\dfrac{1}{3}$

সমাধান:

$0.3 = \dfrac{3}{10}$; $\sqrt{0.3} \approx 0.5477$; $\dfrac{2}{5} = 0.4$; $\dfrac{1}{3} \approx 0.333$

$0.5477 > 0.4 > 0.333 > 0.3$

ব্যাখ্যা: $0$ ও $1$ এর মধ্যবর্তী কোনো সংখ্যার বর্গমূল সেই সংখ্যার চেয়ে বড় হয়।

উত্তর: খ) $\sqrt{0.3}$

5. একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করার ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?

ক) 8%     খ) 6%     গ) 5%     ঘ) 7%

সমাধান:

ক্রয়মূল্য $=$ বিক্রয়মূল্য $+$ ক্ষতি $= 380 + 20 = 400$ টাকা।

শতকরা ক্ষতি $= \dfrac{20}{400} \times 100 = 5\%$

ব্যাখ্যা: ক্ষতির শতকরা হার সবসময় ক্রয়মূল্যের ওপর হিসাব হয়।

উত্তর: গ) 5%

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় ক্রয়মূল্য $800$ ছাপা আছে, কিন্তু $380 + 20 = 400$; ফন্টের কারণে ৪ ও ৮ প্রায় একই রকম দেখায়। $\dfrac{20}{400} \times 100 = 5\%$ সঠিক।

6. দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক) 70     খ) 80     গ) 90     ঘ) 100

সমাধান:

ধরি ছোট সংখ্যা $x$, বড় সংখ্যা $x + 1$।

শর্তমতে, $(x + 1)^2 - x^2 = 199$

$x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199$, বা $2x = 198$, তাই $x = 99$

বড় সংখ্যা $= 99 + 1 = 100$

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: ক্রমিক দুই সংখ্যার বর্গের অন্তর $=$ সংখ্যা দুটির যোগফল। তাই যোগফল $199$ হলে সংখ্যা দুটি $99$ ও $100$।

উত্তর: ঘ) $100$

7. $x + y = 12$ এবং $x - y = 2$ হলে $xy$ এর মান কত?

ক) 35     খ) 140     গ) 70     ঘ) 144

সমাধান:

$4xy = (x + y)^2 - (x - y)^2$

$4xy = 12^2 - 2^2 = 144 - 4 = 140$

$xy = \dfrac{140}{4} = 35$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = 7$, $y = 5$ হলে $x + y = 12$, $x - y = 2$ এবং $xy = 35$।

উত্তর: ক) $35$

8. এক ব্যক্তি তার স্ত্রী থেকে ৫ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুন। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ হলে বর্তমানে ঐ ব্যক্তির বয়স কত?

ক) 65 বছর     খ) 28 বছর     গ) 33 বছর     ঘ) 53 বছর

সমাধান:

৫ বছর পরে ছেলের বয়স $12$, তাই বর্তমানে ছেলের বয়স $= 12 - 5 = 7$ বছর।

স্ত্রীর বয়স $= 4 \times 7 = 28$ বছর।

ব্যক্তির বয়স $= 28 + 5 = 33$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ব্যক্তি $33$, স্ত্রী $28$ (৫ বছরের বড়), ছেলে $7$ ($28 = 4 \times 7$)।

উত্তর: গ) 33 বছর

9. ৬০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি বাঁশকে $3 : 7 : 10$ অনুপাতে ভাগ করা হলো। টুকরাগুলোর সাইজ কত?

ক) 8 মি., 22 মি., 30 মি.     খ) 10 মি., 20 মি., 30 মি.     গ) 9 মি., 21 মি., 30 মি.     ঘ) 12 মি., 20 মি., 28 মি.

সমাধান:

অনুপাতের যোগফল $= 3 + 7 + 10 = 20$

১ম টুকরা $= 60 \times \dfrac{3}{20} = 9$ মি.

২য় টুকরা $= 60 \times \dfrac{7}{20} = 21$ মি.

৩য় টুকরা $= 60 \times \dfrac{10}{20} = 30$ মি.

ব্যাখ্যা: যাচাই: $9 + 21 + 30 = 60$।

উত্তর: গ) 9 মি., 21 মি., 30 মি.

10. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ২ হয় এবং লব উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তার সঙ্গে $\dfrac{1}{4}$ যোগ করলে যোগফল ১ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক) $\dfrac{7}{9}$     খ) $\dfrac{9}{11}$     গ) $\dfrac{11}{13}$     ঘ) $\dfrac{13}{15}$

সমাধান:

ধরি ভগ্নাংশটি $\dfrac{n}{n + 2}$ (হর $-$ লব $= 2$)।

$3$ বিয়োগ করলে ভগ্নাংশ $= \dfrac{n - 3}{n - 1}$।

শর্তমতে, $\dfrac{n - 3}{n - 1} + \dfrac{1}{4} = 1$, তাই $\dfrac{n - 3}{n - 1} = \dfrac{3}{4}$

আড়গুণন: $4(n - 3) = 3(n - 1)$, বা $4n - 12 = 3n - 3$, তাই $n = 9$

ভগ্নাংশটি $\dfrac{9}{11}$

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $\dfrac{9}{11}$ এ $3$ বিয়োগ করলে $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ এবং $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ ✓। অন্য অপশনে মেলে না: $\dfrac{7}{9} \to \dfrac{4}{6}$, $\dfrac{11}{13} \to \dfrac{8}{10}$, $\dfrac{13}{15} \to \dfrac{10}{12}$।

উত্তর: খ) $\dfrac{9}{11}$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় "যোগফল ১ হলে ভগ্নাংশটি $\dfrac{3}{8}$" লেখা আছে এবং $\dfrac{6}{8}$ কে $\dfrac{3}{8}$ লেখা হয়েছে, যা ভুল ($\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$)। আমাদের সমাধানে যোগ করার সংখ্যা $\dfrac{1}{4}$ ধরলে সঠিক ফল $\dfrac{9}{11}$ আসে, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (খ) এর সঙ্গে মেলে।