21st BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

১ মিনিট $= 60$ সেকেন্ড। $60$ সেকেন্ডে ঘোরে $90$ পূর্ণ আবর্তন।

১ সেকেন্ডে ঘোরে $\dfrac{90}{60} = 1.5$ আবর্তন।

১ আবর্তন $= 360\degree$, তাই ১ সেকেন্ডে $1.5 \times 360\degree = 540\degree$

ব্যাখ্যা: আবর্তনকে ডিগ্রীতে রূপান্তরের জন্য $360\degree$ দিয়ে গুণ করতে হয়।

উত্তর: ঘ) $540\degree$ (ছাপা সংখ্যা অনুযায়ী)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় এই প্রশ্নের উত্তর (ক) $180\degree$ লেখা আছে। প্রশ্নে "৯০ বার" ধরলে সঠিক উত্তর $540\degree$; $180\degree$ হতো যদি চাকা প্রতি মিনিটে $30$ বার ঘুরত। সম্ভবত প্রশ্ন বা উত্তর-তালিকার ছাপায় সংখ্যাগত ত্রুটি আছে। ছাপা সংখ্যা অনুযায়ী আমরা $540\degree$ নিয়েছি।

2. একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে। ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয় খেলে?

ক) 3     খ) 5     গ) 7     ঘ) 9

সমাধান:

কিছু না খেলে এমন ৫ জন বাদ দিলে অন্তত একটি খেলা খেলে $= 30 - 5 = 25$ জন।

সূত্র: $n(F \cup C) = n(F) + n(C) - n(F \cap C)$

$25 = 18 + 14 - n(F \cap C)$

$n(F \cap C) = 32 - 25 = 7$

ব্যাখ্যা: যাচাই: শুধু ফুটবল $18 - 7 = 11$, শুধু ক্রিকেট $14 - 7 = 7$, উভয় $7$, কিছুই নয় $5$; মোট $11 + 7 + 7 + 5 = 30$।

উত্তর: গ) $7$ জন

3. একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। তাতে সোনার পরিমাণ : তামার পরিমাণ = ৩ : ১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

ক) 12 গ্রাম     খ) 4 গ্রাম     গ) 3 গ্রাম     ঘ) 6 গ্রাম

সমাধান:

সোনা $= 16 \times \dfrac{3}{4} = 12$ গ্রাম, তামা $= 16 \times \dfrac{1}{4} = 4$ গ্রাম।

ধরি আরও $x$ গ্রাম সোনা মেশাতে হবে। শর্তমতে, $\dfrac{12 + x}{4} = \dfrac{4}{1}$

$12 + x = 16$, তাই $x = 4$

ব্যাখ্যা: তামার পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে, তাই সেটিকে ভিত্তি ধরে হিসাব করা সহজ।

উত্তর: খ) 4 গ্রাম

4. ১০০০ টাকা ক ও খ এর মধ্যে $1 : 4$ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে $2 : 1 : 1$ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?

ক) 100 টাকা     খ) 400 টাকা     গ) 200 টাকা     ঘ) 800 টাকা

সমাধান:

খ এর অংশ $= 1000 \times \dfrac{4}{1 + 4} = 800$ টাকা।

খ, মা ও মেয়ের অনুপাতের যোগফল $= 2 + 1 + 1 = 4$।

মেয়ের অংশ $= 800 \times \dfrac{1}{4} = 200$ টাকা।

ব্যাখ্যা: প্রথমে বড় ভাগ থেকে খ এর অংশ বের করে তারপর সেটিকে আবার ভাগ করতে হয়।

উত্তর: গ) 200 টাকা

5. ৯৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক) 21     খ) 39     গ) 33     ঘ) 29

সমাধান:

$2, 3, 4, 5, 6$ এর ল.সা.গু. $= 60$

$999999 \div 60$ করলে ভাগফল $16666$ এবং ভাগশেষ $39$ ($60 \times 16666 = 999960$; $999999 - 999960 = 39$)।

নিঃশেষে বিভাজ্য করতে যোগ করতে হবে $60 - 39 = 21$

ব্যাখ্যা: ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্যই নিঃশেষে বিভাজ্য করতে প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

উত্তর: ক) $21$

6. একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তাড়া করে। কুকুর যে সময়ে ৪ বার লাফ দেয়, খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। খরগোশ ৪ বার লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?

ক) 15 : 16     খ) 20 : 12     গ) 16 : 15     ঘ) 12 : 20

সমাধান:

ধরি কুকুরের ১ লাফ $= 1$ একক। খরগোশের $4$ লাফ $=$ কুকুরের $3$ লাফ, তাই খরগোশের ১ লাফ $= \dfrac{3}{4}$ একক।

নির্দিষ্ট সময়ে কুকুর যায় $4$ লাফ $= 4 \times 1 = 4$ একক।

একই সময়ে খরগোশ যায় $5$ লাফ $= 5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{4}$ একক।

গতিবেগের অনুপাত (কুকুর : খরগোশ) $= 4 : \dfrac{15}{4} = 16 : 15$

ব্যাখ্যা: একই সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাতই গতিবেগের অনুপাত।

উত্তর: গ) $16 : 15$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় এই প্রশ্নের চিহ্ন (ক), কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেই ফল $16 : 15$ আসে। ছাপা অপশনও অস্পষ্ট; আমাদের গণনা অনুযায়ী (কুকুর : খরগোশ) $= 16 : 15$। উল্টো ক্রমে (খরগোশ : কুকুর) লিখলে $15 : 16$ হয়।

7. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক) 16     খ) 4     গ) 8     ঘ) 12

সমাধান:

ধরি সরলরেখার দৈর্ঘ্য $x$। বর্গের ক্ষেত্রফল $= x^2$।

এক-চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য $\dfrac{x}{4}$; তার উপর বর্গের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{x^2}{16}$।

অনুপাত $= x^2 \div \dfrac{x^2}{16} = 16$

ব্যাখ্যা: বাহু $\dfrac{1}{n}$ গুণ হলে ক্ষেত্রফল $\dfrac{1}{n^2}$ গুণ হয়; $n = 4$ হলে $16$ গুণ।

উত্তর: ক) $16$

8. ৮জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?

ক) 25%     খ) $33\dfrac{1}{3}\%$     গ) 50%     ঘ) $66\dfrac{2}{3}\%$

সমাধান:

২ জন কমলে লোক সংখ্যা $= 8 - 2 = 6$ জন।

লোক ও দিন ব্যস্ত অনুপাতে: $8 \times 12 = 6 \times d$, তাই $d = \dfrac{96}{6} = 16$ দিন।

বেশি লাগে $16 - 12 = 4$ দিন।

শতকরা বৃদ্ধি $= \dfrac{4}{12} \times 100 = 33\dfrac{1}{3}\%$

ব্যাখ্যা: কাজ $=$ লোক $\times$ দিন ধ্রুবক; লোক $\dfrac{3}{4}$ অংশ হলে দিন $\dfrac{4}{3}$ গুণ হয়।

উত্তর: খ) $33\dfrac{1}{3}\%$

9. একজন চাকুরিজীবীর বেতনের $\dfrac{1}{10}$ অংশ কাপড় ক্রয়ে, $\dfrac{1}{3}$ অংশ খাদ্য ক্রয়ে এবং $\dfrac{1}{5}$ অংশ বাসা ভাড়ার ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট রইল?

ক) $36\dfrac{2}{3}\%$     খ) $37\dfrac{2}{3}\%$     গ) $42\dfrac{1}{3}\%$     ঘ) $46\dfrac{2}{3}\%$

সমাধান:

মোট ব্যয়ের অংশ $= \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3 + 10 + 6}{30} = \dfrac{19}{30}$

অবশিষ্ট অংশ $= 1 - \dfrac{19}{30} = \dfrac{11}{30}$

শতকরা $= \dfrac{11}{30} \times 100 = \dfrac{110}{3} = 36\dfrac{2}{3}\%$

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু. $30$ নিয়ে যোগ করলে হিসাব সহজ হয়।

উত্তর: ক) $36\dfrac{2}{3}\%$

10. এক দোকানদার ১১০ টাকা কেজি দামে কিছু চায়ের সঙ্গে ১০০ টাকা কেজি দামের দ্বিগুণ পরিমাণ চা মিশ্রিত করে তা ১২০ টাকা কেজি দামে বিক্রি করে মোট ২০০০ টাকা লাভ করল। দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারের কত কেজি চা ক্রয় করেছিল?

ক) 100 কেজি     খ) 80 কেজি     গ) 50 কেজি     ঘ) 60 কেজি

সমাধান:

ধরি ১১০ টাকা দামের চা $x$ কেজি। তাহলে ১০০ টাকা দামের চা $2x$ কেজি।

মোট ক্রয়মূল্য $= 110x + 100 \times 2x = 310x$ টাকা।

মোট চা $= 3x$ কেজি; বিক্রয়মূল্য $= 120 \times 3x = 360x$ টাকা।

লাভ $= 360x - 310x = 50x = 2000$, তাই $x = 40$

দ্বিতীয় প্রকারের চা $= 2x = 80$ কেজি।

ব্যাখ্যা: লাভ প্রতি কেজিতে গড়ে $\dfrac{50x}{3x} \approx 16.67$ টাকা, যা ২০০০ টাকার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ।

উত্তর: খ) 80 কেজি