20th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$4\dfrac{1}{2}\% = 4.5\%$। $100$ টাকার $4$ বছরের সুদ $= 4 \times 4.5 = 18$ টাকা।

$100$ টাকার সুদ-আসল $= 100 + 18 = 118$ টাকা।

সুদ-আসল $118$ টাকা হলে আসল $100$ টাকা।

সুদ-আসল $826$ টাকা হলে আসল $= \dfrac{100 \times 826}{118} = 700$ টাকা।

ব্যাখ্যা: সূত্র: আসল $= \dfrac{A \times 100}{100 + rt}$ যেখানে $A$ সুদ-আসল, $r$ হার ও $t$ সময়। এখানে $\dfrac{826 \times 100}{100 + 18} = 700$।

উত্তর: গ) 700 টাকা

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে হার ও সময়ের সংখ্যা ফন্টের কারণে অস্পষ্ট। বইয়ের সমাধানে $4\dfrac{1}{2}\%$ হার ও $4$ বছর ধরে ($4 \times 4.5 = 18$) ফল $700$ টাকা পাওয়া গেছে, যা অপশন (গ) ও উত্তর-চিহ্নের সঙ্গে মেলে; আমরাও তাই ধরেছি।

2. পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক) 56 এবং 14 বৎসর     খ) 32 এবং 8 বৎসর     গ) 36 এবং 9 বৎসর     ঘ) 40 এবং 10 বৎসর

সমাধান:

ধরি পুত্রের বর্তমান বয়স $x$ বছর। পিতার বয়স $= 4x$ বছর।

৬ বছর আগে পুত্রের বয়স $(x - 6)$ এবং পিতার বয়স $(4x - 6)$ বছর।

শর্তমতে, $4x - 6 = 10(x - 6)$

$4x - 6 = 10x - 60$, বা $54 = 6x$, তাই $x = 9$

পুত্রের বয়স $9$ বছর, পিতার বয়স $4 \times 9 = 36$ বছর।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৬ বছর আগে পুত্র $3$ বছর, পিতা $30$ বছর; $30 = 10 \times 3$।

উত্তর: গ) পিতা 36 এবং পুত্র 9 বৎসর

3. দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি খুলে দেওয়ায় ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেওয়াতে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে আর ৬ মিনিট লাগল। প্রত্যেক নল দ্বারা পৃথকভাবে কত সময়ে চৌবাচ্চা পূর্ণ হবে?

ক) 18 মি. এবং 12 মি.     খ) 24 মি. এবং 12 মি.     গ) 15 মি. এবং 12 মি.     ঘ) 10 মি. এবং 12 মি.

সমাধান:

দুটি নল একত্রে ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{1}{8}$ অংশ।

৪ মিনিটে দুটি নল ভরে $4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ অংশ। বাকি $\dfrac{1}{2}$ অংশ ভরেছে শুধু দ্বিতীয় নল ৬ মিনিটে।

দ্বিতীয় নল ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{1}{2} \div 6 = \dfrac{1}{12}$ অংশ, অর্থাৎ একা ভরতে লাগে $12$ মিনিট।

প্রথম নল ১ মিনিটে ভরে $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3 - 2}{24} = \dfrac{1}{24}$ অংশ, অর্থাৎ একা ভরতে লাগে $24$ মিনিট।

ব্যাখ্যা: অপশন টেস্ট: $24$ ও $12$ এর জন্য $\dfrac{24 \times 12}{24 + 12} = 8$ মিনিট, যা প্রথম শর্ত মেলায়। শুধু (খ) এ দ্বিতীয় শর্তও মেলে।

উত্তর: খ) 24 মিনিট এবং 12 মিনিট

4. $\dfrac{x}{y}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল $\dfrac{2y}{x}$ হবে?

ক) $\dfrac{2y^2 - x^2}{xy}$     খ) $\dfrac{x^2 - 2y^2}{xy}$     গ) $\dfrac{x^2 + 2y^2}{xy}$     ঘ) $\dfrac{x^2 - y^2}{xy}$

সমাধান:

নির্ণেয় রাশি $= \dfrac{2y}{x} - \dfrac{x}{y}$

ল.সা.গু. $= xy$: $\dfrac{2y \cdot y - x \cdot x}{xy} = \dfrac{2y^2 - x^2}{xy}$

ব্যাখ্যা: যোগফল থেকে প্রদত্ত রাশি বিয়োগ করলে অজানা রাশি পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $\dfrac{2y^2 - x^2}{xy}$

5. ঢাকা হতে চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ঢাকা হতে একটি ট্রেন সকাল ৭টায় ছেড়ে গিয়ে বিকেল ৩টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতি ঘণ্টায় কত ছিল?

ক) 24.5 কি.মি.     খ) 37.5 কি.মি.     গ) 42.0 কি.মি.     ঘ) 85.0 কি.মি.

সমাধান:

সকাল ৭টা থেকে বিকেল ৩টা (১৫টা) পর্যন্ত সময় $= 15 - 7 = 8$ ঘণ্টা।

গড় গতি $= \dfrac{300}{8} = 37.5$ কি.মি./ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা: গড় গতি = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়।

উত্তর: খ) 37.5 কি.মি.

6. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) 36 ব.মি.     খ) 42 ব.মি.     গ) 50 ব.মি.     ঘ) 48 ব.মি.

সমাধান:

ভূমির মধ্যবিন্দু থেকে শীর্ষে লম্ব টানলে ভূমি দুই সমান ভাগ হয়: প্রতিটি $8$ মি.।

উচ্চতা $h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ মি.।

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $\dfrac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$; এখানে $\dfrac{16}{4}\sqrt{400 - 256} = 4 \times 12 = 48$।

উত্তর: ঘ) 48 বর্গমিটার

7. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?

ক) 7 ও 11     খ) 12 ও 18     গ) 10 ও 24     ঘ) 10 ও 16

সমাধান:

ধরি সংখ্যা দুটি $5x$ ও $8x$।

শর্তমতে, $\dfrac{5x + 2}{8x + 2} = \dfrac{2}{3}$

আড়গুণন: $3(5x + 2) = 2(8x + 2)$, বা $15x + 6 = 16x + 4$

$x = 2$। সংখ্যা দুটি $5 \times 2 = 10$ ও $8 \times 2 = 16$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{10 + 2}{16 + 2} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$।

উত্তর: ঘ) 10 ও 16

8. একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

ক) দ্বিগুণ     খ) তিনগুণ     গ) চারগুণ     ঘ) পাঁচগুণ

সমাধান:

ধরি সরলরেখার দৈর্ঘ্য $x$। বর্গের ক্ষেত্রফল $= x^2$।

অর্ধেকের দৈর্ঘ্য $\dfrac{x}{2}$; তার উপর বর্গের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{x^2}{4}$।

অনুপাত $= x^2 \div \dfrac{x^2}{4} = x^2 \times \dfrac{4}{x^2} = 4$

ব্যাখ্যা: বাহু অর্ধেক হলে বর্গের ক্ষেত্রফল এক-চতুর্থাংশ হয়, অর্থাৎ মূল বর্গ ৪ গুণ।

উত্তর: গ) চারগুণ

9. $x$ ও $y$ এর মানের গড় ৯ এবং $z = 12$ হলে $x, y$ এবং $z$ এর মানের গড় কত হবে?

ক) 6     খ) 9     গ) 10     ঘ) 12

সমাধান:

$x + y = 2 \times 9 = 18$

$x, y, z$ এর গড় $= \dfrac{x + y + z}{3} = \dfrac{18 + 12}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$

ব্যাখ্যা: গড় জানা থাকলে যোগফল $=$ গড় $\times$ সংখ্যা।

উত্তর: গ) $10$