18th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি $x$।

শর্তমতে, $3x + 2x = 90$

$5x = 90$, তাই $x = 18$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $3 \times 18 + 2 \times 18 = 54 + 36 = 90$।

উত্তর: খ) $18$

2. পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে শেষ ৫টির যোগফল কত?

ক) 585     খ) 580     গ) 575     ঘ) 570

সমাধান:

পরপর সংখ্যা বলতে ধরি $n, n+1, \ldots, n+9$।

প্রথম ৫টি: $n, n+1, n+2, n+3, n+4$; শেষ ৫টি: $n+5, n+6, n+7, n+8, n+9$।

শেষ ৫টির প্রতিটি সংখ্যা প্রথম ৫টির অনুরূপ সংখ্যার চেয়ে $5$ বেশি।

শেষ ৫টির যোগফল $= 560 + 5 \times 5 = 585$

ব্যাখ্যা: পাঁচটি সংখ্যার প্রত্যেকটিতে $5$ করে বাড়লে যোগফল বাড়ে $5 \times 5 = 25$।

উত্তর: ক) $585$

3. কোন ভগ্নাংশটি $\dfrac{2}{3}$ থেকে বড়?

ক) $\dfrac{33}{50}$     খ) $\dfrac{8}{11}$     গ) $\dfrac{3}{5}$     ঘ) $\dfrac{11}{17}$

সমাধান:

$\dfrac{2}{3} \approx 0.667$

ক) $\dfrac{33}{50} = 0.66 < 0.667$

খ) $\dfrac{8}{11} \approx 0.727 > 0.667$

গ) $\dfrac{3}{5} = 0.6 < 0.667$

ঘ) $\dfrac{11}{17} \approx 0.647 < 0.667$

ব্যাখ্যা: আড়গুণন করেও যাচাই করা যায়: $8 \times 3 = 24 > 2 \times 11 = 22$, তাই $\dfrac{8}{11} > \dfrac{2}{3}$।

উত্তর: খ) $\dfrac{8}{11}$

4. ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যাসহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?

ক) 21     খ) 23     গ) 24     ঘ) 22

সমাধান:

$12, 16, 20, \ldots, 96$ একটি সমান্তর ধারা, সাধারণ অন্তর $4$।

পদসংখ্যা $= \dfrac{l - a}{d} + 1$

$= \dfrac{96 - 12}{4} + 1 = 21 + 1 = 22$

ব্যাখ্যা: পদসংখ্যার সূত্রে $l$ শেষ পদ, $a$ প্রথম পদ ও $d$ সাধারণ অন্তর। সংখ্যা দুটি অন্তর্ভুক্ত বলে শেষে $+1$ যোগ হয়েছে।

উত্তর: ঘ) $22$

5. $6, 8, 10$ এর গাণিতিক গড় $7, 9$ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

ক) 5     খ) 8     গ) 6     ঘ) 10

সমাধান:

$6, 8, 10$ এর গড় $= \dfrac{6 + 8 + 10}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$

ধরি সংখ্যাটি $x$। শর্তমতে, $\dfrac{7 + 9 + x}{3} = 8$

$16 + x = 24$, তাই $x = 8$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{7 + 9 + 8}{3} = 8$।

উত্তর: খ) $8$

6. $x + 5y = 16$ এবং $x = -3y$ হলে $y$ = ?

ক) 24     খ) $-2$     গ) 8     ঘ) 2

সমাধান:

$x = -3y$ কে প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই: $-3y + 5y = 16$

$2y = 16$, তাই $y = 8$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $x = -24$ হলে $-24 + 5 \times 8 = 16$।

উত্তর: গ) $8$

7. 'ক' ও 'খ' দুটি সংখ্যা। ক এর $\dfrac{1}{2}$ এবং খ এর $\dfrac{1}{3}$ যোগ করলে ৪৫ হয়। খ এর $\dfrac{1}{2}$ এবং ক এর $\dfrac{1}{5}$ যোগ করলে ৪০ হয়। ক ও খ এর মান কত?

ক) ক = 50, খ = 60     খ) ক = 60, খ = 50     গ) ক = 80, খ = 48     ঘ) ক = 60, খ = 48

সমাধান:

(i) $\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = 45$ এবং (ii) $\dfrac{b}{2} + \dfrac{a}{5} = 40$ (ক $= a$, খ $= b$)

(i) কে $6$ দ্বারা গুণ করে: $3a + 2b = 270$ ... (iii)

(ii) কে $10$ দ্বারা গুণ করে: $2a + 5b = 400$ ... (iv)

(iii) $\times 2 -$ (iv) $\times 3$: $6a + 4b - 6a - 15b = 540 - 1200$, বা $-11b = -660$, তাই $b = 60$

(iii) এ $b = 60$ বসিয়ে: $3a + 120 = 270$, তাই $a = 50$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{50}{2} + \dfrac{60}{3} = 25 + 20 = 45$ এবং $\dfrac{60}{2} + \dfrac{50}{5} = 30 + 10 = 40$। দুটি শর্তই সিদ্ধ।

উত্তর: ক) ক $= 50$, খ $= 60$

8. তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ঘণ্টায় করতে পারে। দুটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করতে পারে?

ক) $\dfrac{11}{13}$     খ) $\dfrac{9}{20}$     গ) $\dfrac{3}{5}$     ঘ) $\dfrac{11}{15}$

সমাধান:

মেশিন তিনটির ১ ঘণ্টার কাজ যথাক্রমে $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}$।

সর্বোচ্চ ক্ষমতার দুটি মেশিন হলো দ্রুততম দুটি: $4$ ও $5$ ঘণ্টার মেশিন।

১ ঘণ্টার কাজ $= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 + 4}{20} = \dfrac{9}{20}$

ব্যাখ্যা: যে মেশিন কম সময় নেয় তার ঘণ্টাপ্রতি কাজ বেশি, তাই সর্বোচ্চ কাজের জন্য সবচেয়ে কম সময়ের দুটি মেশিন নিতে হয়।

উত্তর: খ) $\dfrac{9}{20}$

9. ঢাকা থেকে টাঙ্গাইলের দূরত্ব ৪৫ মাইল। করিম ঘণ্টায় ৩ মাইল বেগে হাঁটে এবং রহিম ঘণ্টায় ৪ মাইল বেগে হাঁটে। করিম ঢাকা থেকে রওনা হওয়ার এক ঘণ্টা পর রহিম টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা রওনা হয়েছে। রহিম কত মাইল হাঁটার পর করিমের সাথে দেখা হবে?

ক) 24     খ) 23     গ) 22     ঘ) 21

সমাধান:

১ ঘণ্টায় করিম যায় $3$ মাইল। অবশিষ্ট দূরত্ব $= 45 - 3 = 42$ মাইল।

দুজন বিপরীত দিক থেকে আসছেন, তাই মিলিত বেগ $= 3 + 4 = 7$ মাইল/ঘণ্টা।

দেখা হতে সময় লাগবে $= \dfrac{42}{7} = 6$ ঘণ্টা (রহিম রওনা হওয়ার পর)।

রহিম হাঁটবেন $= 4 \times 6 = 24$ মাইল।

ব্যাখ্যা: যাচাই: ৬ ঘণ্টায় করিম হাঁটেন $18$ মাইল, আগের $3$ মাইলসহ মোট $21$ মাইল। $21 + 24 = 45$।

উত্তর: ক) 24 মাইল

10. একটি কম্পিউটার বিজ্ঞান পরীক্ষায় ৩০% পরীক্ষার্থী পাশ করেছে। যারা পাশ করতে পারেনি তাদের ১২ জন কম্পিউটার বিজ্ঞান কোর্সে অংশগ্রহণ করেছে এবং ৩০ জন উক্ত কোর্সে অংশগ্রহণ করেনি। কয়জন পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় অংশ গ্রহণ করেছে?

ক) 60     খ) 80     গ) 100     ঘ) 120

সমাধান:

যারা পাশ করেনি তাদের সংখ্যা $= 12 + 30 = 42$ জন।

পাশ করেনি $= 100 - 30 = 70\%$।

মোট পরীক্ষার্থীর $70\%$ $= 42$ জন, তাই মোট $= \dfrac{42 \times 100}{70} = 60$ জন।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $60$ এর $30\% = 18$ পাশ, $42$ ফেল। মোট $60$।

উত্তর: ক) 60

11. ৩৬০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করা হয়েছে। একটি ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করা হয়েছে। সব মিলিয়ে কত লোকসান হয়েছে?

ক) লাভ-লোকসান হয়নি     খ) 900 টাকা     গ) 300 টাকা     ঘ) 600 টাকা

সমাধান:

২০% লাভে বিক্রিত চেয়ারের ক্রয়মূল্য $= \dfrac{3600 \times 100}{120} = 3000$ টাকা।

২০% লোকসানে বিক্রিত চেয়ারের ক্রয়মূল্য $= \dfrac{3600 \times 100}{80} = 4500$ টাকা।

মোট ক্রয়মূল্য $= 3000 + 4500 = 7500$ টাকা।

মোট বিক্রয়মূল্য $= 3600 \times 2 = 7200$ টাকা।

লোকসান $= 7500 - 7200 = 300$ টাকা।

ব্যাখ্যা: দুটি পণ্যের একই দামে সমান শতাংশ লাভ ও লোকসান হলে সবসময় মোটের ওপর লোকসান হয়।

উত্তর: গ) 300 টাকা

12. সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চায় একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘণ্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৩ ঘণ্টা সময় লাগে। দুটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির $\dfrac{2}{3}$ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে?

ক) $\dfrac{8}{15}$ ঘণ্টা     খ) $\dfrac{3}{4}$ ঘণ্টা     গ) $\dfrac{5}{4}$ ঘণ্টা     ঘ) $\dfrac{2}{3}$ ঘণ্টা

সমাধান:

দুই পাইপের ১ ঘণ্টার কাজ $= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 5}{15} = \dfrac{8}{15}$

সম্পূর্ণ ভর্তি করতে সময় $= \dfrac{15}{8}$ ঘণ্টা।

$\dfrac{2}{3}$ অংশ ভর্তি করতে সময় $= \dfrac{15}{8} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{4}$ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা: সূত্র: দুটি পাইপ একসাথে পূর্ণ করার সময় $= \dfrac{mn}{m + n}$, এখানে $m = 5$, $n = 3$ ধরে $\dfrac{15}{8}$।

উত্তর: গ) $\dfrac{5}{4}$ ঘণ্টা

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপায় (খ) ও (ঘ) অপশনের মান স্পষ্ট নয়; সঠিক উত্তর $\dfrac{5}{4}$ ঘণ্টা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (গ) এর সঙ্গে মেলে বলে অপশন (গ) $\dfrac{5}{4}$ ধরা হয়েছে।

13. ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে বর্গক্ষেত্রের যেকোন এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক) 28 ফুট     খ) 36.8 ফুট     গ) 49.6 ফুট     ঘ) 46 ফুট

সমাধান:

ব্যাসার্ধ $r = \dfrac{56}{2} = 28$ ফুট।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \dfrac{22}{7} \times 28 \times 28 = 2464$ বর্গফুট।

বর্গক্ষেত্রের বাহু $a$ হলে $a^2 = 2464$, তাই $a = \sqrt{2464} \approx 49.6$ ফুট।

ব্যাখ্যা: $\pi = 3.14$ ধরলে ক্ষেত্রফল $2461.76$ এবং বাহু $\approx 49.6$ ফুট, উত্তর একই থাকে। সরাসরি: $a = r\sqrt{\pi} = 28 \times 1.7725 \approx 49.6$।

উত্তর: গ) 49.6 ফুট

14. একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

ক) 48 ফুট     খ) 41 ফুট     গ) 88 ফুট     ঘ) 83 ফুট

সমাধান:

মই, দেয়াল ও মাটি মিলে সমকোণী ত্রিভুজ; মই অতিভুজ।

$L^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681$

$L = \sqrt{1681} = 41$ ফুট।

ব্যাখ্যা: $9, 40, 41$ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী ($9^2 + 40^2 = 41^2$)। $L$ দ্বারা মইয়ের দৈর্ঘ্য বোঝানো হয়েছে।

উত্তর: খ) 41 ফুট

15. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

ক) 4999     খ) 5501     গ) 5050     ঘ) 5001

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n+1)}{2}$

$n = 100$ বসিয়ে, $\dfrac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$

ব্যাখ্যা: গাউসের কৌশল: $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, ..., এমন ৫০টি জোড়া, তাই $50 \times 101 = 5050$।

উত্তর: গ) $5050$