17th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$f(1) = 1^2 + \dfrac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$, তাই (ঘ) সত্য এবং (ক) মিথ্যা।

$f(0)$ এ $\dfrac{1}{0}$ থাকে, তাই $f(0)$ অসংজ্ঞায়িত; (খ) মিথ্যা।

$f(-1) = (-1)^2 + \dfrac{1}{-1} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$, তাই (গ) ও সত্য।

ব্যাখ্যা: $x$ এর জায়গায় সংখ্যা বসিয়ে ফাংশনের মান বের করতে হয়।

উত্তর: ঘ) $f(1) = 3$ (উত্তরমালা অনুযায়ী)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: গণনা করলে (গ) $f(-1) = 1$ ও সত্য হয়। অর্থাৎ অপশনে দুটি বক্তব্যই সত্য ((গ) ও (ঘ)); বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (ঘ), তাই সেটিই নেওয়া হয়েছে। প্রশ্নে সম্ভবত অপশন-ত্রুটি আছে।

2. $x + y = 0$, $2x - y + 3 = 0$ সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করেছে?

ক) $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$     খ) $(1, 1)$     গ) $(-3, 3)$     ঘ) $(-1, 1)$

সমাধান:

প্রথম সমীকরণ থেকে, $x = -y$

দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে: $2(-y) - y + 3 = 0$

$-3y + 3 = 0$, তাই $y = 1$

$x = -y = -1$। ছেদবিন্দু $(-1, 1)$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $-1 + 1 = 0$ এবং $2(-1) - 1 + 3 = 0$। দুই সমীকরণই সিদ্ধ হয়।

উত্তর: ঘ) $(-1, 1)$

3. একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম, তাতে সোনার পরিমাণ : তামার পরিমাণ = ৩ : ১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

ক) 12 গ্রাম     খ) 4 গ্রাম     গ) 3 গ্রাম     ঘ) 6 গ্রাম

সমাধান:

সোনা $= 16 \times \dfrac{3}{4} = 12$ গ্রাম, তামা $= 16 \times \dfrac{1}{4} = 4$ গ্রাম।

তামার পরিমাণ একই থাকবে। নতুন অনুপাত $4 : 1$ হলে নতুন সোনা $= 4 \times 4 = 16$ গ্রাম।

অতিরিক্ত সোনা $= 16 - 12 = 4$ গ্রাম।

ব্যাখ্যা: যে উপাদান পরিবর্তিত হয় না (তামা), তার ভিত্তিতে নতুন অনুপাত বসানো সহজ।

উত্তর: খ) 4 গ্রাম

4. যদি $x^2 + px + 6 = 0$ এর মূল দুটি সমান এবং $p > 0$ হয়, তবে $p$ এর মান কত?

ক) $\sqrt{48}$     খ) 0     গ) $\sqrt{6}$     ঘ) $\sqrt{24}$

সমাধান:

দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর মূল সমান হওয়ার শর্ত: নিরূপক $b^2 - 4ac = 0$

এখানে $a = 1$, $b = p$, $c = 6$

$p^2 - 4 \times 1 \times 6 = 0$, বা $p^2 = 24$

$p > 0$ হওয়ায় $p = \sqrt{24}$

ব্যাখ্যা: $p = \pm\sqrt{24}$ থেকে শুধু ধনাত্মক মানটি নেওয়া হয়েছে, কারণ প্রশ্নে $p > 0$ বলা আছে।

উত্তর: ঘ) $\sqrt{24}$

5. $\left(\dfrac{125}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$ এর সহজ প্রকাশ-

ক) $\dfrac{3}{25}$     খ) $\dfrac{5}{20}$     গ) $\dfrac{9}{25}$     ঘ) $\dfrac{3}{20}$

সমাধান:

ঋণাত্মক সূচক থাকায় ভগ্নাংশটি উল্টে ধনাত্মক সূচক করি: $\left(\dfrac{27}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$

$27 = 3^3$ এবং $125 = 5^3$, তাই $\left(\dfrac{3^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{3 \times \frac{2}{3}}$

$= \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$

ব্যাখ্যা: মনে রাখুন: $3^3 = 27$ এবং $5^3 = 125$।

উত্তর: গ) $\dfrac{9}{25}$

6. দুটি লম্বালম্বি শক্তির পরিমাণ $5N$ এবং $4\text{N}$ তাদের লব্ধি পরিমাণ কত?

ক) $5N$     খ) $\sqrt{11}N$     গ) $\sqrt{41}N$     ঘ) $3N$

সমাধান:

পরস্পর লম্ব দুটি বলের লব্ধি $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$

$R = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

ব্যাখ্যা: দুটি বলকে সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ধরলে লব্ধি অতিভুজ হয় (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)।

উত্তর: গ) $\sqrt{41}N$

7. নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ১?

ক) 71     খ) 81     গ) 31     ঘ) 39

সমাধান:

$3, 5, 6$ এর ল.সা.গু. $= 30$

সংখ্যাটি $= 30 + 1 = 31$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $31 = 3 \times 10 + 1 = 5 \times 6 + 1 = 6 \times 5 + 1$। প্রতিটিতে ভাগশেষ $1$।

উত্তর: গ) $31$

8. একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক) 10 গজ     খ) 12 গজ     গ) 14 গজ     ঘ) 7 গজ

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা

$84 = \dfrac{1}{2} \times b \times 12 = 6b$

$b = \dfrac{84}{6} = 14$ গজ।

ব্যাখ্যা: ভূমি $b = \dfrac{2 \times A}{h}$ সূত্রেও একই ফল ($A$ = ক্ষেত্রফল, $h$ = উচ্চতা)।

উত্তর: গ) 14 গজ

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যার শেষ লাইনে ভূমির মান ১৮ গজ ছাপা আছে, এটি মুদ্রণ-ত্রুটি। সঠিক হিসাবে ১৪ গজ হয়, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (গ) এর সঙ্গে মেলে।

9. একটি কাঠের টুকরার দৈর্ঘ্য আরেকটি টুকরার দৈর্ঘ্যের ৩ গুণ। টুকরা দুটো সংযুক্ত করা হলে সংযুক্ত টুকরাটির দৈর্ঘ্য ছোট টুকরার চাইতে কত গুণ বড় হবে?

ক) 3 গুণ     খ) 4 গুণ     গ) 5 গুণ     ঘ) 8 গুণ

সমাধান:

ধরি ছোট টুকরার দৈর্ঘ্য $x$। বড় টুকরার দৈর্ঘ্য $= 3x$।

সংযুক্ত টুকরার দৈর্ঘ্য $= x + 3x = 4x$।

$\dfrac{4x}{x} = 4$ গুণ।

ব্যাখ্যা: সংযুক্ত দৈর্ঘ্য ছোট টুকরার $4$ গুণ।

উত্তর: খ) 4 গুণ

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় "$3x + x = 8x$" লেখা আছে, যা ভুল; $3x + x = 4x$। অপশনগুলোর ছাপাও অস্পষ্ট (৪ ও ৮ প্রায় একই রকম দেখায়)। উত্তর-চিহ্ন (খ) $4$ গুণের সঙ্গে সঠিক গণনা মেলে।

10. $x - [x - \{x - (x + 1)\}]$ এর মান কত?

ক) $x + 1$     খ) 1     গ) $-1$     ঘ) $x - 1$

সমাধান:

সবচেয়ে ভেতরের গোল বন্ধনী: $x - (x + 1) = x - x - 1 = -1$। এখন রাশিটি $x - [x - \{-1\}]$।

এরপর বাইরের $[ \ ]$ এর ভেতরে: $x - \{-1\} = x + 1$। এখন রাশিটি $x - [x + 1]$।

সবশেষে: $x - (x + 1) = x - x - 1 = -1$

ব্যাখ্যা: ভেতর থেকে বাইরের দিকে একটি একটি করে বন্ধনী খুলতে হয়: প্রথম বন্ধনী, তারপর দ্বিতীয়, তারপর তৃতীয়।

উত্তর: গ) $-1$

11. $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয় $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে নির্ণেয় কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে? (চিত্রে $A, D$ উপরে এবং $C, B$ নিচে)

ক) $\angle AOD = \angle BOC$     খ) $\angle AOD = \angle BOD$     গ) $\angle BOC = \angle AOC$     ঘ) $\angle AOD > \angle BOC$

সমাধান:

দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণ সমান হয়।

$\angle AOD$ ও $\angle BOC$ বিপ্রতীপ কোণ (পরস্পর বিপরীত দিকে)।

অতএব $\angle AOD = \angle BOC$।

ব্যাখ্যা: বিপ্রতীপ কোণ সমান: $\angle AOC = \angle BOD$ এবং $\angle AOD = \angle BOC$।

উত্তর: ক) $\angle AOD = \angle BOC$

12. লুপ্ত সংখ্যাটি কত? $81, 27, \ldots, 3, 1$

ক) 6     খ) 9     গ) 12     ঘ) 15

সমাধান:

প্রতিটি পদকে পূর্বের পদ দিয়ে ভাগ করে পাই: $\dfrac{27}{81} = \dfrac{1}{3}$

তাই প্রতিটি পদ আগের পদের $\dfrac{1}{3}$ অংশ (সাধারণ অনুপাত $\dfrac{1}{3}$)।

$27 \times \dfrac{1}{3} = 9$; যাচাই: $9 \times \dfrac{1}{3} = 3$, $3 \times \dfrac{1}{3} = 1$

ব্যাখ্যা: ধারাটি গুণোত্তর ধারা; পদগুলো $3^4, 3^3, 3^2, 3^1, 3^0$।

উত্তর: খ) $9$

13. ঢাকা ও চট্টগ্রাম এই দুই স্টেশন থেকে প্রতি ঘণ্টায় একটি ট্রেন এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনের দিকে যাত্রা করে। সব ট্রেনই সমান গতিতে চলে এবং গন্তব্যস্থলে পৌঁছাতে প্রত্যেক ট্রেনের ৫ ঘণ্টা সময় লাগে। এক স্টেশন থেকে যাত্রা করে অন্য স্টেশনে পৌঁছা পর্যন্ত একটা ট্রেন কয়টি ট্রেনের দেখা পায়?

ক) 8     খ) 10     গ) 11     ঘ) 12

সমাধান:

একটি ট্রেনের যাত্রাকাল $5$ ঘণ্টা; বিপরীত দিক থেকে প্রতি ঘণ্টায় একটি ট্রেন ছাড়ে।

ট্রেনটি যাত্রা শুরুর সময় বিপরীত দিকের যে ট্রেনগুলো আগেই ছেড়েছে ও পথে আছে, তাদের সংখ্যা $5$।

যাত্রাকালের ৫ ঘণ্টায় বিপরীত স্টেশন থেকে আরও $5$ টি ট্রেন ছাড়ে এবং এগুলোর সাথে দেখা হয়।

মোট $= 5 + 5 = 10$ টি।

ব্যাখ্যা: গণনার রীতিটি হলো: যাত্রার শুরুতে পথে থাকা ট্রেন ($5$ টি) ও যাত্রার সময়ে ছাড়া ট্রেন ($5$ টি) যোগ করা।

উত্তর: খ) 10

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই প্রশ্নের উত্তর গণনার রীতির ওপর নির্ভর করে। শুরুর মুহূর্তে এবং শেষ মুহূর্তে স্টেশনে থাকা ট্রেনগুলো ধরলে মোট ১১টি, না ধরলে ৯টি হয়। বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (খ) $10$, তাই সেই রীতি অনুসারে সমাধান দেওয়া হয়েছে।

14. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., অন্তর ও ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২, ৬০ ও ২৪৪৮; সংখ্যা দুইটি কত?

ক) 104, 204     খ) 104, 144     গ) 104, 244     ঘ) 144, 204

সমাধান:

ধরি সংখ্যা দুটি $12x$ ও $12y$ ($x, y$ সহমৌলিক), $x > y$।

অন্তর: $12x - 12y = 60$, বা $x - y = 5$ ... (i)

গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু. $=$ সংখ্যা দুটির গুণফল: $12 \times 2448 = 12x \times 12y$, বা $xy = \dfrac{2448}{12} = 204$ ... (ii)

(i) থেকে $x = y + 5$। (ii) এ বসিয়ে: $y(y + 5) = 204$, বা $y^2 + 5y - 204 = 0$

$y^2 + 17y - 12y - 204 = 0$, বা $(y + 17)(y - 12) = 0$

$y = 12$ ($y > 0$)। তাহলে $x = 17$।

সংখ্যা দুটি $12 \times 17 = 204$ এবং $12 \times 12 = 144$।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $204 - 144 = 60$; $17$ ও $12$ সহমৌলিক; ল.সা.গু. $= 12 \times 17 \times 12 = 2448$।

উত্তর: ঘ) $144, 204$