16th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয় তখনই, যখন সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

$2048 = 2^{11}$, $512 = 2^9$, $48 = 2^4 \times 3$ কোনোটিই পূর্ণবর্গ নয়।

$1024 = 2^{10} = 32^2$ পূর্ণবর্গ।

ভাজক সংখ্যা $= 10 + 1 = 11$ (বিজোড়)।

ব্যাখ্যা: সংখ্যার উৎপাদক সাধারণত জোড়ায় জোড়ায় (গুণফল সংখ্যাটি) আসে। কেবল পূর্ণবর্গে একটি উৎপাদক নিজের সঙ্গেই জোড় বাঁধে, ফলে মোট সংখ্যা বিজোড় হয়ে যায়।

উত্তর: গ) $1024$

2. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সহিত ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক) 89     খ) 141     গ) 248     ঘ) 170

সমাধান:

$24 = 2^3 \times 3$, $36 = 2^2 \times 3^2$, $48 = 2^4 \times 3$

ল.সা.গু. $= 2^4 \times 3^2 = 144$

সংখ্যাটি $+ 3$ $= 144$ হলে সংখ্যাটি লঘিষ্ঠ হবে।

সংখ্যাটি $= 144 - 3 = 141$

ব্যাখ্যা: বিভাজ্য হওয়ার জন্য যোগফল ল.সা.গু. এর গুণিতক হতে হবে। লঘিষ্ঠ সংখ্যা চাইলে ল.সা.গু. নিজেই ধরতে হয়।

উত্তর: খ) $141$

3. ৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৫০০ টাকা হলে সুদের হার কত?

ক) 5%     খ) 6%     গ) 10%     ঘ) 12%

সমাধান:

ধরি সুদের হার $r\%$।

প্রথম সুদ $= \dfrac{500 \times r \times 4}{100} = 20r$

দ্বিতীয় সুদ $= \dfrac{600 \times r \times 5}{100} = 30r$

$20r + 30r = 500$, বা $50r = 500$, তাই $r = 10$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $500$ এর $10\%$ হারে ৪ বছরে $200$ টাকা এবং $600$ এর ৫ বছরে $300$ টাকা, মোট $500$ টাকা।

উত্তর: গ) 10%

4. দুই ব্যক্তি একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকি কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকি কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

ক) 20 দিন     খ) 22 দিন     গ) 24 দিন     ঘ) 26 দিন

সমাধান:

দুজনের ১ দিনের কাজ $= \dfrac{1}{8}$

প্রথম ব্যক্তির ১ দিনের কাজ $= \dfrac{1}{12}$

দ্বিতীয় ব্যক্তির ১ দিনের কাজ $= \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3 - 2}{24} = \dfrac{1}{24}$

অতএব তিনি একাকি কাজটি করতে পারবেন $24$ দিনে।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট সূত্র: দ্বিতীয়জনের সময় $= \dfrac{m \times n}{m - n}$ যেখানে $m = 12$ (একজনের সময়) ও $n = 8$ (দুজনের সময়): $\dfrac{12 \times 8}{12 - 8} = 24$।

উত্তর: গ) 24 দিন

5. $a + b + c = 9$, $a^2 + b^2 + c^2 = 29$ হলে $ab + bc + ca$ এর মান কত?

ক) 52     খ) 46     গ) 26     ঘ) 22

সমাধান:

সূত্র: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$9^2 = 29 + 2(ab + bc + ca)$

$81 - 29 = 2(ab + bc + ca)$, বা $52 = 2(ab + bc + ca)$

$ab + bc + ca = 26$

ব্যাখ্যা: দুই সংখ্যার যোগফল ও বর্গের যোগফল দেওয়া থাকলে গুণফলের যোগফল এভাবে পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) $26$

6. $\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 + 2ab}{a^2 - b^2 + c^2 + 2ac}$ = কত?

ক) $a + b + c$     খ) $\dfrac{a + b - c}{a - b + c}$     গ) $\dfrac{a - b + c}{a + b - c}$     ঘ) $\dfrac{a + b - c}{(c + a)^2 - a^2}$

সমাধান:

লব $= a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = (a + b)^2 - c^2 = (a + b + c)(a + b - c)$

হর $= a^2 + 2ac + c^2 - b^2 = (a + c)^2 - b^2 = (a + c + b)(a + c - b)$

ভগ্নাংশ $= \dfrac{(a + b + c)(a + b - c)}{(a + b + c)(a - b + c)}$

সাধারণ উৎপাদক $(a + b + c)$ কেটে পাই $\dfrac{a + b - c}{a - b + c}$

ব্যাখ্যা: পদগুলো সাজিয়ে "দুই বর্গের অন্তর" সূত্র $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ বসানোই এখানে মূল কৌশল।

উত্তর: খ) $\dfrac{a + b - c}{a - b + c}$

7. $a : b = 4 : 7$ এবং $b : c = 5 : 6$ হলে $a : b : c$ = কত?

ক) $4 : 7 : 6$     খ) $20 : 35 : 24$     গ) $20 : 35 : 42$     ঘ) $24 : 35 : 30$

সমাধান:

$b$ এর সাধারণ মান বের করতে $7$ ও $5$ এর ল.সা.গু. $= 35$

$a : b = 4 : 7 = 4 \times 5 : 7 \times 5 = 20 : 35$

$b : c = 5 : 6 = 5 \times 7 : 6 \times 7 = 35 : 42$

সুতরাং $a : b : c = 20 : 35 : 42$

ব্যাখ্যা: একই রাশি ($b$) দুই অনুপাতে থাকলে তার মানকে ল.সা.গু.-তে নিয়ে এলেই তিনটি রাশির অনুপাত পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) $20 : 35 : 42$

8. চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত $1 : 2 : 2 : 3$ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে?

ক) $100\degree$     খ) $115\degree$     গ) $135\degree$     ঘ) $225\degree$

সমাধান:

অনুপাতের যোগফল $= 1 + 2 + 2 + 3 = 8$

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি $= 360\degree$

বৃহত্তম কোণ $= 360\degree \times \dfrac{3}{8} = 135\degree$

ব্যাখ্যা: অনুপাতের সবচেয়ে বড় অংশটি ($3$) নিয়ে মোটের ওপর ভাগ করলে বৃহত্তম কোণ পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) $135\degree$

9. দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?

ক) দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ     খ) তিন বাহু     গ) দুই কোণ ও এক বাহু     ঘ) তিন কোণ

সমাধান:

ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার প্রচলিত শর্ত: (i) দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ (SAS), (ii) তিন বাহু (SSS), (iii) দুই কোণ ও এক বাহু (AAS/ASA), (iv) সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ ও এক বাহু।

তিন কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হয়, কিন্তু আকার ছোট-বড় হতে পারে, তাই সর্বসম নাও হতে পারে।

ব্যাখ্যা: (ক), (খ), (গ) তিনটিতেই ত্রিভুজ অবশ্যই সর্বসম হবে। শুধু তিন কোণ সমান থাকলে সর্বসমতা নিশ্চিত হয় না।

উত্তর: ঘ) তিন কোণ

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় এই প্রশ্নের উত্তর (ক) লেখা আছে। কিন্তু দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে ত্রিভুজ অবশ্যই সর্বসম হয়, তাই সঠিক উত্তর (ঘ) তিন কোণ। উত্তর-তালিকার চিহ্নটি সম্ভবত ভুল।