15th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

মই, দেয়াল ও মাটি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়; মই অতিভুজ $= 50$ মি.।

দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) $= 40$ মি.। ধরি দেয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব (ভূমি) $= d$।

$d^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$

$d = \sqrt{900} = 30$ মিটার।

ব্যাখ্যা: এটি $3:4:5$ ত্রয়ীর দশ গুণ: $30, 40, 50$।

উত্তর: খ) 30 মিটার

2. $(2+x)+3 = 3(x+2)$ হলে $x$ এর মান কত?

ক) $-\dfrac{1}{2}$     খ) $\dfrac{1}{2}$     গ) $\dfrac{1}{3}$     ঘ) $\dfrac{2}{3}$

সমাধান:

$2 + x + 3 = 3x + 6$

$x + 5 = 3x + 6$

$5 - 6 = 3x - x$, বা $-1 = 2x$

$x = -\dfrac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: যাচাই: বামপক্ষ $= 2 - 0.5 + 3 = 4.5$; ডানপক্ষ $= 3(-0.5 + 2) = 4.5$। দুটি সমান।

উত্তর: ক) $-\dfrac{1}{2}$

3. কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

ক) $0.3$     খ) $\sqrt{0.3}$     গ) $\dfrac{2}{5}$     ঘ) $\dfrac{1}{3}$

সমাধান:

দশমিকে রূপান্তর: $0.3$; $\sqrt{0.3} \approx 0.5477$; $\dfrac{2}{5} = 0.4$; $\dfrac{1}{3} \approx 0.333$

$0.5477 > 0.4 > 0.333 > 0.3$

ব্যাখ্যা: $0 < x < 1$ হলে $\sqrt{x} > x$ হয়, তাই $\sqrt{0.3}$ এর মান $0.3$ এর চেয়ে বড়। অন্য দুটি ভগ্নাংশ ($0.4$ ও $0.33$) এর চেয়েও বড়, এটা প্রায় মান বসিয়ে দেখা হয়েছে।

উত্তর: খ) $\sqrt{0.3}$

4. $a = 1$, $b = -1$, $c = 2$, $d = -2$ হলে $a - (-b) - (-c) - (-d)$ এর মান কত?

ক) 0     খ) 1     গ) 2     ঘ) 3

সমাধান:

$-(-b) = +b$, $-(-c) = +c$, $-(-d) = +d$

রাশি $= a + b + c + d$

$= 1 + (-1) + 2 + (-2) = 0$

ব্যাখ্যা: দুটি ঋণ চিহ্ন পরপর থাকলে তা ধনাত্মক হয়ে যায়।

উত্তর: ক) $0$

5. ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত?

ক) 4850     খ) 4950     গ) 5750     ঘ) 5950

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n+1)}{2}$

$n = 99$ বসিয়ে, $\dfrac{99 \times 100}{2} = 99 \times 50 = 4950$

ব্যাখ্যা: জোড়া করে দেখলে: $(1 + 99) + (2 + 98) + \cdots$, ৪৯টি জোড়া $\times 100 = 4900$ এবং মাঝের $50$ যোগ করে $4950$।

উত্তর: খ) $4950$

6. পরস্পর স্পর্শ করে আছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র $P, Q, R$ এবং $PQ = a$, $QR = b$, $RP = c$ হলে $P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে?

ক) $a + b + c$     খ) $b + c - a$     গ) $c + a - b$     ঘ) $-a - b + c$

সমাধান:

ধরি $P, Q, R$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_P, r_Q, r_R$।

বৃত্তগুলো পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $=$ ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল:

$r_P + r_Q = a$, $r_Q + r_R = b$, $r_R + r_P = c$

প্রথম ও তৃতীয় সমীকরণ যোগ করে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে: $2r_P = a + c - b$

$P$ কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস $= 2r_P = a + c - b = c + a - b$

ব্যাখ্যা: তিনটি সমীকরণ থেকে একটি অজানা বের করার এই কৌশল (দুটি যোগ, একটি বিয়োগ) বহুল ব্যবহৃত।

উত্তর: গ) $c + a - b$

7. $x + y - 1 = 0$, $x - y + 1 = 0$ এবং $y + 3 = 0$ সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

ক) সমবাহু     খ) বিষমবাহু     গ) সমকোণী     ঘ) সমদ্বিবাহু

সমাধান:

(i) $x + y - 1 = 0$, বা $y = -x + 1$; ঢাল $m_1 = -1$

(ii) $x - y + 1 = 0$, বা $y = x + 1$; ঢাল $m_2 = 1$

$m_1 \cdot m_2 = (-1)(1) = -1$, তাই রেখা দুটি পরস্পর লম্ব।

অতএব ত্রিভুজটি সমকোণী (সমকোণ শীর্ষ $(0, 1)$ এ)।

ব্যাখ্যা: কৌণিক বিন্দুগুলো: $(0, 1)$, $(4, -3)$, $(-4, -3)$। বাহুগুলো $4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 8$, তাই এটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।

উত্তর: গ) সমকোণী

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: এই ত্রিভুজ একই সঙ্গে সমদ্বিবাহুও, কিন্তু অপশনে "সমকোণী" ও "সমদ্বিবাহু" দুটিই আছে; বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (গ) সমকোণী। আমরা সে অনুযায়ী (গ) নিয়েছি।

8. ৬৪ কিলোগ্রাম বালি ও পাথরের টুকরার মিশ্রণে বালির পরিমাণ ২৫%। কত কিলোগ্রাম বালি মিশালে নতুন মিশ্রণে পাথরের টুকরার পরিমাণ ৪০% হবে?

ক) 9.6 কিলোগ্রাম     খ) 11.0 কিলোগ্রাম     গ) 48.0 কিলোগ্রাম     ঘ) 56.0 কিলোগ্রাম

সমাধান:

বালি $= 64 \times \dfrac{25}{100} = 16$ কেজি; পাথর $= 64 - 16 = 48$ কেজি।

বালি মেশালে পাথরের পরিমাণ $48$ কেজিই থাকে এবং নতুন মিশ্রণে তা $40\%$।

নতুন মিশ্রণ $= \dfrac{48 \times 100}{40} = 120$ কেজি।

নতুন বালি $= 120 - 48 = 72$ কেজি।

অতিরিক্ত বালি $= 72 - 16 = 56$ কেজি।

ব্যাখ্যা: যে উপাদান বদলায় না (এখানে পাথর), তার ভিত্তিতে নতুন মোট বের করাই কৌশল।

উত্তর: ঘ) 56 কিলোগ্রাম

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে "কিলোমিটার" লেখা আছে ($64$ কিলোমিটারের বালি-পাথর), যা একক-ত্রুটি মনে হয়; অপশনগুলো কিলোগ্রামে, তাই আমরা কিলোগ্রাম ধরেছি।

9. কোন সংখ্যার $\dfrac{2}{7}$ অংশ $64$ এর মান?

ক) $18\dfrac{2}{7}$     খ) 248     গ) 217     ঘ) 224

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি $x$। শর্তমতে, $\dfrac{2}{7}x = 64$

$x = 64 \times \dfrac{7}{2} = 32 \times 7 = 224$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $224$ এর $\dfrac{2}{7} = 32 \times 2 = 64$।

উত্তর: ঘ) $224$