14th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি দশকের অঙ্ক $y$, এককের অঙ্ক $x$। সংখ্যাটি $= 10y + x$।

১ম শর্তে, $x - y = 3$, তাই $x = y + 3$

২য় শর্তে, $10y + x = 3(x + y) + 4$

$x$ এর মান বসিয়ে: $10y + y + 3 = 3(2y + 3) + 4$

$11y + 3 = 6y + 13$, বা $5y = 10$, তাই $y = 2$

$x = 2 + 3 = 5$। সংখ্যাটি $= 10 \times 2 + 5 = 25$

ব্যাখ্যা: যাচাই: অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $2 + 5 = 7$; $3 \times 7 + 4 = 25$ এবং $5 - 2 = 3$।

উত্তর: গ) $25$

2. এক গোয়ালা তার $n$ সংখ্যক গাভীকে চার পুত্রের মধ্যে নিম্নলিখিতভাবে বণ্টন করে দিল। প্রথম পুত্রকে $\dfrac{1}{2}$ অংশে, দ্বিতীয় পুত্রকে $\dfrac{1}{4}$ অংশে, তৃতীয় পুত্রকে $\dfrac{1}{5}$ অংশ এবং বাকি ৭ গাভী চতুর্থ পুত্রকে দিল। ঐ গোয়ালার গাভীর সংখ্যা কতছিল?

ক) 100টি     খ) 140টি     গ) 180টি     ঘ) 200টি

সমাধান:

প্রথম তিন পুত্রের অংশ $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{10 + 5 + 4}{20} = \dfrac{19}{20}$

চতুর্থ পুত্রের অংশ $= 1 - \dfrac{19}{20} = \dfrac{1}{20}$

শর্তমতে, $n \times \dfrac{1}{20} = 7$

$n = 7 \times 20 = 140$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $140$ এর $\dfrac{1}{2} = 70$, $\dfrac{1}{4} = 35$, $\dfrac{1}{5} = 28$; যোগফল $133$, বাকি $7$।

উত্তর: খ) 140টি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপায় দ্বিতীয় পুত্রের অংশটি স্পষ্ট পড়া যায় না। $\dfrac{1}{4}$ ধরলে উত্তর $140$ হয়, যা বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (খ) এর সঙ্গে মেলে এবং অপশনেও আছে; তাই এটিই ধরা হয়েছে। বইয়ের ব্যাখ্যায় সমাপ্তি-লাইনে একটি সংখ্যা ($9$ ও $180$) ফন্ট-জনিত কারণে ভুল ছাপা মনে হয়।

3. ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে $30\degree$ কোণ স্পর্শ করল। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

ক) 12 ফুট     খ) 9 ফুট     গ) 6 ফুট     ঘ) 3 ফুট

সমাধান:

ধরি খুঁটিটি মাটি থেকে $h$ ফুট উচ্চতায় ভেঙেছে। ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $= (18 - h)$ ফুট।

ভাঙা অংশ ভূমির সঙ্গে $30\degree$ কোণ করে। সমকোণী ত্রিভুজে $\sin 30\degree = \dfrac{h}{18 - h}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{18 - h}$, বা $18 - h = 2h$

$3h = 18$, তাই $h = 6$

ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের লম্ব $h$ এবং অতিভুজ $18 - h$; $30\degree$ কোণের বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক, তাই $18 - h = 2h$।

উত্তর: গ) 6 ফুট

4. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে উহার অতিভুজের মান কত?

ক) 4 সে.মি.     খ) 5 সে.মি.     গ) 7 সে.মি.     ঘ) 8 সে.মি.

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: $c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$

ব্যাখ্যা: এটি $3, 4, 5$ পিথাগোরীয় ত্রয়ী; মুখস্থ থাকলে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) 5 সে.মি.

5. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি ও প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

ক) 8% বৃদ্ধি     খ) 8% হ্রাস     গ) 108% বৃদ্ধি     ঘ) 108% হ্রাস

সমাধান:

ধরি আগের দৈর্ঘ্য $= 100$, প্রস্থ $= 100$ একক (ক্ষেত্রফল $= 10000$)।

নতুন দৈর্ঘ্য $= 120$, নতুন প্রস্থ $= 90$; নতুন ক্ষেত্রফল $= 120 \times 90 = 10800$

পরিবর্তন $= 10800 - 10000 = 800$, অর্থাৎ $\dfrac{800}{10000} \times 100 = 8\%$ বৃদ্ধি।

সূত্রে: $x + y + \dfrac{xy}{100} = 20 - 10 + \dfrac{20 \times (-10)}{100} = 10 - 2 = 8\%$ (ধনাত্মক চিহ্ন মানে বৃদ্ধি)

ব্যাখ্যা: দুই রাশির গুণফলে প্রতিটি শতকরা পরিবর্তন সরাসরি যোগ হয় না; আন্তঃগুণের সংশোধন $\dfrac{xy}{100}$ যুক্ত হয়।

উত্তর: ক) 8% বৃদ্ধি

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের উত্তর-তালিকায় এই প্রশ্নের উত্তর (খ) $8\%$ হ্রাস লেখা আছে, কিন্তু বইয়ের নিজের ব্যাখ্যাতেও $8\%$ বৃদ্ধি আসে এবং আমাদের গণনাও তা-ই। তাই সঠিক উত্তর (ক) $8\%$ বৃদ্ধি; উত্তর-তালিকার চিহ্নটি সম্ভবত ভুল।

6. কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

ক) $\dfrac{1}{2}$ (ভূমি $\times$ উচ্চতা)     খ) দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ     গ) $2$ (দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ)     ঘ) ভূমি $\times$ উচ্চতা

সমাধান:

সামান্তরিককে একটি কর্ণ বরাবর কাটলে দুটি সর্বসম ত্রিভুজ হয়, প্রতিটির ক্ষেত্রফল $\dfrac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

দুটির যোগফল $=$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

ব্যাখ্যা: আয়তের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ; সামান্তরিকে প্রস্থের জায়গায় লম্ব-উচ্চতা বসে।

উত্তর: ঘ) ভূমি $\times$ উচ্চতা

7. $\dfrac{1}{2}\{(a+b)^2 + (a-b)^2\}$ এর মান কত?

ক) $a^2 + b^2$     খ) $a^2 - b^2$     গ) $\dfrac{(a+b)^2}{2} - \dfrac{(a-b)^2}{2}$     ঘ) $(a+b)^2 + (a-b)^2$

সমাধান:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ এবং $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

যোগ করে পাই, $2a^2 + 2b^2$

$\dfrac{1}{2} \times 2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$

ব্যাখ্যা: সূত্র: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$।

উত্তর: ক) $a^2 + b^2$

8. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ কখন হবে?

ক) $m$ ধনাত্মক হলে     খ) $n$ ঋণাত্মক হলে     গ) $m$ ও $n$ ধনাত্মক হলে     ঘ) $m$ ধনাত্মক এবং $n$ ঋণাত্মক

সমাধান:

সূচকের গুণের সূত্র: একই ভিত্তির দুটি ঘাতের গুণফলে সূচক যোগ হয়।

সূত্রটি $m, n$ দুটিই ধনাত্মক হলে নিশ্চিতভাবে প্রযোজ্য।

ব্যাখ্যা: প্রকৃতপক্ষে ($a \ne 0$ হলে) এই সূত্র ধনাত্মক-ঋণাত্মক সব পূর্ণসংখ্যা সূচকের জন্য সত্য। কিন্তু প্রদত্ত অপশনের মধ্যে একমাত্র গ-ই শর্তটি স্পষ্টভাবে পূরণ করে, তাই উত্তরমালা অনুযায়ী (গ)।

উত্তর: গ) $m$ ও $n$ ধনাত্মক হলে

9. শতকরা ৫ টাকা হার সুদে ২০ বছরে সুদ-আসলে ৫০,০০০ টাকা হলে মূলধন কত?

ক) 20,000 টাকা     খ) 25,000 টাকা     গ) 30,000 টাকা     ঘ) 35,000 টাকা

সমাধান:

ধরি মূলধন $P$ টাকা। সুদ $= \dfrac{P \times 5 \times 20}{100} = P$

সুদ-আসল $= P + P = 2P$

$2P = 50000$, তাই $P = 25000$

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: $100$ টাকার $20$ বছরের সুদ $5 \times 20 = 100$ টাকা, সুদ-আসল $200$ টাকা। $200$ টাকা সুদ-আসলের জন্য মূলধন $100$ টাকা; তাই $50000$ এর জন্য মূলধন $25000$।

উত্তর: খ) 25,000 টাকা

10. এক কুইন্টাল ওজন কত কিলোগ্রাম হয়?

ক) 1 কি.গ্রা.     খ) 10 কি.গ্রা.     গ) 100 কি.গ্রা.     ঘ) 1000 কি.গ্রা.

সমাধান:

$1$ কুইন্টাল $= 100$ কিলোগ্রাম (বাংলাদেশে প্রচলিত মান)।

ব্যাখ্যা: $1000$ কিলোগ্রামে হয় $1$ মেট্রিক টন।

উত্তর: গ) 100 কি.গ্রা.

11. একটি ঘড়িতে ৬টার ঘণ্টা ধ্বনি ঠিক ৬টায় শুরু করে বাজতে ৫ সেকেন্ড সময় লাগে। এ ঘড়িতে ১২টার ঘণ্টা ধ্বনি বাজতে কত সেকেন্ড লাগবে?

ক) 10 সেকেন্ড     খ) 11 সেকেন্ড     গ) 12 সেকেন্ড     ঘ) $10\dfrac{2}{5}$ সেকেন্ড

সমাধান:

৬টা বাজতে ধ্বনি হয় $6$ বার; দুটি ধ্বনির মধ্যবর্তী বিরতি $= 6 - 1 = 5$ টি।

$5$ টি বিরতিতে সময় $5$ সেকেন্ড, তাই প্রতি বিরতি $= 1$ সেকেন্ড।

১২টা বাজতে ধ্বনি হয় $12$ বার; বিরতি $= 12 - 1 = 11$ টি।

মোট সময় $= 11 \times 1 = 11$ সেকেন্ড।

ব্যাখ্যা: সময় মাপা হয় ধ্বনির সংখ্যায় নয়, বিরতির সংখ্যায়: $n$ বার বাজলে $(n - 1)$ টি বিরতি।

উত্তর: খ) 11 সেকেন্ড