13th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

$x = 2$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই $x = 2$ বসাই।

$2^3 + h \cdot 2 + 10 = 0$

$8 + 2h + 10 = 0$, বা $2h = -18$

$h = -9$

ব্যাখ্যা: সমীকরণের একটি মূল দেওয়া থাকলে সেটি সমীকরণে বসালেই অজানা ধ্রুবকের মান পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) $-9$

2. $y = 3x + 2$, $y = -3x + 2$, $y = -2$ সরলরেখাগুলো দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি কী?

ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজ     খ) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ     গ) একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ     ঘ) একটি সমকোণী ত্রিভুজ

সমাধান:

রেখা তিনটিকে (i), (ii), (iii) ধরি: $y = 3x + 2$, $y = -3x + 2$, $y = -2$

(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দু: $3x + 2 = -3x + 2$, তাই $x = 0$, $y = 2$। বিন্দু $A(0, 2)$।

(i) ও (iii): $-2 = 3x + 2$, তাই $x = -\dfrac{4}{3}$। বিন্দু $B\left(-\dfrac{4}{3}, -2\right)$।

(ii) ও (iii): $-2 = -3x + 2$, তাই $x = \dfrac{4}{3}$। বিন্দু $C\left(\dfrac{4}{3}, -2\right)$।

$BC = \dfrac{8}{3}$ এবং $AB = AC = \sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{\dfrac{160}{9}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{3}$

$AB = AC \ne BC$, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

ব্যাখ্যা: দুই রেখার ঢাল সমান ও বিপরীত চিহ্নের ($3$ ও $-3$) এবং তৃতীয় রেখা অনুভূমিক, তাই ত্রিভুজটি $y$ অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, অর্থাৎ সমদ্বিবাহু।

উত্তর: খ) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

3. $32$ এর $2$ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক) 3     খ) 8     গ) 5     ঘ) 6

সমাধান:

$32 = 2^5$

$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5 \log_2 2 = 5 \times 1 = 5$

ব্যাখ্যা: $\log_a a = 1$ এবং $\log_a x^n = n \log_a x$ সূত্র দুটি এখানে ব্যবহৃত হয়েছে।

উত্তর: গ) $5$

4. $\left[ 2 - 3(2-3)^{-1} \right]^{-1}$ এর মান কত?

ক) 5     খ) $-5$     গ) $\dfrac{1}{5}$     ঘ) $-\dfrac{1}{5}$

সমাধান:

$2 - 3 = -1$ এবং $(-1)^{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1$

$3 \times (-1) = -3$

$2 - (-3) = 5$

$5^{-1} = \dfrac{1}{5}$

ব্যাখ্যা: ভেতর থেকে বাইরের দিকে ধাপে ধাপে সরল করতে হয়। ঋণাত্মক সূচকের অর্থ বিপরীত (reciprocal)।

উত্তর: গ) $\dfrac{1}{5}$

5. কোনো পরীক্ষায় একজন ছাত্র $n$ সংখ্যক প্রশ্নের ২০টি প্রশ্ন হতে ১৫টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিতে থাকে তবে ঐ পরীক্ষার প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক) 20টি     খ) 30টি     গ) 40টি     ঘ) 50টি

সমাধান:

প্রথম $20$ টি থেকে শুদ্ধ $= 15$ টি।

বাকি প্রশ্ন $= (n - 20)$ টি, তার $\dfrac{1}{3}$ শুদ্ধ $= \dfrac{n - 20}{3}$ টি।

শর্তমতে, $15 + \dfrac{n - 20}{3} = \dfrac{n}{2}$

$6$ দিয়ে গুণ করে: $90 + 2(n - 20) = 3n$

$90 + 2n - 40 = 3n$, বা $n = 50$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $15 + \dfrac{30}{3} = 25 = \dfrac{50}{2}$। মোট প্রশ্নের ঠিক অর্ধেক শুদ্ধ হয়েছে।

উত্তর: ঘ) 50টি

6. একটি ১০,০০০ টাকা বিলের ওপর এককালীন ৪০% কমতি এবং পর পর ৩৬% ও ৪% কমতির পার্থক্য কত টাকা?

ক) শূন্য     খ) 144     গ) 256     ঘ) 400

সমাধান:

এককালীন $40\%$ কমতি $= 10000 \times \dfrac{40}{100} = 4000$ টাকা।

পর পর কমতিতে প্রথম $36\%$: $10000 \times \dfrac{36}{100} = 3600$ টাকা। বাকি বিল $= 6400$ টাকা।

দ্বিতীয় $4\%$: $6400 \times \dfrac{4}{100} = 256$ টাকা।

মোট কমতি $= 3600 + 256 = 3856$ টাকা।

পার্থক্য $= 4000 - 3856 = 144$ টাকা।

ব্যাখ্যা: শর্টকাট: দুটি কমতির সমতুল্য কমতি $= 36 + 4 - \dfrac{36 \times 4}{100} = 38.56\%$। এককালীন $40\%$ এর সঙ্গে ব্যবধান $1.44\%$, অর্থাৎ $10000$ এর $1.44\% = 144$ টাকা।

উত্তর: খ) 144 টাকা

7. একজন লোক খাড়া উপর দিকে $M$ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ২ মিনিটে এবং খাড়া দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থলে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ২ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত?

ক) 45     খ) 48     গ) 75     ঘ) 24

সমাধান:

উপরে যেতে সময় $= 2M$ মিনিট (প্রতি মাইল $2$ মিনিট)।

নিচে নামতে সময় $= \dfrac{M}{2}$ মিনিট (প্রতি মিনিটে $2$ মাইল)।

মোট সময় $= 2M + \dfrac{M}{2} = \dfrac{5M}{2}$ মিনিট।

মোট দূরত্ব $= 2M$ মাইল।

গড় বেগ $= \dfrac{2M}{5M/2}$ মাইল/মিনিট $= \dfrac{4}{5}$ মাইল/মিনিট

ঘণ্টায় $= \dfrac{4}{5} \times 60 = 48$ মাইল।

ব্যাখ্যা: গড় বেগ = মোট দূরত্ব ÷ মোট সময়। দুই বেগের গড় নেওয়া ভুল।

উত্তর: খ) 48 মাইল/ঘণ্টা