12th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, তাই কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ ও $CD$ এর লম্বদূরত্ব সমান।

$OP$ রেখা জ্যা দুটির মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে; $OP$ বরাবর প্রতিফলনে $AB$ রেখাটি $CD$ রেখায় এবং $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$ বিন্দুগুলো পরস্পর পরিবর্তিত হয়।

সুতরাং $PA = PC$ এবং $PB = PD$।

অপশনে $PB = PD$ আছে (খ)।

ব্যাখ্যা: দুটি সমান জ্যা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এক জ্যার খণ্ডদ্বয় অপর জ্যার অনুরূপ খণ্ডদ্বয়ের সমান হয়: $PA = PC$ ও $PB = PD$।

উত্তর: খ) $PB = PD$

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: ছাপা প্রশ্নে (গ) ও (ঘ) অপশন একই ($PB = PA$) দেখা যায়, সম্ভবত একটি অপশনে মুদ্রণ ত্রুটি আছে। তবে উত্তর (খ) $PB = PD$ তাতে প্রভাবিত হয় না।

2. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) $64\sqrt{3}$ বর্গমিটার     খ) 192 বর্গমিটার     গ) 64 বর্গমিটার     ঘ) $32\sqrt{3}$ বর্গমিটার

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

$a = 16$ বসিয়ে পাই, $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 256 = 64\sqrt{3}$

ব্যাখ্যা: সূত্রে বাহুর বর্গ বসিয়ে ৪ দিয়ে ভাগ করলেই হয়: $256 \div 4 = 64$।

উত্তর: ক) $64\sqrt{3}$ বর্গমিটার

3. $5:18$, $7:2$ এবং $3:6$ এর মিশ্র অনুপাত কত?

ক) 72 : 105     খ) 72 : 35     গ) 35 : 72     ঘ) 105 : 72

সমাধান:

মিশ্র অনুপাত $=$ (পূর্বপদগুলোর গুণফল) : (উত্তরপদগুলোর গুণফল)

$= (5 \times 7 \times 3) : (18 \times 2 \times 6) = 105 : 216$

উভয়কে $3$ দিয়ে ভাগ করে পাই $35 : 72$

ব্যাখ্যা: সরল করার সময় সাধারণ উৎপাদক দিয়ে ভাগ করে অনুপাতকে সবচেয়ে ছোট রূপে আনতে হয়।

উত্তর: গ) $35 : 72$

4. একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কতজন ছাত্র আছে?

ক) 3600     খ) 2400     গ) 1200     ঘ) 3000

সমাধান:

$8, 10, 12$ এর ল.সা.গু. $= 120$

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

বর্গ সংখ্যা হতে হলে সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে। $2^3$ কে জোড় করতে একটি $2$, $3^1$ কে জোড় করতে একটি $3$ এবং $5^1$ কে জোড় করতে একটি $5$ লাগবে।

প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সংখ্যা $= 120 \times 2 \times 3 \times 5 = 3600$

যাচাই: $3600 = 60^2$, বর্গ সংখ্যা এবং $8, 10, 12$ দ্বারা বিভাজ্য।

ব্যাখ্যা: ল.সা.গু. বের করে তাকে পূর্ণবর্গ করার জন্য কম সংখ্যক গুণক বসানোই কৌশল।

উত্তর: ক) 3600

5. সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ $135\degree$ হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

ক) 4     খ) 7     গ) 9     ঘ) 6

সমাধান:

সুষম $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ $= \dfrac{(n-2) \times 180\degree}{n}$

$\dfrac{(n-2) \times 180}{n} = 135$

$180n - 360 = 135n$, বা $45n = 360$, তাই $n = 8$

ব্যাখ্যা: বহিঃকোণ দিয়েও করা যায়: বহিঃকোণ $= 180\degree - 135\degree = 45\degree$, বাহু সংখ্যা $= \dfrac{360}{45} = 8$।

উত্তর: সঠিক উত্তর $8$ (সুষম অষ্টভুজ)

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: প্রদত্ত অপশন ৪, ৭, ৯, ৬ এর কোনোটিই সঠিক নয়; সঠিক উত্তর $8$। প্রশ্নে সম্ভবত অপশনের ভুল ছিল, তাই বইয়েও উত্তরে "নোট" লেখা আছে।

6. ২০৫৭৩.৪ মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম?

ক) 2.05734     খ) 0.205734     গ) 0.0205734     ঘ) 20.57340

সমাধান:

$1$ কিলোগ্রাম $= 1000$ গ্রাম $= 1000000$ মিলিগ্রাম

$20573.4$ মিলিগ্রাম $= \dfrac{20573.4}{1000000}$ কিলোগ্রাম

$= 0.0205734$ কিলোগ্রাম

ব্যাখ্যা: ছয় ঘর বাঁয়ে দশমিক সরালেই হয়: মিলিগ্রাম থেকে কিলোগ্রামে যেতে $10^6$ দিয়ে ভাগ।

উত্তর: গ) $0.0205734$ কিলোগ্রাম

7. $8, 11, 17, 29, 53, \ldots$ পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক) 101     খ) 102     গ) 75     ঘ) 59

সমাধান:

ব্যবধান: $11-8 = 3$, $17-11 = 6$, $29-17 = 12$, $53-29 = 24$

ব্যবধানগুলো পরপর দ্বিগুণ হচ্ছে ($3, 6, 12, 24$), তাই পরের ব্যবধান $48$।

পরবর্তী সংখ্যা $= 53 + 48 = 101$

ব্যাখ্যা: ব্যবধানগুলো গুণোত্তর ধারায় থাকলে পরের ব্যবধান পূর্বেরটির দ্বিগুণ।

উত্তর: ক) $101$

8. নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ৪৫ কি.মি. দীর্ঘপথ একবার অতিক্রম করে ফিরে আসতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

ক) 9 ঘণ্টা     খ) 12 ঘণ্টা     গ) 10 ঘণ্টা     ঘ) 18 ঘণ্টা

সমাধান:

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ $= 10 + 5 = 15$ কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ $= 10 - 5 = 5$ কি.মি./ঘণ্টা

যেতে সময় $= \dfrac{45}{15} = 3$ ঘণ্টা; ফিরতে সময় $= \dfrac{45}{5} = 9$ ঘণ্টা

মোট সময় $= 3 + 9 = 12$ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা: ছাপা প্রশ্নে দূরত্বের সংখ্যাটি ফন্টজনিত কারণে অস্পষ্ট। বইয়ের সমাধানে $45$ কি.মি. ধরে উত্তর $12$ ঘণ্টা পাওয়া গেছে, আমরাও তা ধরেছি।

উত্তর: খ) 12 ঘণ্টা

9. $P$ এর মান কত হলে $4x^2 - Px + 9$ একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

ক) $4xy$     খ) $2xy$     গ) 16     ঘ) 12

সমাধান:

$4x^2 + 9 = (2x)^2 + 3^2$

পূর্ণবর্গ হতে হলে মধ্যপদ হবে $\pm 2 \cdot 2x \cdot 3 = \pm 12x$

$-Px = -12x$ হলে $P = 12$; তখন $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

ব্যাখ্যা: $P = -12$ হলেও রাশিটি পূর্ণবর্গ হতো, কিন্তু সেটি অপশনে নেই। অপশনের মধ্যে একমাত্র $12$ মেলে।

উত্তর: ঘ) $12$

10. $x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

ক) $4xy$     খ) $2xy$     গ) $6xy$     ঘ) $8xy$

সমাধান:

$(x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$

প্রদত্ত রাশি $= x^2 + y^2 + 16 - 8x - 8y$

পার্থক্য $= 2xy$; অর্থাৎ $2xy$ যোগ করলে রাশিটি $(x + y - 4)^2$ হয়।

ব্যাখ্যা: তিন পদের বর্গের সূত্র $(a+b+c)^2$ এ $a = x$, $b = y$, $c = -4$ ধরলে মিশ্র পদ $2ab + 2bc + 2ca = 2xy - 8y - 8x$ আসে।

উত্তর: খ) $2xy$

11. $2x^2 - x - 15$ এর উৎপাদক কত?

ক) $(x+6)(x-5)$     খ) $(x-5)(x-6)$     গ) $(x+3)(2x-5)$     ঘ) $(2x+5)(x-3)$

সমাধান:

মধ্যপদ বিভাজন: $2 \times (-15) = -30$; এমন দুটি সংখ্যা যাদের গুণফল $-30$ ও যোগফল $-1$: $-6$ ও $+5$

$2x^2 - 6x + 5x - 15$

$= 2x(x - 3) + 5(x - 3)$

$= (x - 3)(2x + 5)$

ব্যাখ্যা: যাচাই: $(2x+5)(x-3) = 2x^2 - 6x + 5x - 15 = 2x^2 - x - 15$।

উত্তর: ঘ) $(2x+5)(x-3)$

12. নিচের কোন সংখ্যাটি $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা?

ক) $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$     খ) $\dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2}$     গ) 1.5     ঘ) 1.8

সমাধান:

$\sqrt{2} \approx 1.414$ এবং $\sqrt{3} \approx 1.732$

ক) $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$ অমূলদ সংখ্যা, তাই বাদ।

খ) $\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.22$, অমূলদ এবং $\sqrt{2}$ এর চেয়ে ছোট, তাই বাদ।

ঘ) $1.8 > 1.732$, তাই বাইরে।

গ) $1.414 < 1.5 < 1.732$ এবং $1.5 = \dfrac{3}{2}$ মূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে "মূলদ" শব্দটি লক্ষ্য করতে হবে। মূলদ ও মধ্যবর্তী, উভয় শর্ত শুধু ১.৫ পূরণ করে।

উত্তর: গ) $1.5$

13. চার সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র, যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলে-

ক) বর্গক্ষেত্র     খ) চতুর্ভুজ     গ) রম্বস     ঘ) সামান্তরিক

সমাধান:

চারটি বাহু সমান হলে ক্ষেত্রটি রম্বস অথবা বর্গ।

কোনো কোণ সমকোণ না হলে বর্গ হবে না।

অতএব এটি রম্বস।

ব্যাখ্যা: রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়।

উত্তর: গ) রম্বস

14. চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পেলে চিনির ব্যবহার শতকরা কত কমালে চিনি বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

ক) 20%     খ) 15%     গ) 11%     ঘ) 9%

সমাধান:

আগের দাম $100$ হলে নতুন দাম $125$।

$125$ টাকায় $25$ টাকার চিনি কমাতে হবে।

$100$ টাকায় কমাতে হবে $\dfrac{25 \times 100}{125} = 20$ টাকার।

ব্যাখ্যা: সূত্র: হ্রাস $= \dfrac{x}{100 + x} \times 100$, এখানে $x = 25$।

উত্তর: ক) 20%

15. বার্ষিক পরীক্ষায় একজন ছাত্র মোট $x$ সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টির নির্ভুল উত্তর দিল। বাকি যা রইল তার $\dfrac{1}{3}$ অংশ সে নির্ভুল উত্তর দিল। সমস্ত প্রশ্নের মান সমান। ছাত্রটি শতকরা ৭৫ ভাগ নম্বর পেলে প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক) 15টি     খ) 20টি     গ) 25টি     ঘ) 18টি

সমাধান:

প্রথম $20$ টির মধ্যে নির্ভুল $= 15$ টি। বাকি প্রশ্ন $= x - 20$ টি, তার $\dfrac{1}{3}$ নির্ভুল $= \dfrac{x - 20}{3}$ টি।

মোট নির্ভুল $= 15 + \dfrac{x - 20}{3}$

শর্তমতে, $15 + \dfrac{x - 20}{3} = \dfrac{75}{100}x = \dfrac{3x}{4}$

$12$ দিয়ে গুণ করে: $180 + 4(x - 20) = 9x$, বা $100 + 4x = 9x$

$5x = 100$, তাই $x = 20$

ব্যাখ্যা: $x = 20$ হলে "বাকি" প্রশ্নই থাকে না: ২০টির মধ্যে ১৫টি ঠিক হলে ঠিক $\dfrac{15}{20} = 75\%$। সমীকরণ ও বইয়ের উত্তরমালা উভয়ই এই ফলে একমত।

উত্তর: খ) 20টি

16. যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায়, তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

ক) 20%     খ) 15%     গ) 11%     ঘ) 9%

সমাধান:

পূর্বের দাম $100$ হলে নতুন দাম $125$।

$125$ টাকায় কমাতে হবে $25$ টাকার তেল।

$100$ টাকায় কমাতে হবে $\dfrac{25 \times 100}{125} = 20$ টাকার তেল।

ব্যাখ্যা: এটি ১৪ নম্বর প্রশ্নের একই ধরনের। দাম $x\%$ বাড়লে ব্যবহার $\dfrac{x}{100+x} \times 100\%$ কমাতে হয়।

উত্তর: ক) 20%