11th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

ধরি আগে ১ কুইন্টালের দাম $P$ টাকা। এখন দাম $= 0.88P$ টাকা।

আগে ৬০০০ টাকায় পাওয়া যেত $\dfrac{6000}{P}$ কুইন্টাল; এখন পাওয়া যায় $\dfrac{6000}{0.88P}$ কুইন্টাল।

শর্তমতে, $\dfrac{6000}{0.88P} - \dfrac{6000}{P} = 1$

$\dfrac{6000}{P} \left( \dfrac{1}{0.88} - 1 \right) = 1$, বা $\dfrac{6000}{P} \times \dfrac{12}{88} = 1$

$P = \dfrac{6000 \times 12}{88} = 818.18$ (প্রায়)

বর্তমান দাম $= 0.88 \times 818.18 = 720$ টাকা।

ব্যাখ্যা: যাচাই: $\dfrac{6000}{720} = 8.33$ এবং $\dfrac{6000}{818.18} = 7.33$ কুইন্টাল। পার্থক্য ঠিক ১ কুইন্টাল। শর্টকাট: বাজেটের ১২% অর্থাৎ $6000 \times 0.12 = 720$ টাকাই এখনকার ১ কুইন্টালের দাম, কারণ সাশ্রয়ের টাকায় ঠিক ১ কুইন্টাল বেশি মেলে।

উত্তর: গ) 720 টাকা

2. ক ঘণ্টায় ১০ কি.মি. এবং খ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. বেগে একই সময় একই স্থান থেকে রাজশাহীর পথে রওনা হলো। ক ১০টা ১০ মিনিটে এবং খ ৯টা ৪০ মিনিটে রাজশাহী পৌঁছাল। রওনা হওয়ার স্থান থেকে রাজশাহীর দূরত্ব কত কি.মি.?

ক) 20 কি.মি.     খ) 25 কি.মি.     গ) 15 কি.মি.     ঘ) 28 কি.মি.

সমাধান:

সময়ের ব্যবধান $= 10:10 - 9:40 = 30$ মিনিট $= \dfrac{1}{2}$ ঘণ্টা।

ধরি দূরত্ব $x$ কি.মি.। ক এর সময় $\dfrac{x}{10}$ ঘণ্টা, খ এর সময় $\dfrac{x}{15}$ ঘণ্টা।

$\dfrac{x}{10} - \dfrac{x}{15} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3x - 2x}{30} = \dfrac{1}{2}$, বা $x = 15$

ব্যাখ্যা: দুজন একই সময়ে রওনা হয়েছেন, তাই পৌঁছানোর সময়ের ব্যবধানই ভ্রমণ-সময়ের ব্যবধান।

উত্তর: গ) 15 কি.মি.

3. ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩ — পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক) 85     খ) 121     গ) 99     ঘ) 98

সমাধান:

পরপর সংখ্যার ব্যবধান: $33 - 19 = 14$, $51 - 33 = 18$, $73 - 51 = 22$

ব্যবধানগুলো $14, 18, 22$ প্রতিবার $4$ করে বাড়ছে, তাই পরের ব্যবধান $26$।

পরবর্তী সংখ্যা $= 73 + 26 = 99$

ব্যাখ্যা: ব্যবধানের ব্যবধান ধ্রুবক হলে ধারাটি দ্বিঘাত প্রকৃতির।

উত্তর: গ) $99$

4. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক) 128 মিটার     খ) 144 মিটার     গ) 64 মিটার     ঘ) 96 মিটার

সমাধান:

বিস্তার $= \dfrac{48}{3} = 16$ মিটার।

পরিসীমা $= 2(l + w)$

$= 2(48 + 16) = 2 \times 64 = 128$ মিটার।

ব্যাখ্যা: পরিসীমার সূত্রে $l$ দৈর্ঘ্য ও $w$ প্রস্থ।

উত্তর: ক) 128 মিটার

5. প্রতিটি ক্রিকেট দলের যতজন স্ট্যাম্প আউট হলো তার দেড়গুণ কট আউট হলো এবং মোট উইকেটের অর্ধেক বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলো?

ক) 4 জন     খ) 3 জন     গ) 2 জন     ঘ) 5 জন

সমাধান:

ধরি মোট উইকেট $= 10$ (দল অলআউট)। বোল্ড আউট $= \dfrac{10}{2} = 5$ জন।

ধরি স্ট্যাম্প আউট $x$ জন, তাহলে কট আউট $= 1.5x$ জন।

$x + 1.5x + 5 = 10$, বা $2.5x = 5$, তাই $x = 2$

কট আউট $= 1.5 \times 2 = 3$ জন।

ব্যাখ্যা: এখানে ধরে নেওয়া হয়েছে দলের সব ১০ জনই আউট হয়েছে (অন্য কোনো আউট নেই)। প্রশ্নে এ কথা স্পষ্ট বলা নেই, তবে এই ধারণাতেই সমাধান মেলে।

উত্তর: খ) 3 জন

6. একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত $5:2$। পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হলে পানির পরিমাণ কত?

ক) 14 লিটার     খ) 6 লিটার     গ) 10 লিটার     ঘ) 4 লিটার

সমাধান:

ধরি দুধ $= 5x$ এবং পানি $= 2x$ লিটার।

$5x - 2x = 6$, বা $3x = 6$, তাই $x = 2$

পানির পরিমাণ $= 2x = 2 \times 2 = 4$ লিটার।

ব্যাখ্যা: অনুপাতের অংশদুটির ব্যবধান ৩ অংশ $= 6$ লিটার, তাই ১ অংশ $= 2$ লিটার।

উত্তর: ঘ) 4 লিটার

7. ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা শতকরা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা শতকরা কত টাকা কম?

ক) 25.5 টাকা     খ) 25.93 টাকা     গ) 40 টাকা     ঘ) 27 টাকা

সমাধান:

ধরি খ এর বেতন $= 100$ টাকা। তাহলে ক এর বেতন $= 135$ টাকা।

ক অপেক্ষা খ কম $= 135 - 100 = 35$ টাকা।

$135$ টাকায় কম $35$ টাকা, তাই $100$ টাকায় কম $= \dfrac{35 \times 100}{135} = 25.93$ টাকা।

ব্যাখ্যা: ভিত্তি (ভাগফলের নিচের সংখ্যা) বদলে গেলে শতকরা মান বদলায়। যার সঙ্গে তুলনা, সেই সংখ্যাই হরে বসে।

উত্তর: খ) 25.93 টাকা

8. $a^3 - b^3 = 513$ এবং $a - b = 3$ হলে $ab$ এর মান কত?

ক) 54     খ) 35     গ) 45     ঘ) 55

সমাধান:

সূত্র: $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$

$513 = 3^3 + 3ab \times 3 = 27 + 9ab$

$9ab = 513 - 27 = 486$

$ab = \dfrac{486}{9} = 54$

ব্যাখ্যা: সূত্রটি $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$ থেকে পাওয়া।

উত্তর: ক) $54$

9. $(x+3)(x-3)$ কে $x^2 - 6$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক) $-6$     খ) $3$     গ) $6$     ঘ) $-3$

সমাধান:

$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$

$x^2 - 9 = (x^2 - 6) - 3$

সুতরাং ভাগফল $= 1$ এবং ভাগশেষ $= -3$

ব্যাখ্যা: ভাজকের মান থেকে ভাজ্যকে লিখলে ভাগশেষ পাওয়া যায়: $x^2 - 9 = 1 \cdot (x^2 - 6) + (-3)$।

উত্তর: ঘ) $-3$

10. ২টা ১৫ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?

ক) $23\degree$     খ) $22\dfrac{1}{2}\degree$     গ) $20\degree$     ঘ) $23\dfrac{1}{2}\degree$

সমাধান:

সূত্র: কোণ $= \left| \dfrac{11M}{2} - 30H \right|$ (এখানে $H$ ঘণ্টা, $M$ মিনিট)

$H = 2, M = 15$

কোণ $= \left| \dfrac{11 \times 15}{2} - 30 \times 2 \right| = \left| 82.5 - 60 \right| = 22.5\degree$

ব্যাখ্যা: যাচাই: ২টায় ঘণ্টার কাঁটা $60\degree$ এ। ১৫ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা আরও $7.5\degree$ সরে $67.5\degree$ এ যায়; মিনিটের কাঁটা $90\degree$ এ। ব্যবধান $90 - 67.5 = 22.5\degree$।

উত্তর: খ) $22\dfrac{1}{2}\degree$

11. এক মিটার সমান কত ইঞ্চি?

ক) 37.39 ইঞ্চি     খ) 39.37 ইঞ্চি     গ) 39.47 ইঞ্চি     ঘ) 35.55 ইঞ্চি

সমাধান:

আমরা জানি, $1$ ইঞ্চি $= 2.54$ সে.মি.

$1$ মিটার $= 100$ সে.মি. $= \dfrac{100}{2.54} = 39.37$ ইঞ্চি (প্রায়)

ব্যাখ্যা: এটি মুখস্থ রাখার মতো একটি একক-রূপান্তর।

উত্তর: খ) 39.37 ইঞ্চি

12. একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক ছোড়ার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ১১০০ ফুট। লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব কত?

ক) 2025 ফুট     খ) 1925 ফুট     গ) 1975 ফুট     ঘ) 1875 ফুট

সমাধান:

ধরি লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব $x$ ফুট।

গুলি পৌঁছাতে সময় লাগে $\dfrac{x}{1540}$ সেকেন্ড এবং শব্দ ফিরে আসতে সময় লাগে $\dfrac{x}{1100}$ সেকেন্ড।

$\dfrac{x}{1540} + \dfrac{x}{1100} = 3$

ল.সা.গু. $= 7700$, তাই $\dfrac{5x + 7x}{7700} = 3$, বা $12x = 23100$

$x = \dfrac{23100}{12} = 1925$

ব্যাখ্যা: মোট ৩ সেকেন্ড = গুলির যাওয়ার সময় + শব্দের ফেরার সময়।

উত্তর: খ) 1925 ফুট

13. সরল করলে মান কত? লব: $15 \div 15 \times 15$; হর: $15 \div 15$ এর $15$

ক) 0     খ) 1     গ) 225     ঘ) $\dfrac{1}{225}$

সমাধান:

লব $= 15 \div 15 \times 15 = 1 \times 15 = 15$

হরে "এর" চিহ্ন থাকায় আগে "এর" এর কাজ করতে হয় (BODMAS এ "of" আগে): $15$ এর $15 = 15 \times 15 = 225$

হর $= 15 \div 225 = \dfrac{1}{15}$

মান $= \dfrac{15}{1/15} = 15 \times 15 = 225$

ব্যাখ্যা: "এর" কে গুণ হিসেবে সবার আগে করা হয়। না জানলে বাম থেকে ডানে করলে ভুল উত্তর আসবে।

উত্তর: গ) $225$

14. ১০টি সংখ্যার যোগফল ৪৬২। এদের প্রথম ৪টির গড় ৫২ এবং শেষ ৫টির গড় ৩৮ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

ক) 65     খ) 64     গ) 58     ঘ) 57

সমাধান:

প্রথম ৪টির যোগফল $= 4 \times 52 = 208$

শেষ ৫টির যোগফল $= 5 \times 38 = 190$

প্রথম ৪টি ও শেষ ৫টি মিলে মোট $9$ টি সংখ্যা; এদের যোগফল $= 208 + 190 = 398$

পঞ্চম সংখ্যা $= 462 - 398 = 64$

ব্যাখ্যা: ১০টি সংখ্যার মধ্যে প্রথম ৪টি ও শেষ ৫টি বাদ গেলে একটি সংখ্যাই বাকি থাকে, সেটিই পঞ্চম সংখ্যা।

উত্তর: খ) $64$