10th BCS Preliminary Math Question Solution with Bangla Explanation

সমাধান:

প্রতিটি অপশনকে ছোট মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে দেখি।

$91 = 7 \times 13$

$143 = 11 \times 13$

$87 = 3 \times 29$

$47$ কে $2, 3, 5$ কোনোটি দিয়েই ভাগ করা যায় না। আবার $7^2 = 49 > 47$, তাই $7$ পর্যন্ত যাচাই করাই যথেষ্ট।

ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যার উৎপাদক শুধু $1$ এবং সংখ্যাটি নিজে। বাকি তিনটি সংখ্যা দুটি ছোট সংখ্যার গুণফল, তাই এগুলো যৌগিক।

উত্তর: গ) $47$

2. কোনো একটি জিনিস নির্মাতা ২০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। ঐ জিনিসের নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে খুচরা মূল্য কত?

ক) 140 টাকা     খ) 120 টাকা     গ) 144 টাকা     ঘ) 124 টাকা

সমাধান:

নির্মাতার বিক্রয়মূল্য $= 100 \times \dfrac{120}{100} = 120$ টাকা।

এটিই খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য।

খুচরা মূল্য $= 120 \times \dfrac{120}{100} = 144$ টাকা।

ব্যাখ্যা: দুটি ধাপে লাভ হলে দ্বিতীয় ধাপের লাভ প্রথম ধাপের বিক্রয়মূল্যের ওপর হিসাব হয়। তাই মোট বৃদ্ধি $20+20=40\%$ নয়, বরং $1.2 \times 1.2 = 1.44$ গুণ।

উত্তর: গ) 144 টাকা

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যার শেষ ধাপে মুদ্রণ ভুলে $188$ ছাপা আছে; সঠিক গণনায় $\dfrac{120 \times 120}{100} = 144$। বইয়ের উত্তর-চিহ্ন (গ) আমাদের উত্তরের সঙ্গে মিলে যায়।

3. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$     খ) $\sqrt{\dfrac{3}{2}}a^2$     গ) $a^2$     ঘ) $\sqrt{\dfrac{1}{2}}a^2$

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a$

ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times a \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}a = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

ব্যাখ্যা: উচ্চতা সমদ্বিখণ্ডক হওয়ায় ভূমি দুই ভাগ হয় এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যে উচ্চতা পাওয়া যায়।

উত্তর: ক) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

4. ১ হতে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক) 23     খ) 24.5     গ) 25     ঘ) 25.5

সমাধান:

প্রথম $n$ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $= \dfrac{n(n+1)}{2}$

$1$ থেকে $49$ পর্যন্ত যোগফল $= \dfrac{49 \times 50}{2} = 1225$

গড় $= \dfrac{1225}{49} = 25$

ব্যাখ্যা: ক্রমিক সংখ্যার গড় সবসময় প্রথম ও শেষ সংখ্যার গড়ের সমান: $\dfrac{1+49}{2} = 25$। এই সূত্রে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়।

উত্তর: গ) $25$

5. টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক) 50%     খ) 33%     গ) 30%     ঘ) 31%

সমাধান:

১টি আমের ক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{3}$ টাকা।

১টি আমের বিক্রয়মূল্য $= \dfrac{1}{2}$ টাকা।

লাভ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ টাকা।

শতকরা লাভ $= \dfrac{1/6}{1/3} \times 100 = 50\%$

ব্যাখ্যা: এক টাকায় বেশি সংখ্যক কিনে কম সংখ্যক বিক্রি করলে লাভ হয়। শর্টকাটে শতকরা লাভ $= \dfrac{3-2}{2} \times 100 = 50\%$ (ক্রয়-সংখ্যা ও বিক্রয়-সংখ্যার ব্যবধানকে বিক্রয়-সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে ১০০ গুণ)।

উত্তর: ক) 50%

6. ত্রিভুজ $ABC$ এর $BC$ বাহুর ওপর $E, F$ দুটি বিন্দু এমনভাবে আছে যে $BE = EF = CF$। $\triangle AEC$ এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল কত?

ক) 72 বর্গফুট     খ) 60 বর্গফুট     গ) 48 বর্গফুট     ঘ) 64 বর্গফুট

সমাধান:

$BE = EF = FC$ হওয়ায় $BC$ তিন সমান ভাগে বিভক্ত। ধরি প্রতি ভাগ $= x$, তাহলে $BC = 3x$ এবং $EC = 2x$।

$\triangle ABC$ ও $\triangle AEC$ এর শীর্ষবিন্দু $A$ এক এবং ভূমি একই রেখা $BC$ এর ওপর, তাই উচ্চতা সমান।

$\dfrac{\triangle AEC}{\triangle ABC} = \dfrac{EC}{BC} = \dfrac{2x}{3x} = \dfrac{2}{3}$

$\triangle ABC = 48 \times \dfrac{3}{2} = 72$ বর্গফুট।

ব্যাখ্যা: সমান উচ্চতার দুই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের ভূমির অনুপাতের সমান।

উত্তর: ক) 72 বর্গফুট

বইয়ের উত্তরমালা সম্পর্কে নোট: বইয়ের ব্যাখ্যায় $AE$ ও $AF$ কে মধ্যমা ধরা হয়েছে, যা ঠিক নয়, কারণ $E, F$ মধ্যবিন্দু নয়, $BC$ এর তিন সমান ভাগের বিন্দু। তবে বইয়ের উত্তর $72$ আমাদের পদ্ধতিতেও সঠিক। এই পোস্টে ত্রিভুজটির চিত্র দেওয়া নেই; $BC$ এর ওপর $B, E, F, C$ ক্রমে তিনটি সমান অংশ কল্পনা করলেই চলবে।

7. $a + b = 5$ এবং $a - b = 3$ হলে $ab$ এর মান কত?

ক) 2     খ) 3     গ) 4     ঘ) 5

সমাধান:

$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$

$4ab = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$ab = \dfrac{16}{4} = 4$

ব্যাখ্যা: সরাসরি সমাধান করেও পাওয়া যায়: $a = 4, b = 1$, তাই $ab = 4$।

উত্তর: গ) $4$

8. ৬০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রণে অনুপাত $7:3$। ঐ মিশ্রণে আর কত লিটার পেট্রোল মেশালে অনুপাত $3:7$ হবে?

ক) 70 লিটার     খ) 80 লিটার     গ) 90 লিটার     ঘ) 98 লিটার

সমাধান:

কেরোসিন $= 60 \times \dfrac{7}{10} = 42$ লিটার; পেট্রোল $= 60 \times \dfrac{3}{10} = 18$ লিটার।

ধরি আরও $x$ লিটার পেট্রোল মেশাতে হবে। শর্তমতে $42 : (18 + x) = 3 : 7$

$3(18 + x) = 42 \times 7 = 294$

$18 + x = 98$, সুতরাং $x = 80$

ব্যাখ্যা: কেরোসিনের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে; তাই তার অংশ ধরে নতুন মোট পেট্রোল বের করা হয়েছে। নতুন পেট্রোল $98$ লিটার, তার থেকে আগের $18$ লিটার বাদ দিয়ে $80$ লিটার।

উত্তর: খ) 80 লিটার

9. ১ হতে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

ক) 11টি     খ) 8টি     গ) 10টি     ঘ) 9টি

সমাধান:

$1$ থেকে $30$ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$

মোট $10$ টি।

ব্যাখ্যা: $1$ মৌলিক সংখ্যা নয়। $2$ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।

উত্তর: গ) 10টি

10. তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পেলে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

ক) 20%     খ) 15%     গ) 11%     ঘ) 9%

সমাধান:

পূর্বের মূল্য $100$ হলে নতুন মূল্য $125$।

$125$ টাকায় কমাতে হবে $25$ টাকার তেল।

$100$ টাকায় কমাতে হবে $\dfrac{25 \times 100}{125} = 20$ টাকার তেল।

ব্যাখ্যা: সূত্র: শতকরা হ্রাস $= \dfrac{x}{100+x} \times 100$ (এখানে $x$ হলো মূল্যবৃদ্ধির শতকরা হার)। অর্থাৎ $\dfrac{25}{125} \times 100 = 20\%$।

উত্তর: ক) 20%

11. সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে যে কোনো মূলধন ৮ বছরে সুদ-আসলে তিনগুণ হবে?

ক) 12.50 টাকা     খ) 20 টাকা     গ) 25 টাকা     ঘ) 15 টাকা

সমাধান:

ধরি মূলধন $P$। ৮ বছরে সুদ-আসল $= 3P$, তাই সুদ $= 3P - P = 2P$।

সুদ $= \dfrac{P \times r \times 8}{100}$, সুতরাং $\dfrac{8Pr}{100} = 2P$

$r = \dfrac{200}{8} = 25$

ব্যাখ্যা: সরল সুদের সূত্র: সুদ $= \dfrac{P r t}{100}$ (যেখানে $P$ আসল, $r$ হার, $t$ সময়)। আসল বাদ গেলে হার মূলধনের ওপর নির্ভর করে না।

উত্তর: গ) 25 টাকা

12. দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত?

ক) 16     খ) 24     গ) 32     ঘ) 12

সমাধান:

দুটি সংখ্যার গুণফল $=$ ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু

গ.সা.গু $= \dfrac{1536}{96} = 16$

ব্যাখ্যা: এই সম্পর্কটি যেকোনো দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য সত্য।

উত্তর: ক) 16

13. $\dfrac{0.1 \times 0.01 \times 0.001}{0.2 \times 0.02 \times 0.002}$ এর মান কত?

ক) $\dfrac{1}{80}$     খ) $\dfrac{1}{800}$     গ) $\dfrac{1}{8000}$     ঘ) $\dfrac{1}{8}$

সমাধান:

লব $= 0.1 \times 0.01 \times 0.001 = 0.000001$

হর $= 0.2 \times 0.02 \times 0.002 = 0.000008$

মান $= \dfrac{0.000001}{0.000008} = \dfrac{1}{8}$

ব্যাখ্যা: দশমিক বাদ দিয়ে $\dfrac{1 \times 1 \times 1}{2 \times 2 \times 2}$ ধরলেও একই উত্তর আসে, কারণ লব ও হরে দশমিকের ঘর সংখ্যা সমান।

উত্তর: ঘ) $\dfrac{1}{8}$

14. $(x-5)(a+x) = x^2 - 25$ হলে $a$ এর মান কত?

ক) $-5$     খ) $5$     গ) $25$     ঘ) $-25$

সমাধান:

বামপক্ষ $= (x-5)(x+a) = x^2 + (a-5)x - 5a$

ডানপক্ষ $= x^2 - 25$

$x$ এর সহগ তুলনা করে: $a - 5 = 0$, অর্থাৎ $a = 5$

ধ্রুবক পদ যাচাই: $-5a = -25$, অর্থাৎ $a = 5$। দুটোই মিলে যায়।

ব্যাখ্যা: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$। তাই $(x-5)(a+x) = (x-5)(x+5)$ থেকে সরাসরি $a = 5$ পাওয়া যায়।

উত্তর: খ) $5$

15. $a + b + c = 0$ হলে $a^3 + b^3 + c^3$ এর মান কত?

ক) $abc$     খ) $3abc$     গ) $99$     ঘ) $9abc$

সমাধান:

সূত্র: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$a + b + c = 0$ হওয়ায় ডানপক্ষ $= 0$

সুতরাং $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

ব্যাখ্যা: যোগফল শূন্য হলে তিন ঘনের যোগফল $= 3 \times$ তিন সংখ্যার গুণফল। এটি বহুল ব্যবহৃত একটি সূত্র।

উত্তর: খ) $3abc$

16. ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি-

ক) সমকোণী     খ) স্থূলকোণী     গ) সমবাহু     ঘ) সূক্ষ্মকোণী

সমাধান:

ধরি কোণ তিনটি $x, y, z$ এবং $x = y + z$

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $x + y + z = 180\degree$

$x + x = 180\degree$, তাই $x = 90\degree$

ব্যাখ্যা: একটি কোণ $90\degree$ হলে ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর: ক) সমকোণী